湖南省岳阳市平江县南江中学2022-2023学年上学期九年级数学期末测试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市平江县南江中学2022-2023学年上学期九年级数学期末测试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了下列命题中，是真命题的是，已知，则的值为 　 　等内容，欢迎下载使用。

湖南省岳阳市平江县南江中学2022-2023学年第一学期九年级数学期末测试卷（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．下列坐标对应的点在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．（1，﹣4） B．（4，1） C．（8，2） D．（2，8）
2．用配方法解一元二次方程x2﹣16x+15＝0，下列变形结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝49 C．（x﹣8）2＝7 D．（x﹣8）2＝49
3．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
4．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：
捐款的数额/元
5
10
20
50
100
人数/个
2
4
5
3
1
关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（　　）
A．众数是100元 B．平均数是30元
C．方差是20 D．中位数是20元
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
6．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．一条线段上只有一个黄金分割点
B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似
C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
D．若2x＝3y，则＝
7．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
8．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tanA＝2，则k的值为（　　）

A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
二．填空题（共8小题，满分24分）
9．已知，则的值为 　 　．
10．在一个有6000人的小镇，随机调查了200人，其中有30人看某电视台的早间新闻，则估计该小镇看该电视台早间新闻的人数约有 　 　人．
11．已知△ABC∽△A′B′C′，且＝，S△ABC＝4，则S△A′B′C′＝　 　．
12．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0的一个根为x＝3，则方程的另一根是 　 　．
13．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是 　 　米．

14．如图，点A、B、C是正方形网格中的格点，则cos∠BAC的值是 　 　．



15．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，
上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问本木杆是多长？（1丈＝10尺）设木杆长为x尺、根据题意，可列方程为 　 　．

16．如图，已知直线y＝k1x+b（k1≠0）与x轴、y轴相交于Q、P两点，与y＝（k2≠0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，连接OA、OB，现有以下4个结论：①k1k2＞0；②不等式k1x+b＞的解集是x1＜x＜x2；③x1+x2＝﹣；④S△AOP＝S△BOQ．其中正确结论的序号是 　 　．（填上你认为正确的所有结论的序号）

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：4（1﹣x）2﹣81＝0．
18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．

19．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）不等式kx+b＜的解集是 　 　．

20．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？
21．端午节是中华民族的传统节日，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表（每组包含最小值，不含最大值）：
成绩
频数
频率
60﹣70
15
m
70﹣80
20
0.4
80﹣90
n
0.2
90﹣100
5
0.1
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了 　 　名学生进行调查，m＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？

22．某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号）

23．观察猜想
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则＝　 　，sin∠ADE＝　 　，
探究证明
（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由
拓展延伸
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）

24．如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G（4，3）．
（1）当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；
（2）如图2，连接EF，求证：CD∥EF；
（3）如图3，将△CGD沿CD折叠，点G恰好落在边OB上的点H处，求此时反比例函数的解析式．



参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：∵1×（﹣4）＝﹣4，4×1＝4，8×2＝16，2×8＝16，
∴点（1，﹣4），（8，2），（2，8）不在反比例函数y＝图象上，点（4，1）在反比例函数y＝图象上．
故选：B．
2．解：x2﹣16x+15＝0，
∴x2﹣16x+64＝﹣15+64，
即（x﹣8）2＝49，
故选：D．
3．解：在△ABC中，
∵∠C＝90°，tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴cosB＝cos60°＝，
故选：A．
4．解：根据众数的概念可知这15名同学所捐款数额的众数是20，则A选项错误不符合题意；
根据平均数的计算公式，得＝，故B选项错误不符合题意；
S2＝[2×（5﹣）2+4×（10﹣）2+5×（20﹣）2+3×（50﹣）2+（100﹣）2]≈618，故C错误不符合题意；
将这15名同学所捐款数额按从小到大的顺序排列为5、5、10、10、10、10、20、20、20、20、20、50、50、50、100，根据中位数的概念可知中位数是20，故D选项正确符合题意．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴＝，＝，
∴A、C不符合题意；
D符合题意；
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴B不符合题意；
故选：D．
6．解：A．一条线段上有两个黄金分割点，所以A选项不符合题意；
B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以B选项符合题意；
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以C选项不符合题意；
D．若2x＝3y，则＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
7．解：Δ＝k2﹣4×（﹣2）＝k2+8
∵k为实数，
∴k2≥0，
∴Δ＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8．解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，
在Rt△AOB中，tanA＝＝2，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴＝（）2＝4，
∴S△OBC＝4S△AOD＝4，
∴•|k|＝4，
而k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．

