2021-2022学年北京八中高一（下）段考数学试卷（6月份）（含答案解析） (1)

这是一份2021-2022学年北京八中高一（下）段考数学试卷（6月份）（含答案解析） (1)，共16页。试卷主要包含了 复数z=−2+i的虚部为， 已知向量a=，b=， 在△ABC中，A等内容，欢迎下载使用。
A. 2B. −2C. 1D. i
2. 已知向量a=(x,2)，b=(3,−1).若a⊥b，则x=( )
A. 23B. 32C. −3D. −6
3. 要得到函数y=sin(2x+π2)的图象，只要将函数y=sin2x的图象( )
A. 向右平移π2个单位长度B. 向左平移π2个单位长度
C. 向右平移π4个单位长度D. 向左平移π4个单位长度
4. 在复平面内，复数i2(1−i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. 已知α∈(π,2π)，且tanα=−34，则sin(2π−α)cs(π−α)sin(π2−α)的值为( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
6. 在△ABC中，A=60∘，a=43,b=42，则∠B等于( )
A. 45∘或135∘B. 135∘C. 45∘D. 30∘
7. 在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=( )
A. 4：1：1B. 2：1：1C. 3：1：1D. 3：1：1
8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2−b2=3ac，则角B的值为( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
9. 在△ABC中，若sinA>sinB，则( )
A. a>bB. ac2，则C2c，则Cb可得A>B，从而可求B.
本题主要考查了在三角形中，所给的条件是边及对的角，可利用正弦定理进行解三角形，但利用正弦定理解三角形时所求的正弦，由正弦求角时会有两角，要注意利用大边对大角的运用．
7.【答案】D
【解析】解：∵A：B：C=4：1：1，A+B+C=π，
∴解得：A=2π3，B=C=π6，
∴由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=32：12：12=3：1：1.
故选：D.
由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解．
本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵a2+c2−b2=3ac，
∴根据余弦定理得csB=(a2+c2−b2)2ac=32，即csB=32，
∴csB=32，又在△中所以B为π6.
故选：A.
通过余弦定理求出csB的值，进而求出B.
本题考查了余弦定理的应用．注意结果取舍问题，在平时的练习过程中一定要注意此点．
9.【答案】A
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB=2R，可得：a=2RsinA，b=2RsinB，
因为sinA>sinB，
所以a>b.
故选：A.
根据正弦定理将已知条件实现角化边，即可判断和选择．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．
设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得csθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180∘−θ，即可得答案．
【解答】
解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180∘−θ，
有余弦定理可得，csθ=25+64−492×5×8=12，
易得θ=60∘，
则最大角与最小角的和是180∘−θ=120∘，
故选：B.
11.【答案】B
【解析】解：对于①，∵A+B+C=π，
∴sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
即sinBcsC+csBsinC=2sinBcsC，整理得sin(B−C)=0，
∵B，C是三角形内角，∴B−C=0⇒B=C，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
对于②，∵sin2A=sin2B，∴2A=2B或者2A+2B=π，即A=B或者A+B=π2，△ABC是等腰三角形或者是直角三角形，故②错误；
对于③，∵sinA=csB=sin(π2−B)，∴A=π2−B，或者A+π2−B=π，
即A+B=π2或者A−B=π2，△ABC是直角三角形或是钝角三角形，故③错误；
对于④，设C是△ABC的最大角，
若C是钝角，则csCcsAcsBcsC恒成立；
若C=π2，则csAcsBcsC=0，sinAsinBsinC=sinAsinB>0，原不等式成立；
若0csC>0，∵cs(A+B)=csAcsB−sinAsinB=cs(π−C)csAcsB，sinAsinBsinC>csAcsBsinC>csAcsBcsC，
∴△ABC不论为何种三角形，不等式sinAsinBsinC>csAcsBcsC恒成立，故④正确；
对于⑤，∵|csx|≤1，∴|cs(A−B)|≤1，|cs(B−C)|≤1，|cs(C−A)|≤1，
∵cs(A−B)cs(B−C)cs(C−A)=1，∴必有cs(A−B)=1，cs(B−C)=1，cs(C−A)=1，
即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故⑤正确；
综上所述，正确的选项为①④⑤，共三个，
故选：B.
