高中数学2.2 古典概型的应用课文内容课件ppt

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知识点1　互斥事件的概率加法公式1.定义:在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式.使用该公式时必须检验是否满足前提条件“两两互斥”.2.推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).名师点睛互斥事件概率加法公式的作用在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功能.
过关自诊[人教B版教材例题]甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳,求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)甲不输的概率.
解 因为甲有3种不同的出拳方法,乙同样也有3种不同的出拳方法,因此一次出拳共有3×3=9种不同的可能.因为都是随机出拳,所以可以看成古典概型,而且样本空间中共包含9个样本点,样本空间可以用右图直观表示.因为锤子赢剪刀,剪刀赢布,布赢锤子,所以若记事件A为“平局”,B为“甲赢”.则:(1)事件A包含3个样本点(图中的△),因此(2)事件B包含3个样本点(图中的※),因此(3)因为A+B表示“甲不输”,且A,B互斥,所以所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=
知识点2　对立事件的概率公式名师点睛1.对立事件的概率公式使用的前提是两个事件对立,否则不能使用.2.当一个事件的概率不易直接求出,但其对立事件的概率易求时,可运用对立事件的概率公式,即运用间接法求概率.
过关自诊1.[人教B版教材例题]已知数学考试中,李明成绩高于90分的概率为0.3,不低于60分且不高于90分的概率为0.5,求:(1)李明成绩不低于60分的概率;(2)李明成绩低于60分的概率.
解 记事件A:李明成绩高于90分,B:李明成绩不低于60分且不高于90分,则不难看出A与B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.5.(1)因为“李明成绩不低于60分”可表示为A+B,由A与B互斥可知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.(2)因为“李明成绩低于60分”可表示为 ,所以P( )=1-P(A+B)=1-0.8=0.2.
2.[人教B版教材例题]先后掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:点数之和为7,B:至少出现一个3点,求P(A),P( ),P(B),P(AB).
解 用数对(x,y)来表示抛掷结果,则样本空间可记为Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},而且样本空间可用下图直观表示.
样本空间中,共包含36个样本点.不难看出,A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},A包含6个样本点,因此由对立事件概率之间的关系可知类似地,可以看出,图中框中的点可以代表事件B,因此B包含11个样本点,从而P(B)=不难知道,AB={(4,3),(3,4)},因此
探究点一　互斥事件、对立事件的概率求解
角度1互斥事件的概率【例1】 袋中有12个除颜色外其他均相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 .(1)分别求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
解 (1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥.
∵B与C+D互斥,B+C与D互斥,
(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球,∴得到的球是红球或黄球,即事件A+C,故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为
规律方法　互斥事件的概率的求解策略(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式计算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判断A,B是否为互斥事件.
变式训练1(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为(　　)B. 0.38C. 0.2D. 0.8
解析 记“摸一个球为红球”“摸一个球为白球”和“摸一个球为黑球”为事件A,B,C,则A,B,C为两两互斥事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.
(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.
解 设A,B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是两两互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.
角度2对立事件的概率【例2】 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)不够7环的概率.
解 (1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于这两个事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件.设“不够7环”为事件E,则事件为“射中7环或8环或9环或10环”,又“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”是彼此互斥的事件,所以P( )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1-P( )=1-0.97=0.03.所以不够7环的概率为0.03.
规律方法　公式P(A)=1-P( )的应用说明(1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,常常使用该公式转化为求其对立事件的概率.(2)该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反),比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目.
变式训练2在数学考试中,小明的成绩在[90,100]的概率是0.18,在[80,90)的概率是0.51,在[70,80)的概率是0.15,在[60,70)的概率是0.09,在[0,60)的概率是0.07.计算下列事件的概率:(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩;(2)小明考试及格.
解 分别记小明的成绩在[90,100],[80,90),[70,80),[60,70)为事件B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥.(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)(方法一)小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.(方法二)因为小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.
探究点二　互斥事件、对立事件与古典概型的综合应用
【例3】 一个盒子里有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解 (1)由题意知,(a,b,c)所有的样本点为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27个.设“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”为事件A,“抽取的卡片上的数字满足a-b=c”为事件B,“抽取的卡片上的数字满足b-a=c”为事件C,则事件B包括(2,1,1),(3,1,2),(3,2,1),共3个,所以P(B)= ;事件C包括(1,2,1),(1,3,2),(2,3,1),共3个,所以P(C)= 由于事件B与事件C是互斥事件,且A=B∪C,所以P(A)=P(B)+P(C)=即“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”的概率为
规律方法　较复杂的古典概型问题的转化策略(1)设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果.(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时,可间接地计算出其对立事件的概率,再用对立事件的概率公式求解.
变式训练3一盒中装有大小质地完全相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出的1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
解 记事件A1={取出的1球为红球},A2={取出的1球为黑球},A3={取出的1球为白球},A4={取出的1球为绿球},根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式,得(1)取出的1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=(2)取出的1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
1.知识清单:(1)互斥事件的概率加法公式及应用;(2)对立事件的概率公式及应用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:将事件拆分为若干事件时出现遗漏,导致计算概率错误.
1.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为(　　)A.0.1D.0.7
解析 由于中一等奖,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2.
2.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”.若 表示B的对立事件,则在一次试验中,事件A+ 发生的概率为(　　)
3.(多选题)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力,则下列结论正确的是(　　)A.此人被评为优秀的概率为B.此人被评为良好的概率为C.此人被评为不合格的概率为D.此人被评为良好及以上的概率为
解析 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的样本点为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5), (1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10个.令D表示“此人被评为优秀”的事件,E表示“此人被评为良好”的事件,F表示“此人被评为不合格”的事件,G表示“此人被评为良好及以上”的事件,则事件D含(1,2,3),只有1个样本点,事件E含(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,3,5),共6个样本点.故
4.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:
则至多有2人等候排队的概率是　　　　　,至少有3人等候排队的概率是　　　　　. 
解析 记A为“至多有2人等候排队”,则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54,B为“至少有3人等候排队”,则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46.
5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.
(1)随机选取1个成员,他至少参加2个小组的概率是多少?(2)随机选取1个成员,他参加不超过2个小组的概率是多少?