高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理练习

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第2课时　空间向量的数量积1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2.若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　).A.-6 B.6 C.3 D.-3解析:由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,则2k-12=0,解得k=6.答案:B2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①()2=3;②·()=0;③的夹角为60°;④正方体的体积为||.其中正确命题的个数是(　　).A.1 B.2 C.3 D.4解析:如答图,()2=()2==3·()==0;的夹角是夹角的补角,而的夹角为60°,故的夹角为120°;(第2题答图)正方体的体积为||||||.综上可知,①②正确.答案:B3.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,则△BCD为(　　).A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定解析:,∴cos<>=>0.又点B,C,D不共线,∴∠CBD为锐角,同理可得∠BCD为锐角,∠BDC为锐角,∴△BCD为锐角三角形.答案:B4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为(　　).A. B.C. D.解析:||=||===.答案:B5.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·()=　　　　　. 解析:由已知得=0,且),故·()=)2=(||2+||2+||2)=(1+4+9)=.答案:6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则所成角的大小为　　　　　,=　　　　　. (第6题)解析:如答图,连接A1D,则∠PA1D就是所成角.连接PD,(第6题答图)在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=,即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即所成角的大小为60°.因此×cos 60°=1.答案:60°　17.空间向量a,b之间的夹角为30°,且|a|=3,|b|=4,则a·b=　　　　　,(a+2b)·(a-b)=　　　　　. 解析:a·b=|a||b|cos<a,b>=3×4×cos 30°=6;(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=9+6-32=6-23.答案:6　6-238.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.(第8题)(1)试用a,b,c表示向量;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解:(1)(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,所以|a+b+c|=,所以||=|a+b+c|=,即MN=.