山东省青岛市青岛第十九中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题（解析版）

青岛十九中2022～2023学年度第一学期期中模块检测

高三数学试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每个小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解指数不等式，再根据交集的运算直接求解.

【详解】由解得，所以，

所以.

故选:A.

2. 已知复数，则下列各项正确的为（    ）

A. 复数z的虚部为i B. 复数z－2为纯虚数

C. 复数z的共轭复数对应点在第二象限 D. 复数z的模为5

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的运算化简，结合复数的基本概念，分类，几何意义，模长的求解方法，即可判断和选择.

【详解】，

对A：复数的虚部为，故A错误；

对B：复数，为纯虚数，故B正确；

对C：复数的共轭复数为，其对应点为为第四象限的点，故C错误；

对D：，故D错误.

故选：B.

3. 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

易得，，由定义在上的奇函数且在上单调递减，可得，，的大小关系.

【详解】解：因为定义在上的奇函数在上单调递减且，

所以，且在上单调递减

又，所以，

而，

所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的性质与应用，考查学生分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于基础题.

4. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由图象对称性可知应为偶函数，可排除BD；当时，，可排除A.

【详解】由图象对称性可知：应为偶函数，

对于B，，奇函数，B错误；

对于D，，为奇函数，D错误；

由图象可知：当从正方向无限接近时，；

对于A，当从正方向无限接近时，，，，A错误.

故选：C.

5. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为BC，，的中点，则下列选项不正确的是（    ）

A. 直线和MN夹角的余弦值为 B. 直线与平面AMN平行

C. 直线与直线AN垂直 D. 点C到平面AMN的距离为

【答案】C

【解析】

【分析】以为原点建立空间直角坐标系，得到相关点与向量，计算其点乘值，判断是否垂直，计算平面的法向量，计算的值，即可判断B，计算，利用向量夹角公式即可判断A选项，利用点到平面距离公式即可判断D.

【详解】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,

,,,,

直线与直线不垂直,故C错误;

，

设平面的法向量,

则，取，得，

平面直线与平面平行,故B正确，

对于A，,,

，

直线和夹角的余弦值为,故A正确,

对于D，,点到平面的距离为:

,故D正确.

故选：C.

6. 已知数列的首项为2，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线得到，设，，，根据公式的通项公式.

【详解】，即，

三点A，B，C均在l上，故，即.

即，设，，，

故数列是首项为3，公比为2的等比数列，，即.

故选：C.

7. 已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用题目条件，构造辅助函数，由导数大于0，得出单调递增，原不等式转化，利用单调性可解不等式.

【详解】令，， 故在R上单调递增.

又，且，

故原不等式可转化为，所以，

解得.

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的综合应用、利用函数单调性解不等式等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

8. 如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为（    ）

A.  B. 24π C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.

【详解】因为为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，

所以的外接圆的圆心为的中点， 且

连接与的中点，则，所以平面，

设球的球心为，由球的截面性质可得在上，

设，，半径为，

因为，所以，

所以，又

所以，

因为，所以，

所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为，

故选：B.

二、多项选择题（本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. “”是“”必要不充分条件

B. 函数的最小值为2

C. 当时，“”是“”的充分不必要条件

D. 命题，，的否定是，

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性解不等式可判断A，利用均值不等式可判断B，根据三角函数及命题的充分必要性可判断C，根据命题的否定的概念可判断D.

【详解】A选项：由，得，所以是的必要不充分条件，A选项正确；

B选项；，当且仅当，即时等号成立，显然不成立，B选项错误；

C选项：由可知，或，，所以“”是“”的充分不必要条件，C选项正确；

D选项：命题，，的否定是，，D选项正确，

故选：ACD.

10. 已知等差数列的前n项和为，公差，，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C. 当且仅当时，取得最大值 D. 当时，n的最大值为20

【答案】BD

【解析】

【分析】先求出，，从而可判断AB的正误，再求出通项公式，根据其符号可判断C的正误，求出并解不等式，故可判断D的正误.

