高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理综合训练题

§4　平面向量基本定理及坐标表示

4.1　平面向量基本定理

课后训练巩固提升

1.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基,那么下列说法正确的是(　　).

A.已知实数λ1,λ2,则向量λ1e1+λ2e2不一定在平面α内

B.对平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2可以不唯一

C.若有实数λ1,λ2使λ1e1=λ2e2,则λ1=λ2=0

D.对平面α内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2不一定存在

解析:选项A中,由平面向量基本定理知λ1e1+λ2e2与e1,e2共面,所以A项不正确;选项B中,实数λ1,λ2有且仅有一对,所以B项不正确;选项D中,实数λ1,λ2一定存在,所以D项不正确;很明显C项正确.

答案:C

2.设点D为△ABC中BC边上的中点,O为AD边上靠近点A的三等分点,则(　　).

A.=-

B.

C.

D.=-

解析:如答图,D为中点,O为靠近A的三等分点,

(第2题答图)

=-=-)=-=-.

答案:D

3.已知非零向量不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则x,y满足的关系式是(　　).

A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0

C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0

解析:由=λ,得=λ(),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,

∴消去λ得x+y=2.

答案:A

4.如图,在△ABM中,BM=3CM,,若=λ+μ,则λ+μ=(　　).

(第4题)

A.- B.- 

C. D.

解析:因为BM=3CM,,

所以)==-,又=λ+μ,

所以λ=-,μ=-,λ+μ=-.

答案:A

5.(多选题)已知{e1,e2}是表示一个平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,可以作为一组基的是(　　).

A.e1和e1+e2 B.e1-2e2和e2-2e1

C.e1+e2和e1-e2 D.e1-2e2和4e2-2e1

解析:根据平面基的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2,

对于A,向量e1和e1+e2,不存在实数λ,使得e1=λ(e1+e2),所以e1和e1+e2可以作为一组基,符合题意;

对于B,向量e1-2e2和e2-2e1,假设存在实数λ,使得e1-2e2=λ(e2-2e1),

可得此时方程组无解,所以e1-2e2和e2-2e1可以作为一组基,符合题意;

对于C,向量e1+e2和e1-e2,假设存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1-e2),

可得此时方程组无解,所以e1+e2和e1-e2可以作为一组基,符合题意;

对于D,向量e1-2e2和4e2-2e1,假设存在实数λ,使得e1-2e2=λ(4e2-2e1),

可得解得λ=-,所以e1-2e2和4e2-2e1可以作为一组基,不符合题意.故选ABC.

答案:ABC

6.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作平面内所有向量的一组基,则实数λ的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4.

答案:λ≠4

7.在△ABC中,O,D分别为边AB,BC的中点,若=x+y,则x+y=　　　　　. 

解析:如答图所示:

(第7题答图)

因为O,D分别为边AB,BC的中点,所以,所以=-+2,即x=-,y=2,x+y=.

答案:

8.在△ABC中,AB=5,AC=2,BC上的高AD=4,且垂足D在线段BC上,H为△ABC的垂心且=x+y(x,y∈R),则=　　　　　. 

解析:因为AD⊥BC,AB=5,AC=2,BC上的高AD=4,所以BD=3,CD=2,所以,即,即.

因为H为△ABC的垂心,所以A,H,D三点共线,因此存在实数λ,使得=λ,

所以,又=x+y,所以.

答案:

9.已知在△ABC中,过重心G的直线l交边AB于P,交边AC于Q,若=p=q,其中p,q为非零常数.

求证:(1)=0;

(2)为定值.

证明:(1)由题意,延长AG交BC于D,则D为BC中点,可得=2,

(第9题答图)

因为G是重心,可得=-2,

所以=-2+2=0.

(2)设=a,=b,

因为=p=q,

可得a,b,)=(a+b),

又因为P,G,Q三点共线,所以存在λ,使得=λ,即=λ(),

即b-a=λ=a+b,

可得

整理得λ=,即,即2-+1,所以=1.