2022-2023学年山西省晋中市八年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年山西省晋中市八年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共47页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省晋中市八年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列多项式中，能用提公因式进行分解因式是( )
A. B. C. D.
3. 没有等式组的解集是(　　)
A. x＞－2 B. x＜1
C. －1＜x＜2 D. －2＜x＜1
4. 如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是(　　)

A. DE＝DF B. BD＝FD C. ∠1＝∠2 D. AB＝AC
5. 某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为(　　)
A. 117元 B. 118元 C. 119元 D. 120元
6. 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论：①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是对称图形，又是轴对称图形．其中成立的个数是(　　)

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7. 分解因式：2x2﹣8=_______
8. 当a＝＋1，b＝－1时，代数式的值是________．
9. 如图，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在BC的延长线上的点D处，且，则______度

10. 如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为________．

11. 若关于的方程的解为正数，求的取值范围．
12. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. (1)利用因式分解简便运算：2×192＋4×19×21＋2×212；
(2)解没有等式组：
14. 解分式方程：
15. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

16. 已知：正方形ABCD，如图所示，M、N在直线BC上，MB=NC，试分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺画出一个没有同的等腰三角形OMN．

17. 如图，△ABC通过平移得到△DEF，且BC分别与DE，DF相交于点M，N.连接AD，四边形ABMD的面积记作S1，四边形ACND的面积记作S2，四边形MNFE的面积记作S3.请判断S1，S2，S3三者间的数量关系，并说明理由．

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18. 如图，在Rt△ABC的斜边AB上取两点D，E，使AD＝AC，BE＝BC.当∠B＝60°时，求∠DCE的度数．

19. 设
化简A；
当时，记此时A的值为；当时，记此时A的值为；解关于x的没有等式：，并将解集在数轴上表示出来．

20. 定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
请解决下列问题：
(1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
(2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计没有超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
22. 如图，在等腰直角三角形MNC中，CN＝MN＝，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O.
(1)∠NCO的度数为________；
(2)求证：△CAM等边三角形；
(3)连接AN，求线段AN的长．

六、(本大题共12分)
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，B(b，0)，且b＜0，点C，D分别是OA，AB中点，△AOB的外角平分线与CD的延长线交于点E.
(1)求证：∠DAO＝∠DOA；
(2)①若b＝－8，求CE的长；
②若CE＝＋1，则b＝________．
(3)是否存在这样b值，使得四边形OBED为平行四边形？若存在，请求出此时四边形OBED对角线的交点坐标；若没有存在，请说明理由．
(4)直线AE与x轴交于点F，请用含b的式子直接写出点F的坐标．













2022-2023学年山西省晋中市八年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据对称图形的概念，对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合．
【详解】解：A、没有是对称图形，没有符合题意；
B、是对称图形，符合题意；
C、没有是对称图形，没有符合题意；
D、没有是对称图形，没有符合题意；
故选：B．
本题考查了对称图形，解题的关键是根据对称图形的概念，对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合．
2. 下列多项式中，能用提公因式进行分解因式的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】没有能进行因式分解，故没有正确；
x2+2x=x(x+2),故能用提公因式进行分解因式；
没有能进行因式分解，故没有正确；
没有能进行因式分解，故没有正确；
故选B.
3. 没有等式组的解集是(　　)
A. x＞－2 B. x＜1
C －1＜x＜2 D. －2＜x＜1
【正确答案】D

【详解】分析：首先解每个没有等式，两个没有等式的解集的公共部分就是没有等式组的解集．
详解：，
解①得：x＞﹣2，
解②得：x＜1，
则没有等式组的解集是：﹣2＜x＜1．
故选D．
点睛：本题考查了一元没有等式组的解法：解一元没有等式组时，一般先求出其中各没有等式的解集，再求出这些解集的公共部分．找解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到．
4. 如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是(　　)

A. DE＝DF B. BD＝FD C. ∠1＝∠2 D. AB＝AC
【正确答案】C

详解】分析：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．
详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故选C．

点睛：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．
5. 某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为(　　)
A. 117元 B. 118元 C. 119元 D. 120元
【正确答案】A

【详解】分析：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+13）元，根据“花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数”列方程即可．
详解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+13）元，根据题意列方程得：

