2022-2023学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省淮安市淮阴中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．3 B．4 C． D．10

【答案】C

【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.

【详解】因为，所以.

故选：C.

2．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由正弦函数的图象的对称性可得，由此可以求出的值.

【详解】由题得：，故，而，所以.

故选：B.

3．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A、B、C项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D项.

【详解】

对于A项，因为是边的中点，所以，故A项错误；

对于B项，因为是边的中点，所以，

所以，故B项错误；

对于C项，因为，分别是边，的中点，所以，且.

又因为反向，所以，故C项错误；

对于D项，因为，，分别是边，，的中点，

所以，且,，且，

所以，，.

因为，，所以，

所以，

所以，故D项正确.

故选：D.

4．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】由直观图得到原图可得答案.

【详解】因为，所以，，且，

所以的面积是.

故选：D.

5．已知向量，，，则实数（    ）.

A． B．0 C．1 D．或1

【答案】D

【分析】由已知求出，，.由已知可得，展开代入，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，，.

因为，

所以，，

所以有，

所以，，解得.

故选：D.

6．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的是（    ）

A．平面 B．

C．与所成角为45° D．平面

【答案】D

【分析】连接，，由中位线定理以及线面平行判定判断A；由平面证明；由，得出与所成角；由与不垂直判断D.

【详解】对于A：如图，连接，.

在正方形中，为的中点,，即也为的中点，

在中，分别为的中点，，

又平面，平面，平面，故A正确；

对于B：平面，，，故B正确；

对于C：，，与所成角为，故C正确；

对于D：连接，，

，与不垂直，即与不垂直，则不垂直平面，故D错误；

故选：D

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可.

【详解】，即.

所以.

所以

.

故选：B

8．淮阴中学高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在、处分别测得雕塑最高点的仰角为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（    ）（参考数据）

A．4.92 B．5.076 C．6.693 D．7.177

【答案】A

【分析】运用正弦定理先求出BD，再求出AD.

【详解】在中，由正弦定理得：，

在中，；

故选：A.

二、多选题

9．已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，，，其中为坐标原点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分别求得的值判断选项A；利用向量垂直充要条件判断选项B；分别求得的值判断选项C；利用向量平行充要条件判断选项D.

【详解】设，则，，

则.

选项A：，则.判断正确；

选项B：，则.判断正确；

选项C：，

则，

则不一定成立.判断错误；

选项D：，

，

则不一定成立.判断错误.

故选：AB

10．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（    ）

A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.

B．若，，则.

C．若，，，，，，则.

D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.

【答案】ABD

【分析】举特例即可说明A、D错误；根据直线与平面的位置关系可判断B；由已知结合基本事实2，即可得出C.

【详解】对于A项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A项错误；

对于B项，若，则或与相交，故B项错误；

对于C项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内，

根据基本事实2可知，故C项正确；

对于D项，如图正方体中，和异面，，但是，故D项错误.

故选：ABD.

11．漫步在江苏省淮阴中学没理的校园中，最著名的景点是光荣之门，四面石墙围绕着喷泉，可近似的看作是正八边形的一半.在此图形中.在五边形中，，以下结论正确的是（    ）

A．.

B．

C．在上的投影向量为.

D．点者线段上，且，则的最大值是.

【答案】ACD

【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算性质逐项判断即可.

【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

，，

则且，

，，

， A正确；

，所以 ，B错误；

又，，所以，即在向量上的投影向量为，C正确；

若在线段（包括端点）上，设，，

所以，，

由，可得，

则，故，

所以，D正确.

故选：ACD.

12．已知，且，，是在内的三个不同零点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D.

【详解】由题知，，是的三个根，

可化为，即，

所以可得或，，

解得或，，

因为，所以或或，

故可取，，，

所以选项A错误；

因为，所以选项B正确；

，

故选项C正确；

而

，

根据积化和差公式：，

所以原式可化为：

，故选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：

（1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；

（2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简；

（3）积化和差公式：，，，.

三、填空题

13．已知复数在复平面内对应的点都在射线上，且，则的虚部为______

【答案】

【分析】依题意可设复数，再根据得到方程，解得即可.

【详解】依题意可设复数，

由得，解得（舍去），

所以，

所以的虚部为.

