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2021-2022学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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这是一份2021-2022学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2021-2022学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

在复平面内，复数对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

已知向量，，且，则的值为( )

A. B. C. D.

如图，在平行四边形中，下列结论正确的是( )

A. B.
C. D.

已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则是( )

A. 钝角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形，但不是等腰三角形

已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，下列结论中正确的是( )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若与不相交，则 D. 若，则与不相交

某西瓜种植基地种植了三个品种的西瓜共计亩，其中品种亩，品种亩，品种亩．为了解该西瓜种植基地的西瓜产量，按照各品种的种植亩数在总体中所占的比例进行分层随机抽样，从总体中抽出亩作为样本进行调查，测得样本中品种总产量为吨，品种总产量为吨，品种总产量为吨，则这亩西瓜的总产量估计为( )

A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨

两位射击运动员在射击测试中各射靶次，每次命中的环数如表：

甲
乙

用，分别表示甲、乙两名运动员次射击成绩的第百分位数，用，分别表示甲、乙两名运动员次射击成绩的标准差，则有( )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的取值范围是( )

A. B. C. D.

把和的图象围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为( )

A. B. C. D.

已知正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是( )
直线与直线垂直；
直线与平面平行；
点与点到平面的距离相等；
平面截正方体所得的截面面积为．

A. B. C. D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

若复数其中为虚数单位，则的共轭复数为______．
在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则______．
已知向量，，且，则______，______．
一个袋子中有大小和质地相同的个红球和个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出个球，若取出的个球颜色不同的概率为，则的所有可能取值为______．
如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台已知湿地夹在公路，之间的长度均超过，且在公路，上分别设有游客接送点，，若要求观景台建在，两点连线的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为______．

已知是单位向量，向量满足，且，其中，，且则下列结论中，正确结论的序号是______．
；
；
存在，，使得；
当取最小值时，．

三、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

为方便，两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从，两地区分别随机抽样调查了名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图：

根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：

满意程度评分
满意程度等级	不满意	满意	非常满意

Ⅰ从地区随机抽取一名乘客，以频率估计概率，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；
Ⅱ从地区与地区各随机抽取一名乘客，记事件为“抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为非常满意且另一名乘客的满意程度等级为不满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件的概率；
Ⅲ设为从地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，为从地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，为从，两地区随机抽出的这名乘客的满意程度评分的平均数，试比较与的大小，并说明理由．

在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ从，中选取一个作为条件，证明另外一个成立；
Ⅲ若为线段上一点，且，，求的面积．
如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，，，分别为，的中点．
Ⅰ证明平面，并求点到平面的距离；
Ⅱ证明：，，，四点共面．

如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面平面；
若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．

若集合，其中，，，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分．
Ⅰ写出集合的所有不同的划分；
Ⅱ设为有理数集的一个划分，且满足对任意，任意，都有则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；
中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．
Ⅲ设集合，对于集合的任意一个划分，证明：存在，存在，，使得．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查复数的运算及其几何意义，属基础题．
化简复数后可得其对应点为，从而可解．
【解答】
解：，
故对应的点在第一象限，
故选：．

2.【答案】

【解析】解：，，则，
故选：．
运用向量平行的坐标运算求之．
本题考查了向量平行的坐标运算，是基础题．

3.【答案】

【解析】解：由于在平行四边形中，
根据平行四边形的性质：
所以，，，
故选：．
直接利用向量的加法和减法运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法和减法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：在中，由正弦定理可得，
，又，
，
即，
，
故三角形为等边三角形，
故选：．
利用正弦定理转化为，即可解出．
本题考查了解三角形，正弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：已知，．
若，则或与相交，故A错误；
若，则或与异面，故B错误，D正确；
若与不相交，则或与相交，故C错误．
故选：．
由两平面中两直线的位置关系判断两平面的位置关系判断；由两平面平行分析两平面内两直线的位置关系判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

6.【答案】

【解析】解：由题意可得，这亩西瓜的总产量估计为．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：将甲、乙两组数据分别从小到大排列：
甲：，，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，，
，，，
甲的平均数，
乙的平均数，
，
同理得，
，，
故选：．
根据百分位数和方差的定义计算求解．
本题考查命题真假的判断，考查百分位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8.【答案】

【解析】解：因为，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
由为三角形内角可得：，
故选：．
由已知整理可得：，由余弦定理可解得，结合为三角形内角即可解得的取值范围．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，由正弦定理进行边角互化是解题的关键，属基础题．

9.【答案】

【解析】解：因为和的图象围成的封闭平面图形是等腰三角形，且等腰三角形的底面边长为，高为，
该三角形绕轴旋转一周所得几何体是底面为的圆柱，挖去两个相同的圆锥剩余的部分，
所以该几何体的体积为．
故选：．
根据和的图象围成的封闭平面图形是等腰三角形，且该三角形绕轴旋转一周所得几何体是圆柱挖去两个相同的圆锥剩余的部分，由此求出该几何体的体积．
本题考查了简单组合体的结构特征应用问题，也考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于，由正方体，得，
是直线与直线所成角，
连接，而平面，，
在中，不可能是直角，
直线与直线不垂直，故错误；
对于，连接，，，则，，