解得：x=117
经检验：x=117是原方程的解．
故选A．
点睛：本题主要考查了分式方程的实际应用，审清题意找准等量关系列出方程是解决问题的关键．
6. 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论：①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是对称图形，又是轴对称图形．其中成立的个数是(　　)

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】D

【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，对称图形的定义一一判断即可．
【详解】∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°．
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确．
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD．
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AE、DB、BE．

∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF是对称图形，且是轴对称，故⑤正确．
故选D．
本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）

【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
8. 当a＝＋1，b＝－1时，代数式的值是________．
【正确答案】

【详解】分析：根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
详解：∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，∴====．
故答案为．
点睛：本题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．
9. 如图，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在BC延长线上的点D处，且，则______度

【正确答案】40；

【分析】由旋转的性质：旋转前后对应边相等，对应角相等，得出AB=AD，∠ADE=∠B=40°；
再根据等腰三角形的性质，以及∠BDE=∠ADE+∠ADB进行求解.
【详解】解：由旋转的性质可知，AB=AD，∠ADE=∠B=40 °，
在△ABD中，∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=40 °，
∴∠BDE=∠ADE+∠ADB=80 °.
即∠B=40°.
本题考查了旋转的性质．关键是根据对应边相等得出等腰三角形，对应角相等将角进行转化；
10. 如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为________．

【正确答案】12；

【详解】分析：根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可．
详解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴△OBE≌△ODH，△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S阴影=S△BCD．
∵S△BCD=S平行四边形ABCD=×6×4=12．
故答案为12．

点睛：本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分．
11. 若关于的方程的解为正数，求的取值范围．
【正确答案】的取值范围为且.

【详解】【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列没有等式，解没有等式得出m的取值范围，进而得出答案．
【详解】方程两边同乘以得
，
，
∵＞0，
∴＞0，
∴ ，
∵，
∴的取值范围为 且.
本题考查了分式方程的解以及没有等式的解法，正确解分式方程是解题关键．
12. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．

【正确答案】2或2或2

【分析】本题根据题意分三种情况进行分类求解，三角函数，等边三角形的性质即可解题.
【详解】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴，
在直角三角形ABP中，
，
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为或或2．

考点：勾股定理．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13. (1)利用因式分解简便运算：2×192＋4×19×21＋2×212；
(2)解没有等式组：
【正确答案】(1)3200;(2) －3＜x≤2.

【详解】分析：（1）先提取公因式2，再利用完全平方公式分解，然后计算即可；
（2）分别求出各没有等式解集，再求出其公共解集．
详解：（1）原式=2×（192＋2×19×21＋212）
=2（19+21）2
=2×402
=3200
（2）
解没有等式①，得：x＞﹣3，
解没有等式②，得：x≤2，
则没有等式组的解集为﹣3＜x≤2．
点睛：本题考查的是因式分解和解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
14. 解分式方程：
【正确答案】x=10

【详解】分析：根据等式的性质，可化为整式方程，解整式方程，可得答案．
详解：两边都乘以（x+3）（x﹣3），得：
　2（x﹣3）﹣（x+3）=1，
解得：x=10，
检验：当x=10时，x2﹣9≠0，
∴原方程的解为x=10．
点睛：本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题的关键，要检验分式方程的根．
15. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

【正确答案】证明见解析．

【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，ADBC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
16. 已知：正方形ABCD，如图所示，M、N在直线BC上，MB=NC，试分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺画出一个没有同的等腰三角形OMN．

【正确答案】见解析

【详解】分析：连结AC和BD，它们相交于点O，连结OM、ON，则△OMN为等腰三角形，如图1；连结AN和DM，它们相交于点O，则△OMN为等腰三角形，如图2．
详解：如图1、图2，△OMN为所作．

点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是掌握正方形的性质和等腰三角形的判定．
17. 如图，△ABC通过平移得到△DEF，且BC分别与DE，DF相交于点M，N.连接AD，四边形ABMD的面积记作S1，四边形ACND的面积记作S2，四边形MNFE的面积记作S3.请判断S1，S2，S3三者间的数量关系，并说明理由．

