2021-2022学年山东省青岛第六十七中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年山东省青岛第六十七中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省青岛第六十七中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据集合并集的定义作答即可【详解】故选：C2．设，则“或”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设两个条件的取值范围构成的集合为，若是的真子集，则是的充分不必要条件；若是的真子集，则是必要不充分条件；若与相等，则是的充要条件.根据这个即可判断.【详解】因为若或成立，则不一定成立；若成立，则或成立，所以“或”是“”的必要不充分条件，故选：.3．命题：“，”的否定是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题：“，”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，，故选：D4．已知函数满足，则等于（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】构造，得到其为奇函数，从而得到，由，求出.【详解】令，定义域为R，则，所以为奇函数，所以，故，所以，因为，所以故选：C5．函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶次根式和零次幂有意义的基本要求可构造不等式求得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得：，函数的定义域为.故选：B．6．奇函数在区间上是增函数，且最大值是，则在上是（    ）A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4【答案】B【分析】利用奇函数及单调性的定义证明单调性，然后由最值的定义、奇函数的定义及不等式的性质确定最值．【详解】设，则，所以，即，∴，在上增函数，时，，，即，所以，若（），则（），∴在上最小值是4．故选：B．7．已知，则a,b,c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助于中间量，确定a，b，c可得到结论．【详解】∵函数为R上的减函数，0.5<0.8，，而∴b<a<c，故选D．【点睛】本题考查大小比较的方法：利用指数函数、幂函数的单调性，属于基础题．8．已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由题意，以及题中函数图像，得到时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果.【详解】当时，由得；由函数图像可知，；由函数是定义在上的奇函数，其图像关于原点对称，所以当时，，此时满足；当时，，不满足；当，，此时满足；综上，不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型. 二、多选题9．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（    ）A． B．在区间单调递增C．的最小值为 D．的最大值为2【答案】AC【分析】利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.【详解】函数是奇函数，则，代入可得，故A正确；由，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B错误；由，所以，所以，故C正确、D错误.故选：AC10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数".下列函数中的“理想函数"有（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据题意知函数满足是奇函数且在定义域上单调递减为“理想函数"，再逐个判断选项即可得到答案.【详解】根据①知函数为奇函数，由②函数为在定义域上单调递减. 则称函数为“理想函数".A选项中的满足①但不满足②，它在和上单调递减，而不是在整个定义域上单调递减 ，故不选；B选项中的函数为偶函数，故不选；C选项满足①②故正确；D选项满足①②故正确.故选：CD.11．已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（    ）A．函数在上不具有单调性B．当时，在上递减C．若的单调递减区间是，则a的值为D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是【答案】BD【解析】对于A，取可判断；对于B，可得的单调递减区间为，即可判断；对于C，由题可得无解，即可判断；对于D，讨论和即可求出.【详解】对于A，当时，在上单调递减，故A错误；对于B，当时，对称轴为，开口向上，的单调递减区间为，，在上递减，故B正确；对于C，若的单调递减区间是，则无解，故C错误；对于D，当时，在上单调递减，满足题意；当时，若在区间上是减函数，则，解得；综上，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数的单调性问题，解题的关键是求出函数的对称轴和开口方向，根据二次函数的图象和性质列不等式求解.12．下列函数中最大值为的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】利用基本不等式逐项判断即可.【详解】解：对A，，当且仅当，即时取等号，故A错误；对B，，当且仅当，又，即时取等号，故B正确；对C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；对D，，当且仅当 ，又 ，时取等号，故D错误.故选：BC. 三、填空题13．若成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据充分不必要条件即可求的取值范围.【详解】解：若成立的一个充分不必要条件是，则，所以.故答案为：.14．若函数是偶函数，其定义域为，且在上是增函数，则与的大小关系是______．【答案】.【分析】判断出函数的单调性，即可比较大小.【详解】因为函数是偶函数，且在上是增函数，所以函数的图像关于y轴对称，在上是减函数.因为，所以，所以.故答案为：.15．设则的值是________．【答案】24【解析】由分段函数的解析式知：即可求值.【详解】∵当时，，又， ∴，故答案为：24【点睛】本题考查了利用分段函数解析式求函数值，属于基础题. 四、双空题16．已知函数奇函数，当时，，则时，______，若，则的值为______.【答案】          【分析】已知时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式，根据可求.【详解】设，则，所以，又函数为奇函数，所以，即时，，又，所以，解得.故答案为：； 五、解答题17．化简下列各式：(1)(2)【答案】(1)(2) 【分析】（1）按照根式转化为分数指数幂即可；（2）按照指数运算法则求解即可.【详解】（1）解：；（2）解：.18．（1）是否存在实数，使是或的充分条件？（2）是否存在实数，使是或的必要条件？【答案】（1）存在，；（2）不存在【分析】（1）利用集合间的包含关系来处理，即若，则A是B的充分条件，即可求出答案；（2）利用集合间的包含关系来处理，即若，则B是A的必要条件，即可求出答案.【详解】（1）欲使是或的充分条件，则只要⊆或，即只需，所以.故存在实数，使是或的充分条件.（2）欲使是或的必要条件，则只要或⊆，这是不可能的.故不存在实数m，使是或的必要条件.【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19．解关于的不等式.【答案】答案不唯一，见解析【分析】先讨论不等式是否为一元二次不等式,若为一元二次不等式，则解出其等式的两个根,讨论其开口方向与两根的大小关系，即可得出结论.【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，此时不等式的解集为；（2）时，方程的解为，.①当时，因为，所以不等式的解集为；②当时，因为，所以不等式的解集为；③当时，因为，所以不等式的解集为；④当时，因为，所以不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的解法.属于中档题.解含参不等式.首先需确定不等式的类型：一次、二次、分式、绝对值.确定类型后再利用相应的解法求解.20．求函数，的值域．【答案】【分析】令得到关于二次函数的解析式，然后求值域即可.【详解】令，因为，所以.故，对称轴为，所以，.所以函数的值域为.21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：天变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．精确到，参考数据：取【答案】(1)天；(2). 【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，由浓度：当时，；当时，，分类讨论解出的值即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，可得浓，化简计算，再变形利用基本不等式即可得出．【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度可表示为：当时，，当时，，则当时，由，解得，所以得，当时，由，解得，所以得，综合得，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天.（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度，因为，而，所以，故，当且仅当时，有最小值为，令，解得，所以a的最小值为22．已知函数是定义在R上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)用函数单调性定义证明在上是增函数；(3)对于函数，当时，解关于的不等式．(4)作出在定义域R上的示意图．【答案】(1)(2)证明见解析(3)(4)图形见解析 【分析】（1）根据函数是定义在R上的奇函数，得，结合已知可求得的值，即可得函数的解析式；（2）按照单调性的定义，，不妨设，作差变形判断其符号，即可证明；（3）结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可；（4）直接根据函数解析式作图即可.【详解】（1）解：函数是定义在R上的奇函数，所以又，解得所以；（2）证明：，不妨设所以因为，所以所以，即所以函数在上是增函数；（3）解：，所以因为为R上的奇函数，所以不等式为又有（2）可知在上是增函数，所以解得，所以不等式的解集为：；（4）解：在定义域R上的示意图如下：