常州市朝阳中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份常州市朝阳中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
常州市朝阳中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题一、填空题（共10小题，每空2分，满分28分）1. 当x_____时，二次根式有意义．2. 计算：＝_____；＝_____．3. 化简：＝_____；＝_____．4. 化简：＝_____；（x≥0，y≥0）＝_____．5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为       ． 6. 如图，菱形ABCD边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．7. 如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．8. 已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8cm，则该矩形的两边长分别为 _____cm和 _____cm．9. 已知ABCD一内角的平分线与一边相交并把这条边分成4cm，5cm的两条线段，则ABCD的周长是_____cm．10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．二、选择题（共8个小题，每小题2分，满分16分）11. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 12. 下列计算正确的是（　　）A.  B.  C.  D. 13. 下列二次根式中，最简二次根式（　　）A.  B.  C.  D. 14. 下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A. 1：2：3：4 B. 2：2：3：3 C. 2：3：2：3 D. 2：3：3：215. 下列命题中，正确的命题是（　　）A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D. 对角线垂直且平分的四边形是正方形16. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（　　）A. 一定是矩形 B. 一定是菱形C. 对角线一定互相垂直 D. 对角线一定相等17. 若，则x的取值范围是（    ）A. x≥3 B. x＜3 C. x≤3 D. x＞318. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（　　）
 A. 10 B. 16 C. 18 D. 20三、解答题19. 计算：×．20. 计算：÷．21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点均在格点上，点的坐标为．（1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标；（2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．22. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．（1）猜想DF与AE关系；（2）证明你的猜想.23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．24. 如图,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.25. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称        ，       ；（2）如图（1），已知格点（小正方形顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的非长方形的勾股四边形；并写出点M的坐标.（3）如图（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，已知．求证：，即四边形是勾股四边形．
答案与解析一、填空题（共10小题，每空2分，满分28分）1. 当x_____时，二次根式有意义．【答案】≥1【解析】【分析】根据二次根式定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【详解】解：根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2. 计算：＝_____；＝_____．【答案】    ①. 6    ②. 3【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简求出即可．【详解】解：，，故答案为：6；3．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．3. 化简：＝_____；＝_____．【答案】    ①. ，    ②. 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．【详解】＝；＝．故答案为：；【点睛】此题主要考查了二次根式性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4. 化简：＝_____；（x≥0，y≥0）＝_____．【答案】    ①. ，    ②. 【解析】【分析】直接利用二次根式的性质进而化简得出答案．【详解】＝；（x≥0，y≥0），故答案为：；【点睛】此题主要考查了二次根式性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为       ． 【答案】10【解析】【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D∴△ADC是直角三角形∵E是AC中点∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）又∵DE=5，AB=AC∴AB=10故答案为：10．6. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．【答案】【解析】【详解】解：∵E是AB的中点，∴AE=1，∵DE丄AB，∴DE=．∴菱形的面积为：2×=2．故答案为2．7. 如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．【答案】45°##45度【解析】【分析】首先根据正方形性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝ ∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，根据折叠可得∠1＝∠2＝∠ABD，∠3＝∠4＝∠DBC，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EBF＝45°，故答案为：45°．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．8. 已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8cm，则该矩形的两边长分别为 _____cm和 _____cm．【答案】    ①. 4    ②. 【解析】【分析】根据∠AOD＝120°，可得∠AOB＝60°，则△AOB为等边三角形，由AC＝8cm，得AB＝4cm，由勾股定理得，BC＝4cm即可．【详解】解：∵∠AOD＝120°，可得∠AOB＝60°，∵AO＝BO＝CO＝DO，AC＝8cm，∴AB＝4cm，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝（cm），故答案为：4；4．【点睛】本题考查了矩形的对角线平分且相等的性质，解题的关键是注意勾股定理的熟练应用．9. 已知ABCD一内角的平分线与一边相交并把这条边分成4cm，5cm的两条线段，则ABCD的周长是_____cm．【答案】26cm或28cm．【解析】【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，可以求解．【详解】解：如下图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE为角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴①当BE=4cm时，CE=5cm，AB=4cm，
则周长为（9+4）×2=26cm；
②当BE=5cm时，CE=4cm，AB=5cm，