【正确答案】见解析

【详解】分析：根据平移的性质得到S△ABC＝S△DEF，分别表示出两个三角形的面积，即可得出结论．
详解：S3＝S1＋S2．理由如下：
S△ABC＝S1＋S2＋S△DMN，S△DEF＝S3＋S△DMN．
∵△DEF是△ABC通过平移得到的，
∴S△ABC＝S△DEF，∴S1＋S2＋S△DMN＝S3＋S△DMN，
∴S1＋S2＝S3．
点睛：本题考查了平移的性质．掌握平移前后的两个三角形面积相等是解题的关键．
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18. 如图，在Rt△ABC的斜边AB上取两点D，E，使AD＝AC，BE＝BC.当∠B＝60°时，求∠DCE的度数．

【正确答案】45°

【详解】试题分析：本题利用三角形的内角和定理求出∠A＝30°，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD75°，当∠B＝60°时，∠BCE＝60°，再利用角的和差，求出∠DCE＝45°.
试题解析：
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°.
∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝(180°－∠A)＝75°.
∵BC＝BE，∠B＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝75°＋60°－90°＝45°.
19. 设
化简A；
当时，记此时A的值为；当时，记此时A的值为；解关于x的没有等式：，并将解集在数轴上表示出来．

【正确答案】(1);(2)见解析.

【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可得；
先将a的值分别代入可得，再根据将没有等式的右边裂项、化简，继而求解可得．
【详解】解：(1)
；
(2)，
即，
，
，
，
，
解得，，
原没有等式的解集是，在数轴上表示如下所示，

本题考查分式的混合运算、在数轴表示没有等式的解集、解一元没有等式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解没有等式的方法．
20. 定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
请解决下列问题：
(1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
(2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点

【正确答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】分析：（1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可；
（2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证．
详解：（1）∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，∴BN=；
（2）∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上中点，∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG．
∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，∴EC2=DE2+DB2，∴4NG2=4MN2+4FM2，∴NG2=MN2+FM2，∴点M，N是线段FG的勾股分割点．
点睛：本题考查了勾股定理，弄清题中的新定义是解答本题的关键．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21. 某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计没有超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【正确答案】（1）每行驶1千米纯用电的费用为0.26元．（2）至少需用电行驶74千米．

【分析】（1）根据某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元，可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可解答本题；
（2）根据（1）中用电每千米的费用和本问中的信息可以列出相应的没有等式，解没有等式即可解答本题．
【详解】（1）设每行驶1千米纯用电的费用为x元，根据题意得：
=
解得：x=0.26
经检验，x=0.26是原分式方程的解，
答：每行驶1千米纯用电的费用为0.26元；
（2）从A地到B地油电混合行驶，用电行驶y千米，得：
0.26y+（﹣y）×（0.26+0.50）≤39
解得：y≥74，即至少用电行驶74千米．
22. 如图，在等腰直角三角形MNC中，CN＝MN＝，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O.
(1)∠NCO的度数为________；
(2)求证：△CAM为等边三角形；
(3)连接AN，求线段AN的长．

【正确答案】（1）15°；（2）证明见解析；（3）

【分析】（1）由旋转可得∠ACM=60°，再根据等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；
（3）根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACN≌△AMN，再根据Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，即可得到AN=AD﹣ND=﹣1．
【详解】解：（1）由旋转可得∠ACM=60°．
又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，
∴∠NCO=60°﹣45°=15°；
故答案为15°；
（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，
∴△CAM为等边三角形；
（3）连接AN并延长，交CM于D．
∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，
∴NC=NM=，CM=2，AC=AM=2．在△ACN和△AMN中，
∵，
∴△ACN≌△AMN（SSS），
∴∠CAN=∠MAN，
∴AD⊥CM，CD=CM=1，
∴Rt△ACD中，AD=CD=，
等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，
∴AN=AD﹣ND=﹣1．

本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．
六、(本大题共12分)
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，B(b，0)，且b＜0，点C，D分别是OA，AB的中点，△AOB的外角平分线与CD的延长线交于点E.
(1)求证：∠DAO＝∠DOA；
(2)①若b＝－8，求CE的长；
②若CE＝＋1，则b＝________．
(3)是否存在这样的b值，使得四边形OBED为平行四边形？若存在，请求出此时四边形OBED对角线的交点坐标；若没有存在，请说明理由．
(4)直线AE与x轴交于点F，请用含b的式子直接写出点F的坐标．

