2021-2022学年江苏省连云港高级中学高一下学期期末模拟数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省连云港高级中学高一下学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：∴，∴z=，故选C.

【解析】复数运算

2．已知向量与的夹角为30°，且，，则等于

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把平方化简即得解.

【详解】由得，

所以.

故选C

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

3．在中,若，，，则

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】依题意，由正弦定理即可求得得值.

【详解】由正弦定理得，.

故选B.

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题．

4．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为

A．68 B．38 C．32 D．30

【答案】D

【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数.

【详解】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，

则高二年级抽取的人数是30030人，

故选D．

【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．

5．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

则这组数据的分位数、分位数分别为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将数据从小到大依次排列，而且15×60%=9，15×90%=13.5，故这组数据的60%分位数是第9、10个数的平均数，90%分位数是第14个数．

【详解】将数据从小到大依次排列如下：

85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，

而15×60%=9，15×90%=13.5，

故这组数据的60%分位数是，

这组数据的90%分位数是96，

故选：D．

6．已知，，且，，则的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的坐标运算即可求解.

【详解】设，由，得 ，

所以.

故选：C

7．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.

【解析】正四棱柱的几何特征；球的体积.

8．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由余弦定理及三角形面积公式可得和，结合条件，可得，进而得，由正弦定理可得结果．

【详解】由余弦定理得，，

所以

又，，

所以有，

即，所以，

由正弦定理得，，得

所以外接圆的面积为．答案选D．

【点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路．

二、多选题

9．已知m，n是直线，，，是平面，则下列说法中正确的是（       ）

A．若，，，则或

B．若，，，则

C．若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线

D．若，且，，则且

【答案】BD

【解析】选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件“直线在平面或平面”，所以错误；选项为面面平行的性质定理，所以正确；选项， 若m不垂直于，平面内的直线垂直于m在平面内的射影，则直线与垂直，所以错误；选项，由线面平行的判断定理可判断正确.

【详解】在A中，垂直于两平面交线的直线不一定垂直于两个平面，A错误；

B为面面平行的性质定理，所以正确；

在C中，平面内垂直于m的射影的直线，m与它们都垂直，C错误；

在D中，根据线面平行的判定定理，可判断为正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查空间线和面有关定理的辨析和应用，要熟练掌握定理所满足的条件，属于基础题.

10．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（       ）

A． B．事件B与事件相互独立

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

【答案】AD

【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.

【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；

同理可以求得，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，

故选：AD．

【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.

11．为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下：

从表中能得到的结论有（       ）

A．甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温

B．甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温

C．甲地该月时气温的标准差小于乙地该月时气温的标准差

D．甲地该月时气温的标准差大于乙地该月时气温的标准差

【答案】AD

【分析】根据表格数据，分别计算甲、乙的平均数与方差即可得出结果.

【详解】由表格中的数据， 可得：

甲地该月14时的平均气温：（26+28+29+31+31）=29，

乙地该月14时的平均气温：（28+29+30+31+32）=30，

故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

由方差公式可得：甲地该月14时温度的方差为：

乙地该月14时温度的方差为：

，

所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差.

故选：AD

12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（       ）

A．

B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值

D．的面积与的面积相等

【答案】AD

【分析】对于A，由特殊位置判断，对于B，由面面平行的性质判断，对于C，由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断，对于D，由B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等进行判断

【详解】对于A，由题意知，当点与点重合时，与的夹角为，所以是错误的，

对于B，因为正方体的两个底面平行，即平面∥平面，而平面，所以∥平面，所以B正确，

对于C，设点到平面的距离为，则由正体的性质可得，因为都 为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C正确，

对于D，设的中点为，连接，则，所以点A到EF的距离为长，而B到线段EF的距离为长，显然与不相等，因为，所以的面积与的面积不相等，所以D错误，

故选：AD

三、填空题

13．设，向量，，若，则_______．

【答案】

【解析】根据向量共线的坐标表示，得到，再由二倍角的正弦公式化简整理，即可得出结果.

【详解】∵，向量，，

∴，∴，

∵，

∴．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，涉及二倍角的正弦公式，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.

14．中，角 的对边分别是，已知，则 _______.

【答案】

【分析】化简已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin（C）＝0，结合范围C∈（，），可求C的值．

【详解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），

∴可得：sinC＝1，

又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，

∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，

∵C∈（0，π），可得：C∈（，），

∴C0，可得：C．

故答案为

【点睛】本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．

15．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.8，若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为__________.

【答案】0.492

【详解】分析：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为 ，代入相关数据，即可得到答案.

详解：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件 依题意，相互独立，故所求事件概率为

即答案为0.492.

点睛：本题考查相互独立事件的概率，掌握相互独立事件的的乘法公式和互斥事件的加法公式是解题的关键.

四、双空题

16．足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据

【答案】     20     22

【分析】首先根据足球表面的规律，设正五边形为块，正六边形为块，列出方程组，解方程组即可.分别计算正六边形和正五边形的面积，从而得到足球的表面积，再利用球体表面积公式即可得到足球的直径.

【详解】因为足球是由正五边形与正六边形构成，

所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，

每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，

而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.

设正五边形为块，正六边形为块，有题知：

，解得.

所以足球有个正六边形的面.

每个正六边形的面积为.

每个正五边形的面积为.

球的表面积

.

所以，.

所以足球的直径为.

故答案为：，.

【点睛】本题主要通过传统文化背景，考查球体的直径和表面积公式，同时考查了学生理解问题的能力，属于中档题.

五、解答题

17．已知.

（1）求与的夹角θ；

（2）求；

（3）若，求△ABC的面积．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1） 根据向量模长将原式化简可求的值，结合模长可求与的夹角的余弦值，从而可求；

（2）采用先平方再开方的方法求解出的值；

（3）根据三角形的面积公式直接计算出的面积.

