【省重点】2021-2022学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期4月阶段检测数学试题（含答案解析）

【省重点】2021-2022学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期4月阶段检测数学试题

1.  求值(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设与是不共线的非零向量，且与共线，则k的值是(    )

A. 1 B.  C.   D. 任意不为零的实数

3.  的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为(    )

A. 等腰非等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形

4.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知单位向量，满足，则(    )

A. 2 B.  C.  D. 3

6.  求值(    )

A. 4 B.  C.  D.

7.  已知，，、，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是边b上的点异于点A，，，，则ac的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列关于平面向量的说法中，正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，，不共线，则
D. 若，在上的投影向量为，则的值为2

10.  下列式子成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  在锐角三角形ABC中，下列命题成立的是(    )

A. ，，则
B.
C.
D.

12.  双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，下列正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

13.  已知，则__________.

14.  若，且，则的值为__________.

15.  已知是第二象限的角，，则__________.

16.  古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，已知，若，则圆的半径为__________；若，则实数的最小值为__________.

17.  已知为锐角，，，求和的值．

18.  在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为

求A的值；

若，，求

19.  已知函数的部分图象如图所示．

求函数的解析式；

将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若方程在上有两个不等的实数根，且，

①求m的取值范围；②求

20.  如图中，D为BC的中点，E为AB的中点，，令，

试用、表示；

延长EF交AC于P，设，求x的值.

21.  今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国．各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用，已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为的扇形区域AOB，C为弧AB的中点，设

用来表示矩形PQRS的面积，并指出的取值范围．

为多少时，取得最大值，并求出此最大值．

22.  函数

若，求函数的值域；

当，且有意义时，

①若，求正数a的取值范围；

②当时，求的最小值

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查逆用两角和的余弦公式、诱导公式——型，属于基础题.
利用诱导公式以及两角和的余弦公式，即可求出的值.

【解答】

解：


故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线的充要条件，根据两个向量共线的关系，写出两个向量共线的充要条件，属于基础题.
根据与共线，把用k表示，得到关于k的方程，解方程组即可．

【解答】

解：与是不共线的非零向量，且与共线，
，
，
，
解得：或，
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理判断三角形的形状、两角和的正弦公式、诱导公式——型，属于基础题．
由结合正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式，得到，进而求出角B的大小，即可判断的形状．

【解答】

解：在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
由正弦定理得，
则，，
由题意知，
所以，
所以，
因为A是的内角，所以，
所以，所以，
又，所以，
即为直角三角形．
故选：

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别、判断函数的奇偶性、函数零点的个数，属于基础题．

根据函数解析式判断其为奇偶性，结合函数的零点个数以及特殊值法，即可判断得到答案．

【解答】

解：函数，

因为，
所以函数为奇函数，故A项错误；

令，得，则，
所以函数有无数个零点，故C项错误；

当时，，，则，故B项错误．
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
结合已知条件，对两边同时平方求出，然后求出，进而即可得到答案.

【解答】

解：由题意，

由

，

所以

故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

 本题考查利用同角三角函数基本关系化简以及二倍角正弦公式，属于基础题．
利用同角三角函数基本关系和二倍角正弦公式，即可求出的值．

【解答】

解：
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用同角三角函数基本关系化简、逆用两角差的余弦公式，属于中档题.

将已知的两个等式两边平方后相加，利用同角三角函数基本关系以及两角差的余弦公式求出的值.

【解答】

解：因为，，

所以，

所以，
又，，

所以，
所以，所以，

又、，所以，

又，、，所以，
所以，故
故选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查三角形面积公式，基本不等式，属于基础题，

运用三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.

【解答】

解：因为，，所以，

因为，

所以有，

即，因为，当且仅当时取等号，

所以有
故选：

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量相等、平行、基本定理投影向量和数量积，属于基础题.
运用平面向量的基本定理和有关的运算规则逐项分析即可.

【解答】

解：对于A，根据平面向量相等的定义，故A正确；

对于B，若 ，则不能推出 ，故B错误；

对于C，根据平面向量基本定理，故C正确；

对于D，由投影向量的定义可知， 在 上的投影向量⟨⟩ ，

⟨⟩ ，⟨⟩ ，

⟨⟩ ，故D正确.

故选：

10.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查利用同角三角函数基本关系化简，两角和与差的正切公式，属于基础题.
根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得.

【解答】

解：对于A，
而，故A错误;
对于B，，
所以，故B正确;
对于C，，故C错误;
对于D，
，故D正确.
故选：

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，属于基础题，

根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求.

