2021-2022学年江苏省常州市新桥高级中学等八校高一下学期期末联考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省常州市新桥高级中学等八校高一下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解的值.

【详解】由题意

，

又由为纯虚数，所以，解得.

故选：A.

2．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（       ）A．8，8.5 B．8，8              C．9，8              D．8，9

【答案】A

【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解.

【详解】党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是

故选：A

3．在中，，，，则的形状是（       ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断

【答案】C

【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解.

【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形

故选：C

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.

故选：A

5．已知圆台的上、下底面半径分别是2，5，且侧面积等于两底面面积之和，则圆台母线长为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用侧面积等于两底面面积之和列方程求解．

【详解】设圆台的母线长为，则圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，所以圆台的底面面积为．又圆台的侧面积，故有 ，即．

【点睛】本题主要考查了圆台的侧面积公式（其中分别为上下底面圆半径，为圆台的母线长）

6．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和的正弦公式可得，再由余弦二倍角公式可得答案.

【详解】由

，

得，

则.

故选：C.

7．如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】取AF的中点G，联结AC交BD于O点，异面直线与所成角即直线与所成角.在中，分别求得，利用余弦定理即可求得，从而求得异面直线夹角的余弦值.

【详解】取AF的中点G，联结AC交BD于O点，如图所示，

则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，

由平面平面知，平面，

由题易知，，则，，

，则在中，由余弦定理知，

，

由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为

故选：C

【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得线线夹角.

二、多选题

8．如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是（       ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】AB

【分析】根据反向坐标的定义把用表示后，根据向量的减法判断A，把模平方转化为数量积的运算判断B，计算判断C，由投影向量的定义求解判断D．

【详解】由题意，

，A正确；

，，B正确；

，C错误；

，，

在上的投影向量为，D错；

故选：AB．

9．为平面，有下列命题，其中假命题的是（       ）

A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则

B．若直线a在平面外，则

C．若直线，直线，则

D．若直线，则a平行于平面内的无数条直线

【答案】ABC

【分析】根据线面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项， 若直线l平行于平面内的无数条直线，则可能含于，A为假命题.

B选项，若直线a在平面外，则可能与相交，B为假命题.

C选项，若直线，直线，则可能含于，C为假命题.

D选项，由于直线，不妨设，则，所以，所以a平行于平面内的无数条直线，D为真命题.

故选：ABC

10．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）

A． B．在复平面上对应的点位于第二象限

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解

【详解】

所以

故A正确

，则在复平面上对应的点为位于第三象限

故B错误

故C正确

故D正确

故选：ACD

11．甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（       ）

A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件

C． D．

【答案】AC

【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．

【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，

基本事件总数，

记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，

则事件包含的基本事件有18个，分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，

事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，

则事件包含的基本事件有18个，分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，

事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，

则事件包含的基本事件有18个，分别为：

，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

，

事件包含的基本事件有9个，分别为：

，，，，，，，，，

，

，事件、是相互独立事件，故正确；

事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；

，故正确；

包包含的基本事件有9个，分别为：

，，，，，，，，，

．故错误．

故选：．

12．在正四棱锥中，，，O为底面正方形的中心，点E，F分别为，的中点，则（       ）

A．平面平面 B．平面平面

C．四棱锥外接球的表面积为 D．点E到平面的距离为

【答案】ACD

【分析】以O为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法进行求解：对于A：判断出两平面的法向量，即可得到平面平面；对于B：判断出两平面的法向量不垂直，所以平面平面不垂直；对于C：设外接球的球心为.由,解得：.求出球的半径，即可求出球的表面积.对于D：利用向量法求出E到平面PBC的距离.

【详解】在正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，

所以平面ABCD, .

所以CA、BD、OP两两垂直.以O为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.

因为，所以,所以.

因为，所以.

所以,,,,,,.所以,.,.

设平面OEF的法向量为，所以，

不妨令，则.

同理可求：平面PDC的一个法向量为；平面PBC的一个法向量为.

