常州市教育学会2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份常州市教育学会2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
常州市教育学会2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是（    ）A.  B. C.  D. 2. 在平面直角坐标系中，点P(2， 1)所在的象限是（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 下列实数：、、0、﹣、、0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（    ）A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定是（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知△ABC的三边长分别是a、b、c，则下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（    ）A. a2＝（b＋c）（b﹣c） B. a：b：c＝12：15：18C. ∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D. ∠A＝2∠B＝3∠C6. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 如图，∠ABC、∠ACD平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（    ）
 A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个8. 如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A（1，0），则关于x的不等式x（kx＋b）＞0的解集是（    ）A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1或x＜0 D. x＞1或x＜1二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 8的立方根为______．10. 常州地铁1号线全长33.837km，精确到0.01km得到的近似值是______km．11. 点到轴的距离是__________．12. 如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是_____．13. 如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．在图中，有______个格点三角形（不与△DEF重合）与△DEF全等．
 14. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，则绳索长是____．15. 如图，小明将长方形纸片ABCD对折后展开，折痕为EF，再将点C翻折到EF上的点G处，折痕为BH，则∠GBH＝______°．
 16. 如图，两条互相垂直的直线m、n交于点O，一块等腰直角三角尺的直角顶点A在直线m上，锐角顶点B在直线n上，D是斜边BC的中点．已知OD＝，BC＝4，则S△AOB＝______．
 三、解答题（本大题共9小题，共68分，第17、18题每题5分，第19题7分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25题11分）17. 计算：．18. 已知2（x﹣1）3＋54＝0，求x的值．19. 已知：如图，C是AE中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：BC∥DE．
 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）．
 （1）S△ABC＝　   　；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　   　．（4）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，则点Q的坐标是 　   　．21. 如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴正半轴交于点A，与一次函数y＝2x﹣3的图像交于点B（m，1），且OA＝4（1）求k，b的值；（2）求一次函数y＝kx＋b，y＝2x﹣3的图像与x轴所围成的三角形的面积．22. 如图，在△ABC中，AD是高，F是AC的中点，E是AB上一点，且AE＝DE．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．23. 某中学计划举行以“青春启航，奋斗有我”为主题的演讲比赛，需要购买笔记本、中性笔两种奖品奖励给获奖学生，已知1本笔记本和2支中性笔共需40元，2本笔记本和3支中性笔共需70元．（1）求笔记本、中性笔的单价；（2）根据奖励计划，该中学需两种奖品共60件，且中性笔的数量不多于笔记本数量的2倍，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．24. 为迎接周年庆典，某商场面向消费者推出VR（虚拟现实）体验优惠活动，活动方案如下：方案一：若消费者购买一张40元的专享卡，每次VR体验费用按八折付费；方案二：若消费者不购买专享卡，当VR体验超过一定次数后，超过部分享受优惠．设某消费者参加VR体验x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，y2与x之间的函数图像如图所示．
