2021-2022学年山东省青岛市青岛第九中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省青岛市青岛第九中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先将集合化简，阴影部分表示，然后求解即可.

【详解】因为，得，，图中阴影部分表示,所以得

故选：C

2．已知，则“函数为偶函数”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式化简并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.

【详解】当为偶函数时，则恒成立，即，；

当时，为偶函数；

综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．设，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数单调性即可判断

【详解】因为，，且在定义域内单调递增，

所以，即，

因为，

所以

故选：D

4．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为即可求解.

【详解】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，

设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，

此时点转过的弧度数为弧度

故选：C

5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用代入法求出函数解析式，利用函数奇偶性的定义进行判断即可．

【详解】的定义域为，

的定义域为，关于原点对称，

，

对于A, ，,,所以不是奇函数，

对于B, 又，故为奇函数，

的定义域为，

的定义域为，定义域不关于原点对称，所以CD均不为奇函数，

故选：B

6．某次全程为S的长跑比赛中，选手甲总共用时为T，前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑；选手乙前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；若，则（    ）

A．甲先到达终点 B．乙先到达终点

C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点

【答案】A

【分析】设乙选手总共用时，根据题意表示出，然后与作差，比较大小，即可得到结果.

【详解】由题意可知对于选手甲，，则

设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则

即，即甲先到达终点

故选:A.

7．已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用图象求得函数的解析式为，由结合正弦函数的对称性得出，且有，将代入结合诱导公式可求得的值.

【详解】由图象知函数的最小正周期为，，

又，

且，

，，

所以，，，，

当时，，

因为存在，满足，

即，则，可得，且，

则.

故选：C.

【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

8．已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.

【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，

由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，

又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，

又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，

而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，

因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，

当时，取，成立，即得，

当时，在上有解，必有，解得，则有，

综上得，

所以满足条件的实数构成的集合为.

故选：A

二、多选题

9．下列既是存在量词命题又是真命题的是（    ）

A．，

B．至少有个，使能同时被和整除

C．，

D．每个平行四边形都是中心对称图形

【答案】AB

【分析】AB选项，可举出实例；

C选项，根据所有实数的平方非负，得到C为假命题；

D选项为全称量词命题，不合要求.

【详解】中，当时，满足，所以A是真命题

B中，能同时被和整除，所以B是真命题

C中，因为所有实数的平方非负，即，所以C是假命题

D是全称量词命题，所以不符合题意.

故选：AB．

10．下列运算中正确的是（    ）

A．

B．

C．当时，

D．若，则

【答案】BC

【分析】根据换底公式、对数运算法则，根式与分数指数幂的互化及幂的运算法则判断．

【详解】，A错；，B正确；

当时，，C正确；

时，，所以，D错．

故选：BC．

11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是

B．若函数的值域为，则实数

C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是

D．若，则不等式的解集为

【答案】ABC

【分析】根据对数型复合函数的性质分别判断.

【详解】A选项：因为的定义域为，所以恒成立，则，解得：，故正确；

B选项：因为的值域为，所以，所以，

解得，故正确；

C选项：因为函数在区间上为增函数，由复合函数的单调性可知：，解得，故正确；

D选项：当时，，由，可得，解得：，故错误；

故选：ABC.

12．设函数，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列选项正确的有（    ）

A．当m＞3时，f[f（x）]＝m有5个不相等的实根

B．当m＝0时，g[g（x）]＝m有4个不相等的实根

C．当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根

D．当m＝2时，g[f（x）]＝m有5个不相等的实根

【答案】BCD

【分析】作出函数的图象，利用函数的图象和函数的图象分析可解得结果.

【详解】作出函数的图象：

令，得；

当时，有两个根：，方程有1个根，方程有2个根，所以A错误；

②当时，，，令，

由得

由

由所以B正确；

③令，，因为，所以有个实根根，

设，所以

，

，

因为在上递减，所以，

所以，所以，

即方程的最小根大于的最小值，

所以、、都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，

所以当0＜m＜1时，f[g（x）]＝m有6个不相等的实根，所以C正确；

④令，则，

当时，方程化为，得；

当，得；

当得符合题意，所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.

