高中第三章 排列、组合与二项式定理3.3 二项式定理与杨辉三角精练

【优编】3.3 二项式定理与杨辉三角-1优选练习

一．单项选择

1．在的展开式中，若二项式系数的和为128，常数项为14，则（    ）

A． B．2 C．3 D．4

2．若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．在的展开式中，常数项为（    ）

A．60 B．30 C．20 D．15

4．被7除后余数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．二项式的展开式中的常数项为（    ）

A．6 B．12 C．15 D．20

6．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C．10 D．20

7．若(3-x)(1+2x)10＝a0＋a1x＋＋a11x11，x∈R，则a1·3＋a2·32＋＋a11·311的值为（    ）

A．39 B．39－1 C．0 D．-3

8．展开式的系数为（     ）

A．-10 B．10 C．-30 D．30

9．已知，则 （    ）

A． B． C． D．

10．若，则（    ）

A． B． C． D．

11．的展开式中的系数为（    ）

A．400     B．120      C．80      D．0

12．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（    ）

A．15 B．-15 C． D．

13．展开式中的各二项式系数之和为1024，则的系数是 （    ）

A．-210 B．-960 C．960 D．210

14．在二项式的展开式中，含有的偶次幂的项之和为，含有的奇次幂的项之和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

15．的展开式中的常数项为14，则正整数的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

16．在的展开式中，常数项等于（    ）

A．15 B．16 C． D．

17．若，则的值是（    ）

A． B． C．126 D．

18．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N)是一个单调递增数列，则k的最大值是（    ）

A．5 B．6

C．7 D．8

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：根据二项式展开式的系数和为，列出方程求得n，再利用二项式展开式的通项可得选项.

详解：因为的展开式中，二项式系数和为128，所以，即，

所以的展开式的通项为，

令，则．因为展开式常数项为14，即常数项是，解得．

故选：B．

【点睛】

本题考查二项式展开式的二项式的通项，二项式系数和，属于基础题.

2．【答案】B

【解析】分析：令可得：，

令可得：，相加即可得解.

详解：令可得：，

令可得：，

两式相加可得：，

所以，

故选：B

3．【答案】A

【解析】分析：根据二项式定理，得出展开式的通项，进而可得出结果.

详解：因为展开式的第项为，

令，则，

所以常数项为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查求二项展开式中的常数项，属于基础题型.

4．【答案】C

【解析】分析：利用二项式定理将转化为求解.

详解：因为，

，

，

所以被7除后余数是4

故选：C

5．【答案】C

【解析】分析：求得二项展开式的通项，令，求得，代入即可求解.

详解：由二项式，则二项展开式的通项，

令，解得，

所以的展开式中的常数项为.

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.

6．【答案】C

【解析】分析：求出的展开式的通项，令即可求出.

详解：可得的展开式的通项为，

令，即可得出的系数为.

故选：C.

7．【答案】D

【解析】分析：应用赋值法可知，由二项式展开项的通项公式可求，即可求的值.

详解：时，由知：，而，

∴.

故选：D

8．【答案】A

【解析】分析：先求得的通项公式，然后再由求解.

详解：的通项公式为，

因为。

所以含的项为：，

，

展开式的系数为-10，

故选：A

9．【答案】D

【解析】令，则；

令，则；

两式相加可得：，即；

令，则，.故选：D.

10．【答案】A

【解析】分析：令，则中对应二次项的系数相等即可.

详解：解：令，则，

∴，

故选：A.

【点睛】

考查求二项展开式中某一项的系数，基础题.

11．【答案】D

【解析】分析：将多项式转化为，再两次利用二项展开式的通项公式，结合已知条件，即可求得结果.

详解：∵，

二项展开式的通项为，

二项展开式的通项式为

故的通项为，

所以，

所以展开式中的系数为.

故选：.

【点睛】

本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题.

12．【答案】A

【解析】分析：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，根据球．圆柱的体积与表面积公式求出，，从而得到，再

详解：解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积，球的体积，所以.又圆柱的表面积为，球的表面积为，所以，，，展开式的通项，令，解得，其常数项为.

故选：A

【点睛】

(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零．有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

13．【答案】B

【解析】由已知得：,∴,∴展开式的通项公式为,令,对应系数为：，故选：B.

14．【答案】B

【解析】分析：由二项式定理可得两个二项式展开式偶次幂相同．奇次幂互为相反数，即可得解.

详解：由题意，二项式的展开式的通项公式，

二项式的展开式的通项公式，

所以二项式．的展开式偶次幂相同．奇次幂互为相反数，

所以的值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

15．【答案】B

【解析】分析：先研究的常数项和的系数，再根据题意求解即可.

详解：解：展开式的通项公式为，

故其常数项为，

包含的项为，

所以展开式的常数项为.

当为奇数时，有，解得；

当为偶数时，有，解得（舍）

故正整数的值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，是中档题.

16．【答案】D

【解析】分析：利用二项展开式的通项公式和多项式的乘法可求常数项.

详解：根据二项式定理，得的通项为：

，.

由得，由得，

因此展开式中的常数项为.

故选：D.

17．【答案】C

【解析】分析：根据赋值法可求出，再求出即可求解.

详解：令，得.

又，

所以.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的通项公式，赋值法求系数和，考查了运算能力，属于中档题.

18．【答案】B

【解析】分析：由an＝，结合二项式系数的对称性和单调性即可得解.

详解：由二项式定理知an＝ (n＝1，2，3，…，11)．

又(x＋1)10展开式中二项式系数具有对称性，且最大的项是第6项，

且从第1项到第6项二项式系数逐渐增大，第6项到底11项二项式系数逐渐减小，

∴k的最大值为6.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了二项式系数的性质，属于基础题.