故答案为：.

14．已知函数的部分图像如图所示，若，则等于___

【答案】/

【分析】先利用条件求得，求得最小正周期为4，进而求得的值.

【详解】由，，即，

可得，则，

又，则，

过点B作于E，则，，

则，则，

故答案为：

15．正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为___

【答案】

【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.

【详解】连接并延长交延长线于Q，则

过Q作，交于H，交于K，则，

过K作，交于T，连接，

则六边形即为平面截正方体所得截面，

又均为棱的中点，则截面的周长为

故答案为：

16．中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点.若面积为面积的一半，则的最小值为______

【答案】2

【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.

【详解】设，由向量共线的充要条件不妨设，

则，

即，

又面积为面积的一半可得：，

所以.

，

易知

当时，即重合时取得最小值.

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设、、得到，面积关系得，最后应用数量积运算律转化数量积为关键.

四、解答题

17．己知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位.

(1)求复数；

(2)若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设且，化简得到，结合题意得到，即可求解；

（2）由，求得，根据题意得到且，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，设，其中且，

可得，

因为为实数，可得，解得，即.

（2）解：由，则，

因为复数所表示的点在第一象限，可得且，

解得，所以实数的取值范围为.

18．（1）求的值域

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）令，根据辅助角公式结合正弦函数的性质得出所求值域；

（2）令，结合立方和公式得出，进而得出的取值范围.

【详解】（1）令，则，

即，其中，所以.

即，则，，解得.

即的值域为.

（2）令，因为，

所以，因为，

所以，

所以

，解得.

即的取值范围为.

19．《九章算术，商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，已知四棱锥为一个阳马，面，是上的一点.

(1)求证：；

(2)若，分别是，的中点，求证：平面

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得；

（2）利用线面平行判定定理即可证得平面

【详解】（1）面，面，则，

又，，面，

则面，又面，则

（2）取中点T，连接，

又，则，

又，则，

则四边形为平行四边形，则，

又平面，平面，则平面.

20．在中，的对边分别为，且.

(1)若，求的值；

(2)若，点在线段上，且满足，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到，再由，求得，进而求得时，结合余弦定理，即可求解.

（2）由点在线段上，且满足，得到为角平分线，利用三角形的内角平分线定理求得，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理得，

即，

可得，

又因为，可得，即，

由，可得，可得，可得，

又由，所以或，即或

当时，可得，因为，所以，不符合题意，舍去；

所以时，此时，由余弦定理得，

综上可得，的值为 .

（2）解：由（1）知，即且，可得，，

又由点在线段上，且满足，

因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线，

由三角形的内角平分线定理，可得，即，

在中，可得，

所以，

因为，可得，所以，所以，

即向量的取值范围是.

21．在直角中，，，，为边上一点，且.

(1)若上一点满足，且，求的值.

(2)若为内一点，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由结合平面向量的减法可得出关于的表达式，由可得出，可得出关于的表达式，进而可求得的值；

（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得出，分析可得，其中，设，，利用平面向量的数量积、平面向量的基本知识以及正弦型函数的值域可求得的最小值.

【详解】（1）解：因为，则，即，

因为，则，

又因为，则，，故.

（2）解：在中，，，，则，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，设点，则，可得，

设，若点在上且使得，且为的中点，此时，

因为点在内，所以，，则，，

，，，

所以，，

所以，

，

因为，则，故当时，取最小值.

22．已知复数的三角形式为.

(1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数（用代数形式表示）.

(2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，时.

【分析】（1）根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答案.

（2）由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得出答案.

【详解】（1）把按逆时针方向旋转15°，

所得向量，

因，

，

因为向量恰好在轴正半轴上，

则，

解得，

，

故复数.

（2）存在，时，理由如下：

由题知，

，

因的实部为，则，

令，则，

易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增，

因，则，

则要使得只有最小值而无最大值，

只需要即可，即，即，

当时，，，不符合只有最小值无最大值；

当时，，

因，则，又为正整数，则，

所以，

此时，当取得最小时，易得，

即，解得.

【点睛】关键点睛：本题主要考察复数及其三角形式，计算复数的模和辐角主值是解答的关键，特别注意：中，为的模，是的辐角，中的辐角，叫做的辐角主值，记作，显然.