对于A：因为，，所以，所以，

所以平面平面.故A正确；

对于B：因为，，所以，所以不垂直，所以平面平面不垂直.故B不正确；

对于C：因为正四棱锥，所以外接球的球心落在直线OP上.设外接球的球心为.由,则，解得：.

所以球的半径.

所以球的表面积为

故C正确；

对于D：因为.

所以E到平面PBC的距离为.

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.

【答案】3.2

【分析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.

【详解】因为该组数据的极差为5，，

所以，解得.

因为，

所以该组数据的方差为．

故答案为：.

14．2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．

【答案】

【分析】求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.

【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，

则基本事件有

（地，地），（地，化），（地，生），

（化，地），（化，化），（化，生），

（生，地），（生，化），（生，生）共个，

他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有个，

所以他们选课相同的概率．

故答案为：.

15．已知，则________．

【答案】

【分析】由两角差的正弦公式展开，由商数关系求得，然后由二倍角的正切公式计算．

【详解】，

，．

故答案为：．

四、双空题

16．在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则该四面体外接球的表面积为_________；该四面体体积的最大值为___________．

【答案】         

【分析】将四面体放置在长方体模型中，利用长方体的外接球即可求出四面体的外接球表面积，即可求出空；求出长度，再由基本不等式求得的最大值，即可求出四面体体积的最大值，进而求出空.

【详解】解：利用长方体模型，因为四面体的所有面均为直角三角形，因此取长方体的四个顶点作为四面体的顶点，如图所示，

所以该四面体外接球半径为：

所以该四面体外接球的表面积为：

由图知，

，即

当且仅当时取等号

故答案为：，.

五、解答题

17．已知向量．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；

（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；

【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，

由，可得，

即，解得，即，

所以；

（Ⅱ）依题意，

可得，即，

所以，

因为，

所以与的夹角大小是．

18．在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：直线平面．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，推出，然后利用直线与平面平行的判定定理证明平面．

（2）说明，证明，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面．

【详解】（1）在直三棱柱中，且，

因点，分别是棱，的中点，所以且，

所以四边形是平行四边形，即且，

又且，所以且，

即四边形是平行四边形，所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）因为直三棱柱，所以四边形是平行四边形，

又因，

所以四边形是菱形，所以，

又点，分别是棱，的中点，

即，所以．

因为，点是棱的中点，所以，

由直三棱柱，知底面，即，

又平面，平面，且，

所以平面，

又平面，则，

又平面，平面，且，

所以平面．

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．

19．某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为92．

(1)求n的值；

(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．

(3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出，再计算即可．

（2）设中位数为，由，求出即可．

（3）列举出所有的基本事件及满足条件的事件，再求出这2人均是二等奖的概率．

【详解】(1)由已知可得，．

则，得．

(2)设中位数为，则，得．

(3)按照分层抽样的方法从，内选取的人数为，

从，内选取的人数为．

记二等奖的4人分别为，，，，一等奖的1人为，

事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．

从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，，，，，，，，，共10种，

其中2人均是二等奖的情况有，，，，，，共6种，

由古典概型的概率计算公式得．

20．已知的三个内角，，的对边分别为，，满足.

（1）求；

（2）若，，角的角平分线交边于点，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角；

（2）利用余弦定理可得的值，进而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解.

【详解】（1）由正弦定理化边为角可得：

，

即

所以，

因为，所以

即.

因为，所以.

（2）在中，由余弦定理得，

代入数据可得：即.

解得：或(舍).

所以，所以，

在中，由是的角平分线，得，

则，

在中，由正弦定理得：即，

可得：.

21．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.

（1）求和的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；

（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．

【详解】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.

设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，

则，.

由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，

.

由题意可得

即解得或

由于，所以，.

（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.

由题意得，，，

，.

设{甲乙二人共答对3道题}，则.

由于和相互独立，与相互互斥，

所以.

所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.

【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．

22．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.

【详解】（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

【整体点评】

(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.