 （1）优惠前每次的VR体验费用是 　   　元；（2）分别y1、y2与x的函数表达式；（3）若VR体验超过10次，该消费者将选择哪种方案？为什么？25. 如图，一次函数的图像与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10（1）若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式；（2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标；（3）直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据将图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形判断即可．【详解】∵A是轴对称图形，∴A符合题意；∵B不是轴对称图形，∴B不符合题意；∵C不是轴对称图形，∴C不符合题意；∵D不是轴对称图形，∴D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形即将图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形，熟记定义是解题的关键．2. 在平面直角坐标系中，点P(2， 1)所在的象限是（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】解：点P(2,1)在第一象限，故选A．3. 下列实数：、、0、﹣、、0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多1个2），其中无理数有（    ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可．【详解】解：由题意知是无理数故选C．【点睛】本题考查了无理数．解题的关键在于理解无理数的定义．4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据全等三角形的判定的方法进行解答即可．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，由SSA无法得出△ABC≌△CDA，不符合题意；
B、∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA，由ASA得出△ABC≌△CDA，符合题意；
C、∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，，由AAS可得出△ABC≌△CDA，符合题意；
D、∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，,由SAS得出△ABC≌△CDA，符合题意；
故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是由已知得到两个已知条件，再根据全等三角形的判定找出能使△ABC≌△CDA的另一个条件．5. 已知△ABC的三边长分别是a、b、c，则下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（    ）A. a2＝（b＋c）（b﹣c） B. a：b：c＝12：15：18C. ∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D. ∠A＝2∠B＝3∠C【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判定选项A和选项B即可；根据三角形的内角和定理求出三角形中最大角的度数即可判断选项C和选项D．【详解】解：A、∵，∴，即，∴是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵，∴设，，，∴，，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵，，∴，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵，，∴，∴，，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握运用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．6. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得k<0，然后把k用x和y表示出来，再把4个选项的x和y分别代入可以求得k的值，根据k<0经过筛选即可得到解答．【详解】解：由题意可得k<0，且，A、x=2，y=4，所以k=，不合题意；B、，不合题意；C、，不合题意；D、，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性并运用逆向思维法求解是解题关键．7. 如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（    ）
 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的性质，得到PG=PF，结合面积公式，可以判断结论①；过点P作PM⊥AC，垂足为M，则PF=PM=PG，得到PA平分∠EAC，利用角的平分线定义，∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，得证∠2=∠4，从而判断结论②，利用四边形内角和定理结合角的平分线判断最后结论．【详解】∵∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，∴PG=PF，∴：＝=AB：BC，∴结论①正确；过点P作PM⊥AC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG，∴PA平分∠EAC，∴∠PAG=∠PAM，∵PA=PA，∠PGA=∠PMA=90°∴△PAG≌△PAM，同理可证，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，∴∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，∴∠2=∠4，∵∠4＋∠ACP＝90°，∴∠2＋∠ACP＝90°，∴∠APB＋∠ACP＝90°，∴结论②正确，  ∵∠ABC＋∠BGP+ ∠GPF+∠PFB＝360°，∠BGP=∠BFP＝90°，∴∠ABC＋∠GPF＝180°，∵∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，∴∠GPF=2∠APC，∴∠ABC＋2∠APC＝180°，∴结论③正确，
