北师大版高中数学必修第二册5-2-1复数的加法与减法学案

4.2　复数的四则运算

4.2.1　复数的加法与减法

1.(1)复数的加、减法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＋z2＝________________，

z1－z2＝________________.

(2)复数加法的运算律

①交换律：________________；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.

2.复数加、减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是________，与z1－z2对应的向量是________．

[点睛]　对复数加、减法几何意义的理解

它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

答案：1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i　(2)z1＋z2＝z2＋z1　z1＋(z2＋z3)

2.O　

研习1　复数的加、减运算

[典例1]　(1)计算：①(－1＋i)＋|i|＋(1＋i)；

②5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；

③(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

(2)①(2020·临汾高二检测)已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.

②(2020·邢台高二检测)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.

[自主记]　

(1)[解]　①原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)＝1＋2i；

②原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i；

③原式＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.

(2)[答案]　①6　11　②

[解析]　①整理(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)得x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，

故解得

②z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

所以解得

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，

则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝.

[巧归纳]　复数加、减运算法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

提醒：注意运算格式及范围，避免出错

在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差．注意中间用“＋”号，如z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，而不是z1－z2＝(a－c)－(b－d)i(a，b，c，d∈R)．

[练习1]　已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.

答案：3　

解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.

研习2  复数加减法的几何意义

[典例2]　已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量B对应的复数为1＋2i，向量B对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．

[自主记]　

[解]　(1)∵向量B对应的复数为1＋2i，向量B对应的复数为3－i，

∴向量A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.

又O＝O＋A，

∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

∵A＝B，∴向量A对应的复数为3－i，

即A＝(3，－1)．

设D(x，y)，则A＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，

∴解得

∴点D对应的复数为5.

(2)∵B·B＝|B||B|cos B，

∴cos B＝＝＝＝.

∴sin B＝＝，

∴S＝|B||B|sin B＝××＝7.

∴平行四边形ABCD的面积为7.

[巧归纳]　运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减

法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量A对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).

[练习2]　已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．

(1)求对应的复数；

(2)求对应的复数．

解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.

(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，

所以对应的复数是5.

研习3  　复数加减法几何意义的综合运用

[典例3]　若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．

[自主记]　

[解]　设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图，

∵|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，

∴点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，则|Z1Z3|最小值为1.

[巧归纳]　|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.

[练习3]　已知复数z的模|z|＝2，求复数1＋i＋z的模的最大值和最小值．

解：由已知，复数z对应的点Z在以原点为圆心，2为半径的圆上，设w＝1＋i＋z，所以z＝w－1－i，所以|z|＝|w－(1＋i)|＝2，所以复数w对应的点在以(1，)为圆心，2为半径的圆上，此时圆上的点A，对应的复数wA的模有最大值，圆上的点O，对应的复数wO的模有最小值．如图所示，

故|1＋i＋z|max＝4，|1＋i＋z|min＝0.

1.复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于(　　)

A．1＋i        B．－1－i

C．－1＋i      D．1－i

答案：A　

解析：z＝2i＋(1－i)＝1＋i.

2.A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB是(　　)

A．等腰三角形        B．直角三角形

C．等边三角形        D．等腰直角三角形

答案：B　

解析：以O，O为邻边作平行四边形OACB，

则O，B对应的复数分别为z1＋z2和z1－z2，

由|z1＋z2|＝|z1－z2|得|O|＝|B|，

所以平行四边形OACB为矩形，

∴∠AOB为直角．故选B．

3.设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)

A．1－5i           B．－2＋9i

C．－2－i        D．5＋3i

答案：D　

解析：f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝5＋3i.故选D.

4.设z＝3＋4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内对应的点的坐标为________．

答案：(－1,3)　

解析：∵z＝3＋4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3＋4i－＋(1－i)＝－1＋3i.

5.设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．

解：因为z1＝＋(m－15)i，

z2＝－2＋m(m－3)i，

所以z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i.

因为z1＋z2是虚数，

所以m2－2m－15≠0且m≠－2，

所以m≠5且m≠－3且m≠－2.

[误区警示]　对复数加、减法几何意义理解有误

[典例]　设向量O表示的复数是2＋3i(O为坐标原点)，将向量O向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到向量，求向量，点O1和向量分别表示的复数．

[错解]　表示的复数为(2－1)＋(3＋2)i＝1＋5i，

O1点对应的复数为(0－1)＋(0＋2)i＝－1＋2i.

∵＝－＝－(＋)，

∴表示的复数为－[(－1＋2i)＋(1＋5i)]＝－(0＋7i)＝－7i.

[易错分析]　正确理解任一向量与复平面内的点及相对的复数具有一一对应关系，因向量的平移没有改变原有向量的方向及模的长度，故和应表示同一复数，与的模相等而方向相反，结合图形，不难得出结果，错解中主要错在第一步的结果出错，导致后面的错误，其后面的思路是正确的．

[正解]　向量对应的复数是2＋3i，

O1点对应的复数是－1＋2i.

＝－＝－(＋)＝－[(－1＋2i)＋(2＋3i)]＝－1－5i.

向量对应的复数为－1－5i.

[类题试解]

设z1＝1＋2ai，z2＝a－i，a∈R，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．

解：因为z1＝1＋2ai，z2＝a－i，

|z－z1|<，即|z－(1＋2ai)|<，

|z－z2|≤2，即|z－(a－i)|≤2，

由复数减法及模的几何意义知，集合A是以(1,2a)为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以(a，－1)为圆心，2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即≥3，

解得a≤－2或a≥.