2021学年3.2 向量的数乘与向量共线的关系学案

这是一份2021学年3.2 向量的数乘与向量共线的关系学案，共7页。

1．共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb，
思考：1.在共线(平行)向量基本定理中，为什么强调“非零向量a”？
提示： 当a＝0，b≠0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一．
2．直线的向量表示
已知两点A，B确定一条直线l，l上任意一点P所对应的向量eq \(AP,\s\up8(→))与向量eq \(AB,\s\up8(→))平行，即存在唯一实数t，使得eq \(AP,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→))，这说明用一个点A和一个非零向量eq \(AB,\s\up8(→))可以唯一地确定过点A与向量eq \(AB,\s\up8(→))平行的直线l.
通常可以用eq \(AP,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→))表示过点A，B的直线l，其中eq \(AB,\s\up8(→))称为直线l的方向向量．
思考：2.一条直线的方向向量唯一吗？
提示：不唯一．
1．平面向量a，b共线的充要条件是( )
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．存在λ∈R，b＝λa
D．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0
D [A忽略了方向相反的情况；B只考虑了特例；C没有包含a＝0而b≠0的情形；D是充要条件．]
2．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量eq \(AB,\s\up8(→))＝a－kb，eq \(CB,\s\up8(→))＝2a＋b，eq \(CD,\s\up8(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．10 B．－10
C．2D．－2
C [因为A，B，D三点共线，所以eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(BD,\s\up8(→))＝λ(eq \(CD,\s\up8(→))－eq \(CB,\s\up8(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.]
3．已知向量a＝e1＋3e2，b＝－eq \f(1,2)e1－eq \f(3,2)e2，则a与b的关系是________．
a∥b [∵a＝－2b，∴a∥b.]
4．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq \(AB,\s\up8(→))＝e＋2f，eq \(BC,\s\up8(→))＝－4e－f，eq \(CD,\s\up8(→))＝－5e－3f.
(1)用e、f表示eq \(AD,\s\up8(→))；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
[解] (1)eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为eq \(AD,\s\up8(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq \(BC,\s\up8(→))，所以eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))方向相同，且eq \(AD,\s\up8(→))的长度为eq \(BC,\s\up8(→))的长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形.
【例1】 已知两个非零向量a、b不共线，eq \(OA,\s\up8(→))＝a＋b，eq \(OB,\s\up8(→))＝a＋2b，eq \(OC,\s\up8(→))＝a＋3b.证明：A、B、C三点共线．
[证明] 由于eq \(OA,\s\up8(→))＝a＋b，eq \(OB,\s\up8(→))＝a＋2b，eq \(OC,\s\up8(→))＝a＋3b，
则eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝a＋2b－a－b＝b，而eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝a＋3b－a－b＝2b，
于是eq \(AC,\s\up8(→))＝2eq \(AB,\s\up8(→))，即eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))共线，
又∵eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))有公共点A，
∴A、B、C三点共线．
共线向量基本定理的应用
1若b＝λaa≠0，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行.
2若b＝λaa≠0，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若eq\(AB,\s\up8(→))＝λ\(AC,\s\up8(→))，则\(AB,\s\up8(→))与\(AC,\s\up8(→))共线，又\(AB,\s\up8(→))与\(AC,\s\up8(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.
eq \([跟进训练])
1．已知两个非零向量a与b不共线，如果eq \(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up8(→))＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线．
[证明] 因为eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b＝4(a＋b)＝4eq \(AB,\s\up8(→))，
所以根据共线向量基本定理，知eq \(BD,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))共线．
又因为eq \(BD,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
【例2】 如果向量eq \(AB,\s\up8(→))＝i－2j，eq \(CB,\s\up8(→))＝i＋mj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线．
[解] ∵A、B、C三点共线，即eq \(AB,\s\up8(→))、eq \(CB,\s\up8(→))共线，
∴存在实数λ使得eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(CB,\s\up8(→))，即i－2j＝λ(i＋mj)．
∴i－2j＝λi＋λmj.
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,λm＝－2.))解得m＝－2，
即m＝－2时，A、B、C三点共线．
1．此类问题求解的依据：若向量a、b不共线，则当且仅当λ＝μ＝0时，λa＝μb.
2．将点共线转化为向量共线是求解点共线问题的一种重要方法．
eq \([跟进训练])
2．设两向量a与b不共线．试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
【例3】如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且|DE|＝eq \f(1,2)|BC|.
[证明] eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \(AE,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)).
∵D，E分别为边AB，AC的中点，
∴eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))，
∴eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up8(→))，
∴DE∥BC，且|DE|＝eq \f(1,2)|BC|.
应用向量共线定理时的注意点
1证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
2向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.
eq \([跟进训练])
3．设点O在△ABC内部，且有4eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→))＝0，则△ABC的面积与△OBC的面积之比________．
eq \f(3,2) [设BC的中点为点D，如图．则eq \(OB,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→))＝2eq \(OD,\s\up8(→))，
∴4eq \(OA,\s\up8(→))＋2eq \(OD,\s\up8(→))＝0，
∴eq \(OD,\s\up8(→))＝－2eq \(OA,\s\up8(→))，
∴A、O、D共线，且|eq \(AD,\s\up8(→))|＝3|eq \(OA,\s\up8(→))|，
∴eq \f(S△ABC,S△OBC)＝eq \f(|\(AD,\s\up8(→))|,|\(OD,\s\up8(→))|)＝eq \f(3,2).]
1．共线向量基本定理是证明三点共线的重要依据．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
2．已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up8(→))＝meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→))(m，n∈R)，则A，P，B三点共线m＋n＝1.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若b＝λa，则a与b共线．( )
(2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa．( )
(3)若向量a、b不共线，则当且仅当λ＝μ＝0时，λa＝μb．( )
(4)直线AB可以用向量表示为eq \(OP,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋teq (\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up8(→))－\(OA,\s\up8(→))))，其中O是坐标原点．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B．eq \r(3)
C．－1或4D．3或4
A [因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝eq \f(－3,2－m)，解得m＝－1或m＝3.]
3．已知点P、Q是△ABC所在平面内的两个定点，且满足eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→))＝0,2eq \(QA,\s\up8(→))＋eq \(QB,\s\up8(→))＋eq \(QC,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，若|eq \(PQ,\s\up8(→))|＝λ|eq \(BC,\s\up8(→))|，则λ＝________.
eq \f(1,2) [由eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→))＝0知，P是边AC的中点，
∵2eq \(QA,\s\up8(→))＋eq \(QB,\s\up8(→))＋eq \(QC,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(QC,\s\up8(→))－eq \(QB,\s\up8(→))，
∴eq \(AQ,\s\up8(→))＝eq \(QB,\s\up8(→))，
∴Q是边AB的中点，
∴eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up8(→))，∴|eq \(PQ,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(CB,\s\up8(→))|，即λ＝eq \f(1,2).]
4．如图所示，正三角形ABC的边长为1，eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(BQ,\s\up8(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→)).求证：四边形APQB为梯形．
[证明] 因为eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BQ,\s\up8(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(13,15)eq \(AB,\s\up8(→))，所以eq \(PQ,\s\up8(→))∥eq \(AB,\s\up8(→)).
又|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，所以|eq \(PQ,\s\up8(→))|＝eq \f(13,15)，故|eq \(PQ,\s\up8(→))|≠|eq \(AB,\s\up8(→))|，
于是四边形APQB为梯形．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握共线(平行)向量基本定理．(重点)
2．能用共线(平行)向量基本定理求解点共线问题．(重点)
通过共线(平行)向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理素养.
证明向量共线
利用向量共线求参数值
共线向量在平面几何中的应用