 故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，四边形的内角定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质和判定是解题的关键．8. 如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A（1，0），则关于x的不等式x（kx＋b）＞0的解集是（    ）A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1或x＜0 D. x＞1或x＜1【答案】C【解析】【分析】因为不等式x（kx+b）＞0，则或，根据函数的图像与x轴的交点为（1，0）进行解答即可．【详解】解：∵不等式x（kx+b）＞0，∴或，∵一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A（1，0），由图像可知，当x＞1时，y＞0；当x＜1时，y＜0，∴关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是x＞1或x＜0．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能利用数形结合求出不等式的解集．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 8的立方根为______．【答案】2【解析】【分析】根据立方根的意义即可完成．【详解】∵∴8的立方根为2故答案为：2【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．10. 常州地铁1号线全长33.837km，精确到0.01km得到的近似值是______km．【答案】33.84【解析】【分析】根据近似数的精确度，把千分位上的数字7进行四舍五入即可.【详解】 用四舍五入法对33.837取近似数并精确到0.01． 得到近似值是33.84．故答案为： 33.84．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从精确到数的数位的右边一位进行四舍五入是解题的关键．11. 点到轴的距离是__________．【答案】3【解析】【分析】根据到x轴的距离等于点的纵坐标的长度是解题的关键．【详解】解：点（2，-3）到x轴的距离为|-3|=3．故答案为3．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．12. 如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是_____．【答案】【解析】【分析】先把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，则两个一次函数的交点P的坐标为（1，2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】解：把代入，得出，函数和的图象交于点，即，同时满足两个一次函数的解析式，所以关于，的方程组的解是．故答案为．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．13. 如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．在图中，有______个格点三角形（不与△DEF重合）与△DEF全等．
 【答案】3【解析】【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】解：如图，不妨设小正方形的边长为1，由勾股定理可求得当一条边和DF重合时，则点M在点E右侧一个单位，满足条件当一条边NC和DF平行时，则共有两个，和满足条件综上可知最多可画3个格点三角形，可画出如图所示，
 故答案为：3．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意确定出三角形的位置．14. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，则绳索长是____．【答案】尺【解析】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案．【详解】设绳索长为x尺，根据题意有，，解得，故答案为：尺．【点睛】本题主要考查勾股定理，正确的解方程是关键．15. 如图，小明将长方形纸片ABCD对折后展开，折痕为EF，再将点C翻折到EF上的点G处，折痕为BH，则∠GBH＝______°．
 【答案】30【解析】【分析】连接CG，由折叠与对称的性质可得BC=BG，BG=CG，∠GBH=∠CBH，可判定△BCG为等边三角形，结合等边三角形的性质可求解．【详解】解：如图1，连接CG．
 长方形纸片ABCD对折后展开，折痕为EF，再将点C翻折到EF上的点G处，折痕为BH，BC=BG，BG=CG，∠GBH=∠CBH，BC=BG=CG，△BCG为等边三角形，∠GBC=60°，∠GBH=∠GBC=30°，故答案为：30．【点睛】本题主要考查折叠与对称的性质，等边三角形的判定与性质，求出∠BGC的度数是解题的关键．16. 如图，两条互相垂直的直线m、n交于点O，一块等腰直角三角尺的直角顶点A在直线m上，锐角顶点B在直线n上，D是斜边BC的中点．已知OD＝，BC＝4，则S△AOB＝______．
 【答案】##【解析】【分析】过点D作DE⊥DO，交直线n于点E，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得，∠ADO=∠BDE，再根据四边形的内角和等于360°可得∠DAO=∠DBE，从而证得△DAO≌△DBE，进而得到，OA=BE，再由勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥DO，交直线n于点E，连接AD，
