2021-2022学年安徽省淮南第一中学高一下学期第三次段考（线上测试）数学试卷（英创班）（含答案解析）

2021-2022学年安徽省淮南第一中学高一下学期第三次段考（线上测试）数学试卷（英创班）

1.  复数，则复数z的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，，，则向量，的夹角为.(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法中正确的个数为.(    )
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥;
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥;
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥;
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

4.  半径为1的球的表面积为.(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知O是所在平面上一点，若，则O是的.(    )

A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心

6.  如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是.(    )

A. 是钝角三角形
B. 是等腰三角形，但不是直角三角形
C. 是等腰直角三角形
D. 是等边三角形

7.  如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的正弦值是.(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设直线平面，过平面外一点A与l，都成角的直线有.(    )

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

9.  设m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是.(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则

10.  如图，四棱锥的底面ABCD为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的有.(    )

A.  B. 平面SCD
C. SA与平面ABCD所成角是 D. AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角

11.  如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是   

A. 直线与平面ABCD所成的角等于
B. 点C到面的距离为
C. 两条异面直线和所成的角为
D. 三棱柱的体积是

12.  如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点M是AD上的动点．将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P，连接DF，下列说法正确的是.(    )

A.
B. 若把沿着EF继续折起，B与P恰好重合
C. 无论M在哪里，PB不可能与平面EFM平行
D. 三棱锥的外接球表面积为

13.  i是虚数单位，则的值为__________.

14.  已知，则的取值范围是__________.

15.  圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为__________.

16.  如图，在三棱锥中，平面ABC，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为__________.

17.  若为纯虚数，求的值．

18.  已知不共线的向量，满足，，

是否存在实数，使与共线？若存在请求出，若不存在请说明理由；

若，求实数k的值．

19.  已知向量，，满足

将y表示为x的函数，并求的最小正周期；

已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对应边，若，且，求的取值范围．

20.  长方体的体积为V，P是的中点，Q是AB上的动点，求四面体的体积.

21.  如图，在四棱锥中，，，，E、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点，

证明：平面平面

22.  如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，，，E为PC的中点．
 

求直线DE与平面PAC所成角的大小；

求二面角平面角的正切值；

在线段PC上是否存在一点M，使平面MBD成立如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的概念与分类，属于基础题.
结合题设由复数的相关定义容易得到结果.

【解答】

解：复数
复数z的虚部为 
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

 本题考查了向量的夹角和向量的数量积，属于基础题.
由题意得，设与的夹角为，由向量的数量积可得的值，即可得出结果.

【解答】

解：由，
设与的夹角为，所以与夹角的余弦值为，
因为，所以与的夹角为
故选

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查正棱锥的结构特征，属于基础题.
由正棱锥的结构特征逐个判断即可.

【解答】

解：对于①，若棱锥的顶点为一个圆锥的顶点，棱锥底面的顶点在圆锥的底面圆周上，这样的棱锥满足侧棱都相等，但不一定是正棱锥.
对于②③，如图中的三棱锥，侧面都是全等的三角形，但该三棱锥不是正棱锥.
由正棱锥的定义可知④正确.
故选：
 

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了球的表面积公式的运用，属于基础题．
利用球的表面积公式解答即可．

【解答】

解：半径为1的球的表面积为
故选：

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的意义.属于基础题.
由数量积的意义，可得，进而可得结论.

【解答】

解：，，，
所以O是的外心.
故选

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查斜二测画法，属于基础题.
根据斜二测的画图规则即可得出结论.

【解答】

解：根据斜二测的画图规则可知在中， O为CA的中点，且且，
则是等腰直角三角形.
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角的求解问题，考查余弦定理，同角函数的基本关系，属于中档题.
可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为，假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值即可得解.

【解答】

解：连接，，

，四边形为平行四边形，，
异面直线与所成角即为与所成角，即，

设，，，，，

，，，

在中，由余弦定理得：

，
，，
异面直线与所成角的正弦值为
故本题选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性.属于中等题.
利用圆锥的母线与底面所成的夹角相等画图，即可得到结果．

【解答】

解：如图，和成角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当，且时，直线AC，AB都满足条件.
故选

9.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查线面，面面，线线的位置关系，属于基础题.
根据线面，面面，线线的位置关系逐一分析即可.

【解答】

解：若，，则或相交或异面，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，则或相交，故C错误；
若，，，则，故D正确.
故本题选：

10.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查直线与直线位置关系，考查线面平行的判定，以及线面角与异面直线夹角，属于中档题，根据底面ABCD，底面ABCD为正方形，易证，判定根据线面平行的判定定理易证平面SCD，判定由底面ABCD判定与BC所成的角为，DC与SC所成的角是，判定

【解答】

解：底面ABCD为正方形，连接BD，则，由底面ABCD，底面ABCD，
则，又，BD、平面SBD，所以平面SBD，又平面SBD，可得，故A正确；
，平面SCD，平面SCD，平面SCD，故B正确；
设BD、AC相交于点O，底面ABCD，是SA与平面 ABCD所成的角，故C错误；
AB与BC所成的角为，DC与SC所成的角是，而这两个角显然不相等，故D错误.
故选：

11.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题主要考查线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的体积的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．
直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的体积求法，点到直线的距离确定选项．

【解答】

解：正方体的棱长为1，
对于选项直线与平面ABCD所成的角为，故选项A正确；
对于选项点C到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；
对于选项两条异面直线和所成的角为与所成的角为，故选项C错误；
对于选项三棱柱的体积是，故选项D错误．
故选

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查折叠问题，空间两直线垂直关系判定，线面平行，三棱锥外接球表面积计算，属于较难题.
A选项，利用线面垂直得到线线垂直选项，利用边长相等，得到B与P恰好重合选项，找到M点使得平面EFM，D选项，求出外接球半径，进而得到三棱锥的外接球表面积.