【正确答案】(1)见解析;(2) ①9, ②－2;(3)见解析;(4) F(b－，0)．

【详解】分析：(1)由C，D分别为AO，AB的中点，得到CD∥OB．又由OB⊥AO，得到CD垂直平分AO，由垂直平分线的性质即可得到结论．
(2)①由三角形中位线定理得到CD的长，由角平分线的定义和平行线的性质得到∠DEB＝∠DBE，从而得到ED＝BD＝5，即可得到结论．
②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，列方程求解即可得到结论．
(3)由四边形OBED是平行四边形，得OB＝ED．由ED＝BD＝AB，得到AB＝－2b，于是有(－b)2＋62＝(－2b)2，解方程得到b的值，进而得到AB的长．设平行四边形OBED的对角线交点为M，作MH⊥OB于点H，则BM＝BD＝AB．由OD＝DB＝OB，得到∠DBO＝60°，∠BMH＝30°，从而可得到BH，MH， OH，即可得到结论．
(4) 由三角形中位线定理可得FO=2EC．由EC=，得到FO=，即可得到结论．
详解：(1)∵C，D分别为AO，AB的中点，∴CD∥OB．
又∵OB⊥AO，∴CD⊥AC，∴CD垂直平分AO，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA．
(2)①∵b＝－8，∴OB＝8，∴CD＝OB＝4．易得∠DEB＝∠DBE，∴ED＝BD＝AB＝＝5，∴CE＝CD＋ED＝4＋5＝9．
②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，∴，解得：b=－2．故答案为－2．
(3)存在．理由如下：
如图，∵四边形OBED是平行四边形，∴OB＝ED．
∵ED＝BD＝AB，∴OB＝AB．
∵OB＝－b，∴AB＝－2b，∴(－b)2＋62＝(－2b)2，解得：b＝，∴AB＝．设平行四边形OBED的对角线交点为M，作MH⊥OB于点H，则BM＝BD＝AB＝×＝．∵OD＝AD，∴OD＝DB＝OB，∴∠DBO＝60°，∴∠BMH＝30°，∴BH＝，MH＝，∴OH＝=，∴M．

(4) ∵EC∥FO，AC=CO，∴FO=2EC．
∵EC=，∴FO=，∴F(，0)．

点睛：本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．







2022-2023学年山西省晋中市八年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，没有是轴对称的是（　　）
A. B. C. D.
3. 平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）．
A. （﹣2，﹣3） B. （2，﹣3） C. （﹣3，﹣2） D. （3，﹣2）
4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然没有能证明△ABC≌△DEF，则这个条件( )


A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF
5. 等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
6. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）

A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
8. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　）

A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
11. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )

A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A. 三边中线交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
13. 在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4 cm2，则S△BEF=（　　）．

A. 2 cm2 B. 1cm2 C. 0.5cm2 D. 0.25 cm2
14. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点没有在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

A. （0，0） B. （0，1） C. （0，2） D. （0，3）
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
15. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．

16. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是　 　．

17. 如图，已知直线，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠等于_______．

18. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　 　．

19. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为___________．

三、解 答 题(共63分）
20. 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．

21. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．

22. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求点B的坐标．

23. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．


24. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

25. 已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，

（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系 ，并证明你的结论















2022-2023学年山西省晋中市八年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【正确答案】C

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、3＋4＜8，没有能组成三角形，没有符合题意；
B、8＋7＝15，没有能组成三角形，没有符合题意；
C、13＋12＞20，能够组成三角形，符合题意；
D、5＋5＜11，没有能组成三角形，没有符合题意．
故选：C．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，没有是轴对称的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．没有是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．

3. 平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）．
A. （﹣2，﹣3） B. （2，﹣3） C. （﹣3，﹣2） D. （3，﹣2）
【正确答案】A

【分析】根据关于x轴对称的两点坐标关系：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得出结论．
【详解】解：点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）
故选A．
此题考查的是求一个点关于x轴对称点的坐标，掌握关于x轴对称的两点坐标关系是解决此题的关键．
4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然没有能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( )


A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF
【正确答案】D

【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
5. 等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 16或20
【正确答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质即可判断．
【详解】解∵等腰三角形的两条边长分别为8和4，
∴第三边为8或4，
又∵当第三边长为4时，
两边之和等于第三边即4+4=8没有符合构成三角形的条件，
故第三边的长为8，
故周长为20，
故选：C．
此题主要考查等腰三角形的周长，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．
6. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D

