北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性课堂检测

【精选】4.1 函数的奇偶性-2同步练习

一．填空题

1．已知等差数列的前项和为，满足，则___________.

2．不等式的解集为____.

3．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.

(1)在坐标系中画出函数在R上的完整图象；

(2)求函数在R上的解析式.

4．已知函数是幂函数，且该函数在上是增函数，则的值是________．

5．已知点在幂函数的图象上，则等于_______________.

6．已知幂函数在上为增函数，则_________．

7．若函数有唯一零点，则实数的值为__________.

8．已知幂函数的图象经过点，则实数___________.

9．已知函数，则不等式的解集为____________.

10．已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．

11．已知幂函数经过点，则函数解析式为________________

12．已知幂函数的图象经过点，则_______.

13．幂函数的图象经过点，则________．

14．已知函数，则不等式的解集为___________.

15．已知函数是幂函数，则实数=___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先利用诱导公式将原式变形，然后构造函数并分析其奇偶性和单调性，根据的取值特点判断出之间的关系，然后利用等差数列的前项和公式以及等差数列下标和性质求解出结果.

详解：因为，所以，

所以，

又因为，所以，

令，，

且的定义域为，所以为奇函数，

所以，且，

所以，

又因为，所以在上单调递增，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键是通过分析所给等式的特点，采用构造函数的思想，分析出的关系，其中奇偶性的证明．单调性的分析都值得注意，最后计算时注意借助等差数列的下标和性质进行解答.

2．【答案】

【解析】分析：不等式等价于，借助单调性得到一元二次不等式，解不等式即可.

详解：不等式等价于

因为在上单调递增，

所以，化简得：

所以.

故答案为：.

3．【答案】（1）图象答案见解析；(2).

【解析】分析：(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当时，的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；

(2)先用代入法求在的解析式，在合并在一起写成分段函数即可．

详解：解：(1) 图像如图示．

(2)设，则，

所以，

又因为函数是定义域为R的奇函数，

所以.

所以当，，

综上的解析式为：．

【点睛】

函数奇偶性的应用：

(1) 利用奇偶性求函数值；

(2) 利用奇偶性画图像；

(3) 利用奇偶性求函数的解析式．

4．【答案】1

【解析】分析：由幂函数的定义可得，再结合单调性即可得解.

详解：∵函数是幂函数，

∴，解得或，

又该函数在上是增函数，∴.

故答案为：1.

5．【答案】

【解析】分析：根据幂函数，可设，由在上求n，进而可求.

详解：由题意，可设，又在上，

∴，即，

∴，

故答案为：.

6．【答案】1

【解析】分析：根据幂函数可得：，即可得解.

详解：由题意可得：，

解得：或（舍），

所以，满足条件，

故答案为：1.

7．【答案】

【解析】分析：根据偶函數的性质，可得，解得，再对的取值分两种情况讨论得解.

详解：因为，又，所以函数为偶函数.

因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得，所以，解得.

当，此时，知，有零点()，不符合题意：

当，此时在上单调递增，，根据偶函数对称性，符合题意；所以.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键如何检验和，用零点存在性定理检验，利用函数的单调性检验.

8．【答案】2

【解析】分析：将已知点代入函数，解得参数即可.

详解：依题意，将点代入得，.

故答案为：2.

9．【答案】（-1，1）

【解析】分析：根据题意，分析可得函数为偶函数且在上是增函数，不等式可转化为，即可得答案．

详解：根据题意，对于函数，

都有，

则函数为偶函数，

函数，

其导数，

当时，

则为增函数；

又，

由可得，

所以，解得，

即不等式的解集是（-1，1）

故答案为：（-1，1）

【点睛】

关键点点睛：对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.

10．【答案】1

【解析】分析：根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而.

详解：函数关于点对称，则，

又为上的奇函数，则，

因此函数的周期为4，

因此.

故答案为：1.

11．【答案】

【解析】分析：设，根据幂函数经过点，由求解.

详解：设幂函数为，

因为幂函数经过点，

所以，

解得，

所以函数解析式为，

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：根据幂函数的定义确定的值，再由函数图象经过点，代入可得，进而可得所求.

详解：由函数为幂函数，可知，

故，

由函数图象经过点，

所以，即，

故，

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：设幂函数的解析式，然后代入求解析式，计算.

详解：设，则，解得，所以，得．

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：根据函数奇偶性的定义，得到为奇函数，再根据导数求得函数为上单调递减函数，把不等式，转化为，即可求解.

详解：由题意，函数的定义域为，

且满足，即，

所以函数为奇函数，

又由，

因为，当且仅当时，即时，等号成立，

所以，所以函数为上单调递减函数，

又因为，即，

即，所以，即，

解得，即不等式的解集为.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：根据幂函数的定义求解即可.

详解：因为是幂函数，

所以，

解得，

故答案为：