【详解】因为，故，又，

整理得到：，故，，故A错，B正确.

又，

当时，；当时，；当时，，

故当且仅当、时，取得最大值，故C错误.

又，

令，则即n的最大值为20，故D正确

故选：BD.

11. 已知函数的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为的等差数列，函数的图像关于原点对称，则（    ）

A. 在在单调递增

B. 函数图象的一条对称轴为直线

C. ，

D. 把的图像向右平移个单位即可得到的图象

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意求得的解析式，再结合正弦函数的单调性，对称轴，最值以及图象的变换，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.

【详解】根据题意，的最小正周期为，又，故可得；

又为奇函数，

故可得，又，故当时，满足题意，即；

对A：当时，，此时不是单调函数，故A错误；

对B：，则是的一条对称轴，故B正确；

对C：的最大值为，的最小值为，故，，C正确；

对D：因为的振幅不同，无法通过平移使之相同，故D错误.

故选：BC.

12. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点M在上，且，P为线段上的点，则(    )

A. 平面

B. 当P为的中点时，直线AP与平面ABC所成角的正切值为

C. 存在点P，使得

D. 存在点P，使得三棱锥的体积为

【答案】BD

【解析】

【分析】A：假设平面，则可得AC⊥平面，∠ACB=90°与已知矛盾，从而判断假设不成立；B：取BC中点为N，可证PN⊥平面ABC，∠PAN为AP与平面ABC所成角，解△ANP即可；C：假设CP⊥AM，可得CP⊥平面AMN，CP⊥MN，几何图形即可判断假设不成立；D：假设=，求出△CPM的面积，判断△CPM面积是否小于或等于△面积即可．

【详解】对于A，假设平面，则AC，易知⊥AC，∩，故AC⊥平面，故AC⊥BC，这与∠ACB=60°矛盾，故假设不成立，故A错误；

对于B，当P为的中点时，取BC中点为N，连接PN、AN，

易知PN∥，⊥平面ABC，则PN⊥平面ABC，

故∠PAN即为AP与平面ABC所成角，

则tan∠PAN=，故B正确；

对于C，取BC中点为N，连接AN、NM，

由AN⊥BC，AN⊥知AN⊥平面，故AN⊥CP，

若，∵AN∩AM=A，则CP⊥平面AMN，则CP⊥MN，

过C作CG∥MN交于G，则CP⊥CG，即∠PCG=90°，易知∠PCG不可能为90°，故不存在P使得，故C错误；

对于D，取BC中点为N，连接AN，易知AN⊥平面，AN=，

若三棱锥的体积为，

则，

∵

，

故存在P使时，三棱锥的体积为，故D正确．

故选：BD．

【点睛】本题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在P点满足条件，然后结合几何关系推出与已知条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面的夹角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本题共4小题，每个小题5分，共20分．）

13. ，则______．

【答案】##-0.8

【解析】

【分析】根据三角恒等变换和诱导公式即可求解.

【详解】因为

，

所以，

又因为,

故答案为:.

14. 2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题目所给递推关系式，求得数列项的规律，由此进行分组求和，求得数列前项的和.

【详解】由于，

当为偶数时，，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于，共有项，和为；

当为奇数时，；又，

所以前30项中的奇数项构成首项为，公差为的等差数列，共有项，和为.

故天的总人数为.

故答案为：.

15. 已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】

【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

16. 已知函数（且），若对任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】求导，分，，求得，再根据对任意的，，不等式恒成立求解.

【详解】解：因为函数（且），

所以，

当，时，，

则在上成立，

所以在上递增，

所以，

所以，

因为任意的，，不等式恒成立，

所以，即，

解得，

当，时，，

则在上成立，

所以在上递增，

所以，

所以，

因为任意的，，不等式恒成立，

所以，即，

解得，

综上：实数a的取值范围为，

故答案为：

四、解答题：（本大题共6个小题，共70分，17题10分，18-22题每题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

【分析】（1）由正弦定理，化边为角，即可求出cosB以及B的值；

（2）利用正弦定理可得，结合利用三角恒等变换可化简得，结合的范围即可求出的取值范围，再求周长的取值范围．

【详解】（1）中，由，

利用正弦定理

可得，

因为，所以，

又，

所以或；

（2）若为锐角三角形，由（1）知，且外接圆的半径为，

由正弦定理得，可得，

由正弦定理得，

所以；

因为，

所以，

又为锐角三角形，则，且，

又，则，所以；

所以；

所以，即周长的取值范围是．

18. 已知为数列的前项和，，，，为数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若对所有恒成立，求满足条件的最小整数值.

