数学北师大版 (2019)3.2 向量的数乘与向量共线的关系同步练习题

这是一份数学北师大版 (2019)3.2 向量的数乘与向量共线的关系同步练习题，共15页。试卷主要包含了在中，，则______，化简等内容，欢迎下载使用。
【名师】3.2 向量的数乘与向量共线的关系-1练习一．填空题1．如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，用向量，表示向量，则______.2．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.3．如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______.4．在中，，则______．5．点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是___________.6．已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则的值为_______.7．若为正方形，为的中点，且，，则可以用和表示为____________.8．在中，已知是边上一点，若，，则_____．9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，．若存在实数使，且，则点的轨迹方程为________________．    
10．化简：______.11．在△ABC中，已知为△ABC的重心，用表示向量=_____12．中，是边的中点，点满足，则向量用向量，表示为____________．13．若，则的值为______________14．点在线段上，且，则______.15．如图，在中， ．分别为边．的中点. 为边上的点，且，若， ，则的值为           .
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】在平行四边形中,因为点是边的中点,所以可以证明,且相似比为,从而证明出是的三等分点,同理也是的三等分点,进而可以利用向量的三角形法则求出.【详解】在平行四边形中,,,,且相似比为,,即是的三等分点,同理也是的三等分点,,故答案为:.【点睛】本题考查了向量三角形法则的应用,结合了平面几何的知识,难度不大.2．【答案】【解析】分析：解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.详解：解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，所以 解得： ，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.3．【答案】【解析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可.【详解】如图，设，，则，连接，，过点，点作的垂线，垂足分别为点，点，由向量加法的平行四边形法则可知又同理可得∴.故答案为：【点睛】本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题.4．【答案】【解析】利用向量减法得到B，D，C三点共线的向量关系，即得到.详解：因为，所以所以，所以即.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的共线关系，属于基础题.5．【答案】【解析】结合平面向量的线性运算，可推出，从而可知点在边上，且，进而可得，即可得出答案.详解：由题意，，所以，即.所以在△中，点在边上，且，设点到边上的高为,则.故答案为：.【点睛】若，则三点共线，且.6．【答案】【解析】根据垂心得到，得到，即，，计算得到答案.【详解】因为是的垂心，所以，因为，且，所以，所以，同理，即，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．【答案】【解析】利用平面向量基本定理，取和为基底，将用基向量表示出即可．【详解】如图，．故答案为：.【点睛】考查向量的加法．减法．数乘运算的综合运用，属于容易题．8．【答案】【解析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；由①．②得出，从而求出的值．【详解】中，是边上一点，，，如图所示，①，，②；①②得，，；．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的加法与减法的几何意义．平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用．9．【答案】【解析】将转化为，其中，根据，判断出三点共线，由此求得的轨迹方程.【详解】设，则.由于，所以三点共线，即点在直线上.直线的方程为，化简得.所以点的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查三点共线的条件与应用，考查直线方程的求法，属于中档题. 10．【答案】【解析】根据向量的线性运算，得到答案.详解：故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算，属于简单题.11．【答案】【解析】利用三角形的重心的性质，即可用向量表示向量，即可求解，得到答案.【详解】由题意，设边的中点为，因为为△ABC的重心，且，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算法则，以及三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记三角形重心的性质，熟练应用向量的运算法则求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．【答案】【解析】利用向量加法和减法的运算，将用，表示出来.【详解】依题意.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.13．【答案】【解析】根据确定长度和方向画出图形，得到答案.【详解】如图所示：根据得到长度和方向关系，故故答案为：【点睛】本题考查了向量的计算，画出图形可以直观的得到答案，简化了运算，是解题的关键.14．【答案】【解析】分析：根据题意得出三点的位置，根据数乘向量的概念即可得结果.详解：由可得三点的位置如图所示：其中为的三等分点（靠近）所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了数乘向量的概念，得到的位置是解题的关键，属于基础题.15．【答案】.【解析】 为的中点，， ， ， ， .考点：平面向量的基底表示