则周长为（9+5）×2=28cm．故答案为：26cm或28cm．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握这些性质定理，并能结合题得出AB=BE是解题关键．注意要分类讨论．10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∴BC边上的高h=，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，∴AM=EF，∴AM=AP，∴当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，∴AP的最小值为，∴AM的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．二、选择题（共8个小题，每小题2分，满分16分）11. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 12. 下列计算正确的是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的开方结果也是非负数，当a的值不确定时要分情况讨论，即带上绝对值符号．【详解】解：∵a的值不确定，可取任意实数，∴，故选：C．【点睛】主要考查了二次根式的化简，在化简的过程中要注意，其中a可取任意实数．13. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式；B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；C、被开方数含分母，不是最简二次根式；D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．14. 下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　）A. 1：2：3：4 B. 2：2：3：3 C. 2：3：2：3 D. 2：3：3：2【答案】C【解析】【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项C能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定．【详解】解：A、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；B、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；C、，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则能判定是平行四边形，故本选项符合题意；D、，则不能判定是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．15. 下列命题中，正确的命题是（　　）A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D. 对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意；C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；D、对角线垂直、相等且平分的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．16. 若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（　　）A. 一定是矩形 B. 一定是菱形C. 对角线一定互相垂直 D. 对角线一定相等【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，利用三角形中位线的性质与菱形的性质即可得出结论．【详解】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC,∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．【点睛】本题考查了中位线性质，菱形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．17. 若，则x的取值范围是（    ）A. x≥3 B. x＜3 C. x≤3 D. x＞3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的非负性解答即可．【详解】∵，而，∴，，解得：，故选C．【点睛】本题考查绝对值、二次根式的非负性，理解绝对值的意义是关键．18. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（　　）
 A. 10 B. 16 C. 18 D. 20【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据三角形的面积公式得出的面积．【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变，函数图象上横轴表示点运动的路程，时，开始不变，说明，时，接着变化，说明，，，的面积是：．故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出三角形的面积是本题的关键．三、解答题19. 计算：×．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【详解】解：原式＝＝＝2，【点睛】本题考查二次根式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．20. 计算：÷．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【详解】解：原式＝＝＝【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点均在格点上，点的坐标为．（1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标；（2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，【解析】【分析】（1）根据平移的性质，画出图形，然后即可得出坐标；（2）根据对称的性质画出图形，然后即可得出坐标．【详解】（1）（2）【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中图形的平移与对称，熟练掌握，即可解题．22. 如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．（1）猜想DF与AE的关系；（2）证明你的猜想.【答案】（1）DF与AE互相平分；（2）见解析.【解析】【分析】（1）DF与AE互相平分；（2）由已知可得四边形BDFE是平行四边形，从而可得BD=EF，由中点的定义可得AD=BD，再根据平行线的性质即可得到∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，从而可利用ASA判定△ADO≌△EFO，根据全等三角形的对应边相等即可得到OD=OF，OA=OE，即得到AE与DF互相平分，或连接AF、DE，然后证明四边形DEFA是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分证明.【详解】（1）DF与AE互相平分（2）如图：连接AF、DE∵EF∥AB，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴EF=AD，∵EF∥AB，∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，在△ADO和△EFO中，  ，∴△ADO≌△EFO，∴OD=OF，OA=OE，即AE与DF互相平分【点睛】此题主要考查平行四边形的判定及性质和全等三角形的判定及性质的综合运用，解题关键是正确运用性质和判定.23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定．【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2（角平分线的定义），∵DE∥AC，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠3（等量代换），∴AE=DE，∴平行四边形AEDF是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．24. 如图,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；（2）四边形BDCF是矩形，理由见解析.【解析】【详解】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．25. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称        ，       ；（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的非长方形的勾股四边形；并写出点M的坐标.（3）如图（2），将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，已知．求证：，即四边形是勾股四边形．【答案】（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）M（3，4）或M′（4，3）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．（3）欲证明DC2+BC2=AC2，只需证明∠DCE=90°．【详解】解：（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE，∵∠CBE=60°，∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．