【详解】（1）因为，

所以.

又所以，

所以，所以.

又，所以.

（2）

，

所以.

（3）因为的夹角，

所以，

又，

所以.

18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

①

②

③的面积为

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c=2，cosA=.

（1）求a；

（2）求的值．

【答案】（1）不论选哪种条件，a=8；（2）.

【分析】（1）选①，根据向量的数量积运算，求得，结合题意，即可求得；选②，列出方程，求得，根据余弦定理求得；选③，根据面积公式求得，结合已知求得，再用余弦定理即可求得；

（2）根据（1）中所求，利用余弦定理求得，解得，再用余弦的和角公式即可求得结果.

【详解】（1）选择条件①：

∵

∴bc=24       

由解得或（舍去）

∴

∴a=8       

选择条件②：

由解得或（舍去）

∴

∴a=8       

选择条件③：

∵

∴

∴bc=24       

由解得或（舍）

∴

∴a=8

（2）

∴

∴

∴

【点睛】本题考查倍角公式、和角公式的利用，以及用正弦定理解三角形，属综合中档题.

19．如图，在四棱锥中，平面平面，∥平面，，，

求证：（1）∥平面；

（2）平面平面．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）先通过线面平行性质定理得到∥，再通过线面平行判定定理得到结论；

（2）利用数量关系得到，再借助已知条件证明，通过线线垂直证明线面垂直，最后证明面面垂直.

【详解】证明：（1）∵∥平面，而平面，

平面平面，∴∥．            

∵平面，平面，

∴∥平面．                                             

（2）∵，满足，∴．

由知．

又∵平面平面，

，，

∴平面．                                                

又∵，所以．

又，，，∴．

又，∴平面平面．

【点睛】（1）线面平行的性质定理：一条直线平行一个平面，那么过这条直线的任意平面与此平面的交线必定平行于已知直线；

（2）面面垂直的判定：一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

20．某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：

若用表中数据所得频率代替概率.

（Ⅰ）当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？

（Ⅱ）将选取的200人中会迟到的员工分为，两类：类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；类是其他员工.现对类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为类员工的概率是多少？

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）根据表格中的数据，得到，即可得到结论；

（Ⅱ）设从类员工抽出的两人分别为，，设从类员工抽出的两人分别为，，

设“从类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，列举出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算，即可求解．

【详解】（Ⅰ）设“当罚金定为100元时，迟到的员工改正行为”为事件，则，

不处罚时，迟到的概率为：.

∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低.

（Ⅱ）由题意知，类员工和类员工各有40人，分别从类员工和类员工各抽出两人，

设从类员工抽出的两人分别为，，设从类员工抽出的两人分别为，，

设“从类与类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件，

则事件中首先抽出的事件有，，，，，共6种，

同理首先抽出，，的事件也各有6种，故事件共有种，

设“抽取4人中前两位均为类员工”为事件，则事件有，，，共4种，

∴，

∴抽取4人中前两位均为类员工的概率是.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算与应用，其中解答中认真审题，合理利用表格中的数据，以及利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

21．2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表．

(1)求a，b的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）；

(2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；

(3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？

【答案】(1)；；作图见解析

(2)众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67

(3)平均数为7，方差为1.67

【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解.

（2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数.

（3）根据平均数和方差的公式即可求解.

【详解】(1)∵，∴．

∵，∴．

频率直方图如下：

(2)该组数据众数的估计值为7.5．

易知中位数应在内，设中位数为x，

则，解得，故中位数的估计值为11.67．

(3)∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人．

∴这6人得分的平均数，

方差，

即这6人得分的平均数为7，方差为1.67．

22．在四棱锥中，平面 ⊥平面 ，底面为梯形，，，且，，．

(1)求证：；

(2)求二面角______的余弦值；

从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

(3)若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与 都不平行．

【答案】(1)证明见解析；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可证线线垂直.

（2）根据二面角的几何求法，先利用面面垂直，得线面垂直，进而可找到二面角的平面角，然后借助三角的边角关系即可求解.

（3）根据空间中过一点只能作出一条直线与已知直线平行，即可求解.

【详解】(1)证明：∵平面 ⊥平面

平面平面，平面，,

∴平面 ，又平面 ，∴ ．

(2)若选①，过点作 交 的延长线于点 ．

∵平面 ⊥平面，平面平面，平面 ，

∴⊥平面 ，

过 作交 的延长线于点 ，

∵， ，∴ ，连接 ，

∵ 平面 ，平面，∴ ，

∵，平面 ，平面，∴AB⊥平面POE，

又平面POE，∴ ，

∴ 就是二面角的平面角．

由题意得，，，

∴，∴，即二面角的余弦值为．

若选②，过点P作PO⊥CD交CD的延长线于点O，连接BD．

∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，

∴PO⊥平面ABCD，

过点O作OM⊥BD交BD的延长线于点M，连接PM，

∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PO⊥BD，

∵，平面POM，平面POM，∴BD⊥平面POM，

又平面POM，∴BD⊥PM，

∴∠PMO为二面角的平面角的补角，

易算得，，∴，

∴二面角的余弦值为．

若选③，过点P作PO⊥CD交CD的延长线于点O．

∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，

∴PO⊥平面ABCD，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接PH，

∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴，

又，平面POH，平面POH，

∴BC⊥平面POH，又平面POH，∴BC⊥PH，

∴∠PHO为二面角的平面角，

易算得，，∴，

∴二面角的余弦值为．

(3)证明：连接AC，取AC的中点K，连接MK，则．

若棱BC上存在点F，使，

则由基本事实4可得，显然矛盾，故对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．