 ∴∠ODE=90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=90°，∴AB=AC，∵点D为BC的中点，∴∠ADB=∠ODE=90°，，∴，∠ADO=∠BDE，∵m⊥n，∴∠AOB=90°，∴∠DAO+∠DBO=360°-∠ADB-∠AOB=180°，∵∠DBO+∠DBE=180°，∴∠DAO=∠DBE，∵AD=BD，∴△DAO≌△DBE，∴，OA=BE，∴，∴，∴，∴，∵,∴，∴ ．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共68分，第17、18题每题5分，第19题7分，第20、21、22、23、24题每题8分，第25题11分）17. 计算：．【答案】【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．18. 已知2（x﹣1）3＋54＝0，求x的值．【答案】【解析】【分析】将方程变形为 ，利用立方根的定义计算即得出答案．【详解】解： ，，则，解得：．【点睛】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键．19. 已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：BC∥DE．
 【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意知，，证明，有，进而可证明．【详解】证明：由题意知∵AB∥CD∴在和中∵∴∴∴．【点睛】本题考查了三角形全等，平行线的判定与性质．解题的关键在于证明三角形全等．20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）．
 （1）S△ABC＝　   　；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　   　．（4）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，则点Q的坐标是 　   　．【答案】（1）4    （2）见解析    （3）（-2，0）    （4）（0，）【解析】【分析】（1）利用ΔABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积即可．（2）根据轴对称的性质即可画出ΔA1B1C1．（3）根据线段垂直平分线的性质可得出点P的位置，从而得出坐标．（4）连接AC1，交y轴于Q，根据待定系数法求出k和b的值即可．【小问1详解】解：故答案为：4【小问2详解】解：如图所示， 即为所求
【小问3详解】解：如图，点P（-2,0），故答案为：（-2,0）
【小问4详解】解：连接AC1，交y轴于Q，设AC1的函数关系式为y＝kx＋b，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法求函数解析式等知识，准确找出点的位置是解题的关键．21. 如图，一次函数y＝kx＋b的图像与x轴正半轴交于点A，与一次函数y＝2x﹣3的图像交于点B（m，1），且OA＝4（1）求k，b的值；（2）求一次函数y＝kx＋b，y＝2x﹣3的图像与x轴所围成的三角形的面积．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，求出m的值，从而求出B点坐标，由A、B两点坐标代入一次函数y＝kx＋b列出方程组求出结果；（2）设一次函数y = 2x一3的图象与x轴的交点为C，求出C点坐标，根据三角形面积公式即可求得结论．【小问1详解】解： 点B（m，1）在一次函数y＝2x﹣3的图像上，解得m=2，  B（2，1），OA＝4，A在x轴上， A（4，0）， A（4，0），B（2，1）两点在一次函数y＝kx＋b的图像上， ，解得，【小问2详解】解：如图1，直线BC：y＝2x﹣3， C（，0）， A （4，2），B（2，1）， ．答：图像与x轴所围成的三角形的面积为．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，两直线平行或相交问题，三角形的面积．利用待定系数法求出函数解析式，进而求出函数与坐标轴的交点是解题的关键．22. 如图，在△ABC中，AD是高，F是AC的中点，E是AB上一点，且AE＝DE．（1）求证：△BED是等腰三角形；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．【答案】（1）见解析；    （2）EF垂直平分AD，见解析．【解析】【分析】（1）因为等边对等角，所以，因为等角的余角相等，所以，又等角对等边，得到，可知是等腰三角形；（2）直角三角形斜边的中线是斜边的一半可得，到线段两点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点E和点F都在线段垂直平分线上，两点确定一条直线，故EF垂直平分AD．【小问1详解】证明：，，又是高，，，，∴，，是等腰三角形．【小问2详解】答：EF垂直平分AD，理由如下：，F是AC的中点，，点F在AD的垂直平分线上，又，点E在AD的垂直平分线上，EF垂直平分AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定以及线段垂直平分线的判定，综合性较强，灵活运用所学等腰三角形的知识点和线段垂直平分线判定方法是做出本题的关键．23. 某中学计划举行以“青春启航，奋斗有我”为主题的演讲比赛，需要购买笔记本、中性笔两种奖品奖励给获奖学生，已知1本笔记本和2支中性笔共需40元，2本笔记本和3支中性笔共需70元．（1）求笔记本、中性笔的单价；（2）根据奖励计划，该中学需两种奖品共60件，且中性笔的数量不多于笔记本数量的2倍，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】（1）笔记本20元，中性笔10元；    （2）购买笔记本20本，中性笔40支，费用最小为800元．【解析】【分析】（1）设笔记本的单价为x元，中性笔的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可得；（2）设购买笔记本m本，则购买中性笔支，根据题意列出不等式得出，设所需总费用为W元，根据题意得出W与m的一次函数，然后根据其性质求解即可得．