三、填空题

13．已知函数，则的值为________

【答案】－3

【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围．

【详解】，，

∴．

故答案为：．

14．写出一个同时具在下列性质①②③，且定义域为实数集的函数：___________.

①最小正周期为1；②；③无零点.

【答案】此题答案不唯一，只要满足条件都可以，例如

【分析】结合周期性和奇偶性，可以取，再根据③可以取.

【详解】的定义域为，

最小正周期为，

因为，所以，

所以无零点，

综上，符合题意

故答案为：（答案不唯一）

15．若，，且，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得 的关系为，根据基本不等式确定

详解：因为，

所以

，所以 ，即

所以

当且仅当，即，此时时取等号

所以最小值为

点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．

四、双空题

16．已知a为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则___________，a的取值范围为___________.

【答案】         

【分析】首先根据得出大致范围，从而求出的值，再根据的范围即可求出的取值范围.

【详解】由于函数在区间和上的最大值分别记为和，，则，否则，与条件矛盾.所以=1.于是得

所以，结合，所以,所以.

故答案为：1；.

五、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)是的必要条件，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合；

（2）分析可知，对、的大小关系进行分类讨论，根据检验或得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由可得，解得，即，

当时，，此时，.

（2）解：由题意可知，且，

当时，即当时，，不满足，不符合题意；

当时，即时，，符合题意；

当时，则，由，得，解得.

综上，．

18．已知

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可；

（2）利用诱导公式进行化简，然后由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可

【详解】（1）

（2）

19．已知函数的某一周期内的对应值如下表：

（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；

（2）根据（1）的结果，若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先根据的最小正周期求出，再根据函数的最值求出A,B的值，解方程得到的值，即得函数的解析式；

（2）先根据函数的最小正周期求出n的值，再通过数形结合分析得到实数m的取值范围.

【详解】（1）设的最小正周期为T，则，由得.

又由，解得.

令，

即，解得.

，，

.

（2）函数的最小正周期为，且，.

令，，，

由，得，

故的图象如图.

若在上有两个不同的解，则，

即，解得，

方程在恰有两个不同的解时，，

即实数m的取值范围是.

【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数的图象和性质，考查三角方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．已知函数，．

(1)求证：为奇函数；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）求得的定义域，计算，与比较可得；

（2）原不等式等价为对恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；

（3）原不等式等价为，设，判断其单调性可得的不等式，即可求出.

【详解】（1）函数，

由解得或，可得定义域，关于原点对称，

因为，

所以是奇函数；

（2）由或，解得，

所以恒成立，即，

则，即对恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即的取值范围为；

（3）不等式即为，

设，即，可得在上递减，

所以，则，解得，

所以不等式的解集为.

21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.

（1）设，求三角形木块面积；

（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.

【答案】（1）；（2）,的面积最大值为

【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；

（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.

【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，

所以,

，

所以；

（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，

所以可只分析时的情况，

，

，

所以

，

令，，

故，

，

，

，

，

，

函数在单调递增，

所以当时，的面积最大，最大值为.

【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.

22．已知函数.

(1)当，时，求满足的的值；

(2)当时，若函数是定义在上的奇函数，函数满足

①求及的表达式；

②若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.

【答案】(1)

(2)①，；②

【分析】（1）代入，得到，再因式分解求解即可；

（2）①由定义在上的奇函数满足可得，进而得到及；

②化简可得，令，再参变分离根据基本不等式求解范围即可

【详解】（1）因为，时，，

又因为，所以（）

所以，所以，即；

（2）①因为是定义在上的奇函数，所以，

，，所以

所以，

②由①可得，

因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

令（），所以，

又因为

由对勾函数（）的单调性可知，时有最小值，

所以，所以，所以的最大值为.