高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法达标测试

【优编】2.1 复数的加法与减法-1练习

一．填空题

1．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为________．

2．复数，，则的最大值为_________．

3．若复数满足，则的最小值为______.

4．设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________

5．_____.

6．设复数（为虚数单位）的共轭复数为.则________.

7．已知复数满足，则的最小值为________ .

8．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是__.

9．设复数满足，则的虚部是_________．

10．已知是虚数单位，复数，则的虚部为__________．

11．已知，则______.

12．已知为虚数单位，，复数满足，则的最小值为________.

13．若，则复数在复平面内对应的点的坐标是______

14．设复数z，满足，，，则____________．

15．已知i为虚数单位，实数x，y满足（x+4i）i＝y+（1﹣i）2，则|x﹣yi|＝_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】3

【解析】分析：由已知得，再利用余弦函数的值域即可求解.

详解：，

又，

即当时，取得最大值为3，

故答案为：3

2．【答案】

【解析】分析：利用复数的加减运算法则计算计算，然后计算并利用三角函数的性质分析其最值.

详解：因为，，

所以，

故，

所以当时，有最大值，且最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出的表达式，然后通过辅助角公式将化简，结合三角函数的性质求解最值.

3．【答案】4

【解析】分析：根据条件可知，复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，进而求出|z|的最小值．

详解：满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，如图所示，

则|z|的最小值为．

故答案为：4.

【点睛】

本题考查复数模的求法，复数的代数表示法及其几何意义，也考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．

4．【答案】2

【解析】分析：把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．

详解：，

它为纯虚数，则且，解得．

故答案为：2.

5．【答案】1+i

【解析】分析：根据虚数单位的性质运算即可求解.

详解：,

故答案为：1+i

【点睛】

本题主要考查了虚数单位的周期性，属于容易题.

6．【答案】

【解析】分析：根据共轭复数的概念以及复数的四则运算，并利用模长公式直接求解即可.

详解：由，得，

故，

即，

故答案为：.

【点睛】

对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.

7．【答案】

【解析】分析：根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案

详解：设，

由得，

所以，

即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，

，表示的是点与点的距离，

所以其最小值为点到圆心的距离减去半径，

即，

故答案为：

8．【答案】.

【解析】分析：先把复数化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求.

详解：解：因为复数，

由于它为纯虚数，所以，且，则，

故答案是：.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则．纯虚数的定义，属于基础题.

9．【答案】3；

【解析】分析：把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得出答案.

详解：由,得, 所以复数z的虚部是3.

故答案为:3.

【点睛】

本题考查复数的乘除运算和复数相关的概念，注意复数的虚部是虚数单位的系数，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：由于，故，进而得答案.

详解：因为，所以，

故的虚部为.

故答案为;

11．【答案】.

【解析】分析：利用来计算，其中分别为实部与虚部.

详解：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查复数的模长计算问题，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：依题意利用复数的加减运算可得，即可得到复数的模的式子，再根据二次函数的性质计算可得；

详解：解：因为，，所以

当时取等号，

故答案为：

13．【答案】.

【解析】分析：由复数的除法运算和复数的几何意义可得答案.

详解：由得，

则复数在复平面内对应的点的坐标为.

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.

详解：设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：

因为，所以，所以，

又因为，所以，

所以，

所以，又，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：复数的几何意义：

（1）复数复平面内的点；

（2）复数 平面向量.

15．【答案】

【解析】分析：先对（x+4i）i＝y+（1﹣i）2，化简求出x，y的值，从而可求出|x﹣yi|

详解：解：由（x+4i）i＝y+（1﹣i）2，得，

即，所以，

所以

故答案为：

【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，属于基础题