【小问1详解】解：设笔记本的单价为x元，中性笔的单价为y元，根据题意可得：，解得：，答：笔记本的单价为20元，中性笔的单价为10元；【小问2详解】解：设购买笔记本m本，则购买中性笔支，根据题意可得：，解得：，设所需总费用为W元，根据题意可得：，当时，W取得最小值为800元，即购买笔记本20本，购买中性笔40支，总费用为800元．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式、一次函数的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．24. 为迎接周年庆典，某商场面向消费者推出VR（虚拟现实）体验优惠活动，活动方案如下：方案一：若消费者购买一张40元的专享卡，每次VR体验费用按八折付费；方案二：若消费者不购买专享卡，当VR体验超过一定次数后，超过部分享受优惠．设某消费者参加VR体验x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，y2与x之间的函数图像如图所示．
 （1）优惠前每次的VR体验费用是 　   　元；（2）分别y1、y2与x的函数表达式；（3）若VR体验超过10次，该消费者将选择哪种方案？为什么？【答案】（1）30    （2），    （3）当VR体验超过15次时，选择方案二，当VR体验等于15次时，两种方案一样，当VR体验超过10次且小于15次时，选择方案一【解析】【分析】（1）由函数图像可知，消费者的体验费用为原价为元；（2）由题意知；当时，，当时，设函数表达式为，将和代入解得的值，进而可得函数表达式；（3）令，解得，可知当体验次数大于15次时，选择方案二更优惠；当体验次数等于15次时，两方案均可；当体验次数超过10次小于15次时，选择方案一更优惠．【小问1详解】解：由函数图像可知，消费者的体验费用为原价∵∴优惠前每次的VR体验费用是30元．【小问2详解】解：由题意知当时，当时，设函数表达式为将和代入得解得∴∴y1、y2与x的函数表达式分别为，．【小问3详解】解：令解得可知当体验次数大于15次时，选择方案二更优惠；当体验次数等于15次时，两方案均可；当体验次数超过10次小于15次时，选择方案一更优惠；∴当VR体验超过15次时，选择方案二，当VR体验等于15次时，两种方案一样，当VR体验超过10次且小于15次时，选择方案一．【点睛】本题考查了一次函数，分段函数的应用．解题的关键在于从函数图象上获取信息．25. 如图，一次函数的图像与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．如果将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上，那么直线BD称为直线AB的“伴随直线”．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10（1）若点C在y轴负半轴上，求直线AB的“伴随直线”BD的函数表达式；（2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标；（3）直线AB的“伴随直线”BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）（3，6）或（，）    （3）存在，(12,12)或(-3,12)【解析】【分析】（1）由对称性可得AB=8，OC=4，如图，由S△ABD=AD·OB=AB·DT求出D（3，0），用待定系数法即可求BD的解析式；（2）分两种情况：当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB，求出直线BA的解析式为y=x+6，设E（t，t+6），再由DE=3=，即可求E（，）；②当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB此时四边形BOCE是矩形，则E（3，6）；（3）当F点与D点关于B点对称时，BF=BD，设F（m，-2m+6），再由BD=BF=3=，即可求F点坐标；同理，当C点在y轴正半轴上时，求F点坐标．【小问1详解】解：∵直线AB沿直线BD翻折点A对应点C落在y轴上，∴直线BD为∠ABO的平分线所在直线，如图所示，过点D作线段，DT⊥AB于点T．设点D（d，0），则
 ∴OD=DT=d，由对称性可知，AB=BC=10，∵点B坐标为（0，6），∴OB=6∴在Rt△AOB中，OA===8∴AD=OA-OD=8-d，∵S△ABD=AD·OB=AB·DT∴(8-d)6=解得：d=3∴D（3，0），设直线BD的解析式为y=kx+6（k≠0）， ∴，∴，∴y=-2x+6；【小问2详解】①如图2，当E点与O点关于直线BD对称时，△OBD≌△EDB，∴E点在直线AB上，∵D（3，0），A（8，0），∴AD=5，∵OD=3，∴DE=3，设直线BA的解析式为y=k'x+b'，∴，∴，∴y=x+6，设E（t，t+6），∴3=，∴t=，∴E（，）；②如图3，当BE⊥y轴，DE⊥x轴时，△OBD≌△EDB此时四边形BOCE是矩形，∴E（3，6）；综上所述：E点坐标为（，）或（3，6）；【小问3详解】存在，理由如下：如图4，当F点与D点关于B点对称时，BF=BD，∴S△ABD=S△ABF，∵F点在直线BD上，设F（m，-2m+6），∵BD===3，∴BF=3=，∴m=±3，∴F（3，0）（舍）或F（-3，12）；故点F坐标为（-3，12）；如图5，当C点在y轴正半轴时∵点B(0，6)，BC=10，∴C(0，16)∴OC=16，∴OB=6，由对称性可知，AB= BC= 10，∴OA= 8，∵BD⊥AC，∴∠OAC +∠OCA=90°，∠ADN+∠NAD=90°，∵∠CAO=∠DAN，∴∠ADN=∠OCA，∴tan∠OCA=，∴，∴OD=12，∴D(－12，0)设直线BD的解析式为：y=kx+b，∴解得：∴，∵F点在直线BD上，设F(m，)，∵BD=，∴BF=，∴m=12，F(12，0)(舍)或F(12，12)综上所述，F点的坐标为(12，12)或(-3，12)．【点睛】本题是一次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合．