根据每一项提供的条件，运用诱导公式以及A，B，C是三角形内角，逐项分析可以求解．
本题考查真假命题的判断与应用，考查三角形形状的判断及两角和与差的三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：如图，
在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，
则z1所对应的点对应OA，z2所对应的点对应OB，
∴|AB|=|OB−OA|=|z2−z1|=|z1−z2|，
故选：C.
由题意结合复数作对应的向量运算求解．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
13.【答案】C
【解析】解：根据题意，设所求向量为c，
因为|a|=32+(−1)2=10,|b|=12+32=10，故|a|=|b|，
且a⋅b=3−3=0，即a与b的夹角为90∘，
又c与向量a=(3,−1)和b=(1,3)夹角均相等，则c与a+b=(4,2)共线，
设c=λ(4,2)，则|c|=|λ|42+22=25|λ|=2，故|λ|=55，
即λ=±55，故c=(455,255)或(−455,−255)
故选：C.
根据题意可得，|a|=|b|，故所求向量与a+b共线，再根据共线向量的性质求解，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】A
【解析】解：由题得csθ1=a⋅c|a||c|=1+csα2+2csα=1+csα2=csα2，
因为θ1∈[0,π]，α∈(0,π)，所以θ1=α2.
csθ2=b⋅c|b||c|=1−csβ2−2csβ=12(1−csβ)=sinβ2=cs(β−π2)，
因为θ2∈[0,π]，β∈(π,2π)，所以θ2=β2−π2.
因为θ1−θ2=π6，所以α2−β2+π2=π6，∴α2−β2=−π3.
所以α−β4=−π6，所以sinα−β4=−12.
故选：A.
根据已知求出θ1=α2，θ2=β2−π2，再求出α−β4=−π6即得解．
本题主要考查了向量夹角公式，二倍角公式的应用，还考查了余弦函数的性质，属于中档题．
15.【答案】A
【解析】解：在△PAB中，由余弦定理得：
PB2=PA2+AB2−2PA⋅AB⋅csA=1+3−23csA=4−23csA，
在△PQB中，由余弦定理得：
PB2=PQ2+QB2−2PQ⋅QB⋅csQ=2−2csQ，
则4−23csA=2−2csQ，即csQ=3csA−1，
故m2+n2=(32sinA)2+(12sinQ)2=34sin2A+14sin2Q
=34(1−cs2A)+14(1−cs2Q)
=1−34cs2A−14(3csA−1)2
=−32(csA−36)2+78，
所以当csA=36时，m2+n2取得最大值78.
故选：A.
利用三角形面积公式分别表示出m与n，代入m2+n2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值即可．
此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
16.【答案】12
【解析】解：因为z=3+i(1−3i)2=3+i−2−23i=−12⋅3+i1+3i=−12⋅(3+i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−12⋅23−2i4=−34+14i，
所以z−=−34−14i，
所以|z−|=(−34)2+(−14)2=12.
故答案为：12.
先根据复数的乘法和除法运算法则化简求解出z，则z−可知，然后根据复数模的计算公式求解出|z−|.
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
17.【答案】2+2
【解析】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A′B′=2，下底为BC=1+2，
∴1+1+22×2=2+2.
故答案为：2+2.
原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+2，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．
本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．
18.【答案】3+1
【解析】解：正三棱柱ABC−A′B′C′如图1所示．
图1
当按照图2所示展开，过P作PP′⊥A′C′于P′，可知PP′=1，A′P′=3，
由勾股定理可得AP=PP′2+A′P′2=10；
图2，
当按照图3所示展开，连接A′P交B′C′于点O，可知OP=1，A′O=3，
所以A′P=3+1.
图3
因为3+1