平面，平面，平面，
平面，故正确；
对于，若点与点到平面的距离相等，则平面必过的中点，
连接于，且不是的中点，
则平面不过的中点，即点与点到平面的距离不相等，故错误；
对于，，，等腰梯形即为平面截正方体所得截面，
则，，，，之间的距离为：
，
平面截正方体所得的截面面积为：
．
故选：．
由是直线与直线所成角，判断；连接，，，由线面平行的判定判断；由平面不过的中点，判断；先找出截面，再计算面积，判断．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11.【答案】

【解析】解：，．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：由于在中，由于，，，
则，
整理得，
由于，
故C．
故答案为：．
直接利用正弦定理求出，进一步确定的值．
本题考查的知识要点：三角函数的值，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：因为，
所以，
则，解得，
所以，
所以．
故答案为：；．
根据向量坐标的线性运算求出，再根据数量积的坐标运算即可求出，再根据向量的模的坐标公式即可求出．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量的模的计算等知识，属于基础题．

14.【答案】或

【解析】解：一个袋子中有大小和质地相同的个红球和个绿球，
采用有放回方式从中依次随机地取出个球，
则取出的个球颜色不同的概率为：
，
化简得，解得或，
故答案为：或．
先求出取出的个球颜色不同的概率，再解方程求解即可．
本题考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15.【答案】

【解析】解：在中，，
在中，设，，由余弦定理可得：，
即：，即，
因为，所以，
当且仅当时，取到最大值，即与之和最长为．
故答案为：．
利用余弦定理得到关于与的方程，借助基本不等式求的最大值．
本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：由可得，即，正确；
又且，则，
即，所以，
又，则，同理，
则，即，错误；
由知，至少一正，若，一正一负，则，
显然不满足，
故，均为正，则，
当且仅当时等号成立，则，
当且仅当时等号成立，则存在，，使得，正确；
当取最小值时，，由可得，则，
即，则，正确．
故答案为：．
由结合数量积运算得；又由，求得，进而得；结合基本不等式求得；进而得到，同时平方即得．
本题主要考查平面向量的数量积，向量的模的相关运算等知识，属于中等题．

17.【答案】解：由频率分布直方图知，，解得．
则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为．
从地区随机抽取一名乘客．
该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是不满意的概率为．
从地区随机抽取一名乘客．
该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是不满意的概率为．
则．
．
理由如下：．
．
因为，两地区人数比为：，则．
则，，则．

【解析】先由频率和为解出，再求是非常满意的概率即可．
分别求出、地区非常满意和不满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可．
由频率分布直方图求得，，进而求，计算求解即可．
本题主要考查利用频率分布直方图解决实际问题，属于中档题．

18.【答案】Ⅰ解：因为，
所以，
所以，
又，
所以；
Ⅱ证明：选，
因为，
所以，
所以，即，
所以；
选，因为，
所以，
所以，
又，，则，
所以，
即，
所以；
Ⅲ解：由Ⅰ得，则，
因为，所以，

，
所以的面积为．

【解析】Ⅰ利用余弦定理即可得解；
Ⅱ选，根据结合Ⅰ求出，，可得，则有，再根据正弦定理化角为边即可得证；
选，利用正弦定理化边为角，再结合Ⅰ即可得出结论；
Ⅲ利用正弦定理求得，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

19.【答案】解：Ⅰ证明：四边形为菱形，，
又侧棱底面，底面，
，
又，，
又，、平面，平面，
设，交于点，则即为点到平面的距离，
又，，，
点到平面的距离为；
Ⅱ证明：取中点，
连接，，，，由题意得，，
四边形是平行四边形，，
又，，，，四点共面．

【解析】Ⅰ由及，即可证得平面，设，交于，即为点到平面的距离，再由三角形知识求解即可；
Ⅱ取中点，先证得四边形为平行四边形，得到，进而证明得，即可证得结论．
本题考查线面垂直、线线平行的判定与性质、平面的基本性质及推论等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.【答案】解：证明：平面，平面，平面平面，
所以．
证明：因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
当为中点时，平面．
证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面．
线段上存在点，使得平面．

【解析】由线面平行的性质定理即可证明．
由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面．
取的中点，连接，，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得平面．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的判断和性质的应用，属于基础题．

21.【答案】解：Ⅰ集合的所有不同的划分为：
，，，，，．
Ⅱ可能成立，举例如下：，；
可能成立，举例如下：，；
可能成立，举例如下：，；
不可能成立，证明如下：
假设成立，不妨设中元素的最大值为，中元素的最大值为，
由题可知，，
为中元素的最大值，，
为中最大值，，
，，这与矛盾，
假设不成立，不可能成立．
Ⅲ证明：集合中有个元素，，，中至少有一个集合包含个元素，
不妨设中至少包含个元素，
设，，，，，，且，
假设对任意，对任意，，都有，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
则，中必有一个集合至少包含，，，，中的个元素，
不妨设这个元素为，，，，
由假设可知，，，
对任意，，存在，，
都有，
，，，而，与假设矛盾，
假设不成立，
存在，存在，，使得．