【解答】

解：因为在锐角三角形中，所以，均为锐角

对于A，，得，，所以，；所以A正确；

对于B，若，整理得，化简得，所以，，C为钝角，与题意不符，所以B错误；

对于C，若，则，化简得

，因为均为锐角，所以，必有，得，符合均为锐角，所以C正确；

对于D，因为均为锐角，得，所以，，

所以，
因为，所以，则

所以，成立，所以D正确.
故选：

12.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数的运算，考查函数新定义，属于中档题.

按照函数的定义，将 和 代入逐一判断即可.

【解答】

解：，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

   ，故D错误；
故选：

13.【答案】1 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式以及同角三角函数的关系，属于基础题.
根据平方关系以及弦切互化即可求解.

【解答】

解：由，则

故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量垂直的充要条件和平面向量的坐标运算，属于基础题.

根据向量数量积的坐标运算直接计算可得.

【解答】

解：因为，

所以，

由，

所以，得

故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用诱导公式化简以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．

由同角三角函数基本关系求出，的值，利用诱导公式化简，代入的值即可得到答案．

【解答】

解：因为是第二象限的角，，

所以，，

所以

故答案为：

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题以托勒密定理为背景，主要考查了正弦定理以及基本不等式的运用，属于中档题.

利用圆的内接四边形对角的关系结合已知可求得的边长，然后由余弦定理求角，再由正弦定理可得圆的半径；再在由余弦定理结合已知表示出，使用基本不等式可得最小值.

【解答】

解：因为四边形ABCD内接于圆，

所以，所以

因为

所以，即

又，所以

在中，由余弦定理可得

所以，

记四边形ABCD的外接圆半径为R，则，所以

由上可知，，在中，记

则由余弦定理得，即

又由托勒密定理知，，

即，得

又

所以，

得

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为

故答案为：

17.【答案】解：

【解析】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．
利用和平方关系先求，再由平方关系求，然后再由余弦的两角差公式可得
 

18.【答案】解：因为，又，
所以，所以，又，所以；

因为，所以，

所以

由正弦定理，可得

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式的综合应用，属于中档题．

利用余弦定理及三角形面积公式得到，即可得到，从而求出A；

根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式、诱导公式求出，最后利用正弦定理计算可得；

19.【答案】解：根据函数图象得：，，
所以，所以，所以，
因为函数图象过点，
所以，且所以，
所以
根据题意，所以，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以时，单调递增，当时，单调递减，
因为，，，
①若在上有两个不等的实数根，则
②因为函数关于直线对称，所以，
所以，所以 

【解析】本题考查三角函数的图像象与性质，属于中档题.
根据图象先求A，再求T得到，再代入点的坐标求出即可；
先求单调性；
①确定m的取值范围；
②再根据的对称轴得到的值，求解计算即可.
 

20.【答案】解：
又E为AB的中点，所以，

则；

，

【解析】本题考查向量的线性运算，考查向量共线条件的运用，属于中档题．

先用、表示出，再由得出答案.

用、表示出，由E、F、三点共线，即可列出等式，计算出答案.

21.【答案】解：设QR、PS分别交OC于点D、E，

由题意知，，

所以，，
所以，，
所以，
所以


，
其中的取值范围是

因为，
所以当，即时，取得最大值

【解析】本题考查三角函数在实际生活中的应用、二倍角正弦公式、二倍角余弦公式、逆用两角和与差的正弦公式、辅助角公式、求正弦型函数的最值，属于中档题．

设QR、PS分别交OC于点D、E，根据题意解三角形求出QR、ED关于的表达式，进而用来表示矩形PQRS的面积并求出的取值范围，利用二倍角正弦和余弦公式以及辅助角公式化简

由知的解析式，根据正弦型函数的值域求出的最大值和此时的值．

22.【答案】解：当时，，

因为则令

则，可得，

设，其中，

令，则，

令，其中，属于对勾函数，
下面证明函数在上单调递增，在上单调递减，

任取、且，则

，

当，则，此时，

当，则，此时，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

则，

因此，函数在上的值域为

解：因为，则，令，

设，

①若，必有，因为，则，

当时，即当时，则，可得，符合题意；

当时，即当且时，则，符合题意.

综上所述，；

②令，则，

则，

令，下面证明函数在上单调递减，在上单调递增，

任取、且，则，，

所以，，

所以，，故函数在上单调递减，

同理可证函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；

因为，则，

且，所以，，

又，，

 ，

由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递减，

当时，，

，

，

由对勾函数性质可得，

 综上所述

【解析】本题考查函数的单调性和值域的求法，考查转化能力与运算求解能力，属于困难题

当时，求得，令令利用对勾函数的单调性可得出函数在上的值域，即可得解；

①分析可知，可得出，分、两种情况讨论，化简函数的函数解析式或求出函数的最小值，综合可得出正实数a的取值范围；

②令，则，可得出，分析可得出，利用对勾函数的基本性质结合比较法可求得