【详解】试题解析：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②③正确；
故选D．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．

7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【正确答案】B

【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，

由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【正确答案】C

【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180（n﹣2）=1080，

解得：n=8．
故选C．
9. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他次回到出发地A点时，一共走的路程是（　 　）

A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米
【正确答案】B

【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解.
【详解】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．
本题考查多边形内角与外角，熟记公式是关键.
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
【正确答案】A

【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
【详解】解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选A．
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．

11. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】D

【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴△ACD是等腰三角形，
在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BD=BC=BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠BDE=72°，∠ADE=36°，
∴△ADE是等腰三角形．
∴图中等腰三角形共有共5个．
故选D．
本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识．

12. 到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
【正确答案】B

【分析】到三角形三边都相等点应该在三角形三个内角的角平分线上，可得出答案．
【详解】解：设这个点为点P，
∵点P到AB、AC两边距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，
同理可得点P在∠ABC、∠ACB的平分线上，
∴点P为三个内角的角平分线的交点，
故选：B．
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
13. 在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4 cm2，则S△BEF=（　　）．

A. 2 cm2 B. 1cm2 C. 0.5cm2 D. 0.25 cm2
【正确答案】B

【分析】由三角形中线的性质得到，三角形面积公式解题．
【详解】解：分别是的中点，
，
，
．
故选：B．
本题考查三角形的中线，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点没有在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

A. （0，0） B. （0，1） C. （0，2） D. （0，3）
【正确答案】D

【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，

∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1
则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
15. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．

【正确答案】120

【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.
【详解】∵，
∴∠C=∠C′=24°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，
∴∠B=120°，
故120.
此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.
16. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是　 　．

【正确答案】75°

【分析】根据含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合，得出平行线，再利用平行线的性质和对顶角相等得出∠2=45°，再利用三角形的外角性质解答即可.
【详解】解：如图，

∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°的三角尺的一条直角边重合，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠4=45°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠B=30°，
∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，
故75°.
本题主要考查了三角形的外角性质.
17. 如图，已知直线，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠等于_______．

【正确答案】20°．

【详解】试题分析：如图，过点A作AD∥l1，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β，再由平行线的传递性可得AD∥l2，继而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边三角形的性质可得到∠BAC=60°，即可得∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．

考点：平行线的性质.
18. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　 　．

【正确答案】8

【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD=4，再由PC∥OB，可得∠ECP=∠AOB=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=8．
故答案为8

本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为___________．

【正确答案】

【分析】先利用“”证明得到，再利用三角形外角性质得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数．
【详解】解：，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，解题的关键是选择恰当的判定条件．
三、解 答 题(共63分）
20. 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．

【正确答案】证明过程见解析

分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．
【详解】∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（ASA）
∴AB=AC，
又∵AD=AE，
∴BE=CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．

【正确答案】AB=5cm，BC=3cm.

【详解】试题分析：根据△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB可知，AE=BE，根据△BCE的周长为8cm可求出BC+AC的长，再根据AC﹣BC=2cm即可求解．
试题解析：解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．
故AB=5cm，BC=3cm．
点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
22. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求点B的坐标．

【正确答案】（1，4）.

【详解】试题分析：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
试题解析：解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠CBE=90°，∠CAD=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴DC=BE，AD=CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，∴CD=OD﹣OC=4，OE=CE﹣OC=3﹣2=1，∴BE=4，∴则B点的坐标是（1，4）．

点睛：本题借助于坐标与图形性质，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
23. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．

【正确答案】（1）30°；（2）4．

【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含30°角的直角三角形的性质．


24. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．

【正确答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．

【分析】(1)、关于x轴两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别画出各点，然后顺次进行连接得出图形；
(2)、根据平移的法则画出图形，得出各点的坐标.
【详解】解：(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；

(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）
本题主要考查关于平面直角坐标系中点的对称和平移，解题的关键是要熟练地掌握点关于坐标轴对称的点的特点以及点的平移规律.
25. 已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，

（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系 ，并证明你的结论
【正确答案】（1）15°；（2），理由见解析

【分析】（1）先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，求出，然后利用计算即可．
（2）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系．
【详解】解：（1），，，
．
是的角平分线，
．
为的外角，
．
是的高，
．
．
（2）由（1）知，

又．
，
．
本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．