【解答】

解：对于A：连接BD，与EF相交于G，连接PG，因为正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，所以，≌，故，所以BD是EF的垂直平分线，
所以G是EF的中点，因为，所以，因为，
所以平面PBG，因为平面PBG，所以，A正确;

对于B：因为，故把沿着EF继续折起，B与P恰好重合正确;
对于C：连接AC交BD于点O，则，因为E是AB的中点，点F是BC的中点，
所以，且，当M位于靠近P的三等分点时，，
可得：，因为平面MEF，平面MEF，可得：平面EFM，故C错误：

对于D：由，，由余弦定理得：，所以，
设的外接圆半径为R，由正弦定理得：，
如图，，过点P作于点H，则平面DEF，又因为，
，所以，且，设，则，由勾股定理得：
，即，解得：，
所以，所以，
设球心为I，则底面BFDE，过I作于点N，连接ID，
则，
设，则，
设外接球半径为r，则，即，
解得：，所以，
三棱锥的外接球表面积为，D选项正确.

故选：

13.【答案】1 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的运算以及复数的模的概念，属于基础题.
根据复数的运算以及复数的模求解即可.

【解答】

解：
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算与三角函数的最值，属于基础题．
根据题意，求出向量的坐标，由向量模的计算公式可得的表达式，结合三角函数的性质可得答案．

【解答】

解：因为，
故
则，
因为，所以，
故的取值范围是
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
先算出母线长，就可以算圆锥侧面积．

【解答】

解：如图，

圆锥的母线，
圆锥的侧面展开图为扇形，
故侧面积为，
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查球内接多面体体积的求法，考查正余弦定理的应用及利用基本不等式求最值，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
根据三棱锥外接球的表面积得到外接球的半径，再求得三角形ABC的外接圆的半径为3，结合正弦定理、余弦定理及基本不等式即可求得，则三棱锥体积即可．

【解答】

解：设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，的外接圆半径为r，
则，得，又，，即，
又，得，
由正弦定理，，
由余弦定理
，
当且仅当时取等，则，
三棱锥体积
三棱锥体积的最大值为
故答案为

17.【答案】解：因为为纯虚数，
所以所以
若，则，所以；若，则，所以
综上所述，
故答案为 

【解析】本题考查复数的概念和四则运算及虚数单位i的幂运算，属于基础题.
利用纯虚数的概念结合复数的四则运算得出m的值，再计算即可.
 

18.【答案】解：假设存在实数，使与共线，
则存在，使得，
又，不共线，所以，解得，
即存在，使得与共线；

，，，
若，则，
即，所以，
整理得，解得或 

【解析】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，属于中等题．
假设存在实数，使与共线，由此列出方程求得的值；
由已知条件求得，结合平面向量的数量积列方程求出k的值．
 

19.【答案】解：因为，
所以，，
的最小正周期为
，，
又，，
，即，即
即，当且仅当时取得等号.
而，
即的取值范围为 

【解析】本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及三角函数中的恒等变换应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
根据向量的数量积公式可求出的解析式，然后利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，最后利用周期公式可求出所求；
由求得，在中由余弦定理和基本不等式可得的最大值，再利用构成三角形的条件可求出的取值范围.
 

20.【答案】解：设长方体的长、宽、高分别为，，，则有
P是的中点，所以，
因为Q是AB上的动点，且，
所以
所以 

【解析】本题考查三棱锥体积，属于基础题.
可设、、，则，然后根据即可得出结果.
 

21.【答案】证明：因为，，E为线段AD的中点，
所以，
连接EC，因为，所以四边形ABCE为矩形，
连接BE交AC于点O，连GO，因为G为线段PB的中点，所以，

因为平面PEF，面PEF，所以平面PEF，
而，平面PEF，平面PEF，
故平面PEF，又因为平面GAC，平面GAC，
，
所以平面平面 

【解析】本题主要考查了几何体的体积计算，线面平行，面面平行的判定，考查学生空间想象能力与推理能力，属于中档题．
利用已知及E为线段AD的中点，证明四边形ABCE为矩形，连接BE交AC于点O，连GO，利用线面平行判定定理，得到平面PEF，再利用面面平行判定定理得到平面平面
 

22.【答案】解：连接AC，BD，设，

则由底面ABCD，又平面PAC，
得平面底面ABCD，平面底面，

又由底面ABCD为菱形可得，又平面ABCD，平面

连接OE，则OE为DE在平面PAC上的射影，即为DE与平面PAC所成的角.
由E为PC中点可得，，

由菱形性质可得，在中，，

在中，，

因为底面ABCD，，
所以底面ABCD，又底面ABCD，
，
作交AD于F，连接 EF，
，平面OEF，
平面OEF，又平面OEF，则，

所以就是二面角的平面角，

由ABCD是菱形，且，得，
又，

在中，

过O作于M，

由知平面PAC，平面PAC，，

又，平面MBD，可得平面MBD，

故在线段PC上存在一点M，使平面MBD成立，
在中，
E为PC的中点，，又，

此时，所以M是CE的中点，故 ，

在中，，

所以

【解析】本题主要考查了直线和平面所成的角，二面角，直线和平面垂直的判定与性质，需熟练掌握空间线线，线面，面面垂直的相互转化，属于较难题.

连接AC，BD交于O，连接EO，可证明DO是平面PAC的垂线，即可得到线面角为，解三角形即可求解;
作交AD于F，连接 EF，可证明就是二面角的平面角，解三角形即可求解;
过O作于M，可证明平面MBD成立，根据中位线确定M点位置，即可求出CM的长.