必修 第一册4.1 函数的奇偶性课时训练

课时作业(十七)　函数的奇偶性

1．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝(　　)

A．－26        B．－18

C．－10        D．10

答案：A　

解析：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(－x)＝－g(x)，

∴由f(－2)＝10，有g(－2)－8＝10，∴g(2)＝－18.

∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.故应选A．

2．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则(　　)

A．f(－1)<f(－3)   B．f(0)>f(1)

C．f(－1)<f(1)     D．f(－3)>f(－5)

答案：A　

解析：f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)．

∵f(3)<f(1)，∴－f(3)>－f(1)，

∴f(－3)>f(－1)．故应选A．

3．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)

A．f(－π)>f(3)>f(－2)

B．f(－π)>f(－2)>f(3)

C．f(－π)<f(3)<f(－2)

D．f(－π)<f(－2)<f(3)

答案：A　

解析：由已知f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．

故应选A．

4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为(　　)

A．4        B．2

C．1        D．0

答案：D　

解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，所以四根之和为0.

故应选D．

5．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)

A．－2        B．0

C．1        D．2

答案：A　

解析：据奇函数定义可得f(－1)＝－f(1)＝－＝－2，故应选A．

6．若偶函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，则满足f(1)≤f(a)的实数a的取值范围是________．

答案：[－1,1]　

解析：由题意知，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，

且f(1)≤f(|a|)，∴|a|≤1，∴－1≤a≤1.

7．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.

答案：－2x2＋4　

解析：∵f(－x)＝f(x)，

且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，

∴f(－x)＝b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2

＝bx2－(2a＋ab)x＋2a2，

∴－(2a＋ab)＝(2a＋ab)，即2a＋ab＝0，

∴a＝0或b＝－2.

当a＝0时，f(x)＝bx2，

∵f(x)的值域为(－∞，4]，而f(x)＝bx2的值域不可能为(－∞，4]，

∴a≠0.

当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]，

∴2a2＝4，∴a2＝2，

故解析式为f(x)＝－2x2＋4.

8．如果定义在区间[2a＋1,5－a]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________.

答案：－6　

解析：∵具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，∴2a＋1＋5－a＝0，即a＝－6.

9．若f(x)和g(x)分别是奇函数与偶函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)和g(x)的解析式．

解：∵f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

∴

即

解得

10．若f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是减函数，试比较f与f的大小关系．

解：∵a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，

又∵函数f(x)是偶函数，

∴f＝f.

又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减，

∴f≥f，

即f≥f.

11．已知函数f(x)＝，g(x)＝.

(1)证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间；

(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值．

(1)证明：函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，

∵f(－x)＝

＝－＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

设0<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

又∵f(x)是奇函数，

∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数．

即f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，(－∞，0)．

(2)解：f(4)－5f(2)g(2)＝0，

f(9)－5f(3)g(3)＝0.

12．已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f＝－1，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，且对任意x，y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f.试证明：

(1)f(x)为奇函数；

(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．

证明：(1)f(x)＋f(y)＝f，

令x＝y＝0，得f(0)＝0.

令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，

∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．

(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减，

令0<x1<x2<1，

则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f，

∵0<x1<x2<1，

∴x2－x1>0,1－x1x2>0，

∴>0，

又(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)<0，

∴0<x2－x1<1－x1x2，

∴0<<1，

由题意，知f<0，

即f(x2)－f(x1)<0，

∴f(x)在(0,1)上为减函数．

又f(x)为奇函数且f(0)＝0，

∴f(x)在(－1,1)上单调递减．