【答案】（1）   

（2）674

【解析】

【分析】（1）利用递推公式，结合前项和与第项的关系、等比数列的定义进行求解即可；

（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.

【小问1详解】

由题意，

当时，，

两式相减得：，

即：，

所以时，为等比数列

又因为时，，

所以，

所以，对所有，是以2为首项，8为公比的等比数列，

所以；

【小问2详解】

由题知：

所以

所以

所以满足恒成立的最小值为674.

19. 已知的图象与直线y＝1相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用三角恒等变换得到函数的解析式，再根据三角函数图象的性质确定，进而即可求出单调递增区间；(2)利用方程与函数的零点间的关系，根据函数的单调性与最值求解.

【小问1详解】

由题可得

，

所以，

因为且图象与直线y＝1相切，所以切点为函数图象的最高点，

所以，所以，

又因为切点横坐标依次成公差为的等差数列，所以，解得，

所以，

令即（），

所以函数的单调递增区间为

【小问2详解】

将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，

所以，

因为所以，所以，

所以当即时，有最大值为，

当即时，有最小值为，

因为函数在上有零点，

所以在上有零点，

所以，所以，

所以.

20. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点.

（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；

（2）若BE=BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置.

【答案】（1）证明见解析   

（2）F为三等分点处

【解析】

【分析】（1）先证明平面，从而可证，再证明，可证明平面，即可证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标以及对应的向量坐标，并求解平面的法向量，利用向量的夹角公式代入求解.

【小问1详解】

（1）证明：由底面，可得，又在正方形中，，

且，则平面，有.

由，E为中点，可得

又，则平面，从而平面平面.

【小问2详解】

以A为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.

由（1）可知为平面的法向量.

由，可知，设，则，可得.

设平面的法向量为，由，即，

取，则，即.

从而，由，解得或，即F为三等分点处.

【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

21. 已知为等比数列，，记数列满足，且.

（1）求和的通项公式；

（2）对任意的正整数，设，求的前项的和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）设等比数列的公比为，分析可知，根据已知条件可求得的值，金额可求得的值，利用等比数列的通项公式可求得等比数列的通项公式，在利用对数的运算性质可求得数列的通项公式；

（2）分析可得出，利用裂项相消法可求得奇数项的和，利用错位相减法可求得偶数项的和，由此化简可得的表达式.

【详解】（1）设等比数列的公比为，对任意的，则，则，所以，，

因为，可得，

因为，则，，

所以，；

（2）当为奇数时，，

前项中所有的奇数项的和为

当为偶数时，，

记，

，

两式相减得，

所以，.

故数列前项和.

22. 已知函数，.

（1）当b=1时，讨论函数的单调性；

（2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）（－∞，1]

【解析】

【分析】（1）先求定义域与导数，再分讨论与两种情况讨论即可求解；

（2）由题意先求出值，f(x)≤g(x)即，

等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.

令，所以，再用导数法求出的最小值即可

【小问1详解】

当b=1时，，定义域为（0，+∞），.

当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.

当时，，

令，得；令，得，

所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递增，

当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.

【小问2详解】

因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，

所以，且，由于，

所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，

所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.

令，所以，

.令，，

则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.

由于G(1)=e>0，，所以使得，

即，（※）

所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，

即F(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以，

由（※）式可知，，，

令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，

所以

所以，实数m的取值范围为（－∞，1].

【点睛】本题考查了函数的单调性、切线问题和最值问题，考查导数的应用以及转化思想与分类讨论思想.