二．填空题（共8小题，满分24分）
9．解：设＝k，则a＝3k，b＝2k，
所以
＝
＝
＝，
故答案为：．
10．解：估计该小镇看该电视台早间新闻的人数约有×6000＝900（人），
故答案为：900．
11．解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝（）2＝1：4，
∵S△ABC＝4，
∴S△A′B′C′＝16．
故答案为：16．
12．解：设另一根为α，
则3+α＝k+2且3•α＝2k﹣1，
解得，α＝1，
故答案为：1．
13．解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：3，它把物体从地面送到离地面10米高，
∴水平距离为：3×10＝30（米），
∴物体所经过的路程为：＝10（米），
故答案为：10．
14．解：连接BC，如图所示：
∵点A、B、C是正方形网格中的格点，
设小正方形的边长为a，
由勾股定理得：AB＝＝a，AC＝＝a，BC＝＝2a，
∵（a）2+（2a）2＝（a）2，
即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴cos∠BAC＝＝＝，
故答案为：．

15．解：如图，设木杆AC长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故答案为：102+（x﹣1）2＝x2．
16．解：①如图所示，直线y＝kx1+b（k1≠0）经过第一、三象限，则k1＞0．
双曲线y＝（k2≠0）经过第一、三象限，则k2＞0．
所以k1k2＞0．
故结论①正确；
②如图所示：不等式kx1+b＞的解集是x1＜x＜0或x＞x2；
故结论②不正确；
③把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入y＝k1x+b得，，
∴，
把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入，得x1y1＝x2y2，
∴，
∴k1（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[k1（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴k1（x1+x2）+b＝0，
∴；
故结论③正确；
④把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入y＝k1x+b得，，
解得，
∴直线解析式为，
∴点，，
把A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标代入，得x1y1＝x2y2，
∴，＝

∴S△POB＝S△QOA，
∴S△AOP＝S△BOQ．
故结论④正确．
故答案是：①③④．

三．解答题（共8小题，满分72分）
17．解：（1）原式＝＝4；
（2）4（1﹣x）2﹣81＝0，
，
解得：．
18．证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
19．解：（1）∵B点（1，4）在反比例函数的图象上，
∴m＝1×4＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵A点（n，﹣2）在反比例函数y＝图象上，
∴n＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，﹣2），
又∵A、B两点在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式y＝kx+b可得，
解得．
∴一次函数解析式为y＝2x+2；
（2）在y＝2x+2中，令x＝0可得y＝2，
∴C点坐标为（0，2），
∴OC＝2，
又∵A为（﹣2，﹣2），
∴A到OC的距离为2，
∴S△AOC＝×2×2＝2；

（3）∵由一次函数与反比例函数的图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜1时反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
∴当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值，
即不等式kx+b＜的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，
故答案为x＜﹣2或0＜x＜1．

20．解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽快减少库存，
∴x＝20，
∴299﹣x＝279．
答：每件衬衫定价应为279元．
21．解：（1）20÷0.4＝50（名），15÷50＝0.3，
故答案为：50；0.3；
（2）n＝50×0.2＝10，补全频数分布直方图如图所示：

（3）1500×（0.2+0.1）＝450（人）
答：全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有450人．
22．解：如图：延长BA交PH于点G，

由题意得：
EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，
在Rt△PAG中，∠GPA＝30°，
∴AG＝PG•tan30°＝8×＝（米），
在Rt△PGB中，∠GPB＝45°，
∴GB＝PG•tan45°＝8×1＝8（米），
∴AB＝GB﹣GA＝（8﹣）米，
∴安全警示牌宽AB的值为（8﹣）米．
23．解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝60°．
又CE＝AE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠BCE＝60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BE＝CE．
∴AE＝CE＝BE．
∴AD＝AB＝CE．
又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，
∴EF＝CE，
∴＝＝．
∵∠ADE＝30°，
∴sin∠ADE＝．
故答案是：；；
（2）不变，理由：
如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．
∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，
∴∠AED＝120°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．
∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．
∵∠EDF＝90°，
∴EF＝x．
∴＝＝．
∵∠ADE＝30°，
∴sin∠ADE＝．
（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx．
∵∠CAB＝a，
∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x．
∴DG＝＝•x．
∴AD＝cosα•x+•x．
∵∠EDF＝90°，DE＝DF，
∴EF＝DE＝nx．
∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．

24．（1）解：当点D恰好是FG中点时，则点D（4，），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝，解得：k＝6，
即反比例函数的表达式为：y＝，
当y＝3时，则3＝，解得：x＝2，
即此时点C的横坐标是2；

（2）证明：设点D（4，），C（k，3），
则GD＝3﹣，则＝1﹣，
同理可得：，
∴CD∥EF；
（3）解：过点C作CN⊥OB于点N，
设GD＝HD＝x，CG＝CH＝a，则EC＝4﹣a，DF＝3﹣x，
即点C、D的坐标分别为（4﹣a，3）、（4，3﹣x），
则3（4﹣a）＝4（3﹣x）①，
∵∠CHD＝90°，
∴∠NHC+∠FHD＝90°，∠NHC+∠HNC＝90°，
∴∠NCH＝∠DHF，
∴sin∠NCH＝sin∠DHF，即②，
联立①②并解得：x＝，
则点D（4，），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝，
解得：k＝，
故反比例函数的表达式为：y＝．