高中北师大版 (2019)1.5 两条直线的交点坐标当堂检测题

【特供】1.5 两条直线的交点坐标-1练习

一．填空题

1．在下列叙述中：

①若直线斜率为，则它的倾斜角为；

②若，，则直线AB的倾斜角为；

③若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点；

④若直线的斜率为，则这条直线必过与两点．

叙述正确的是__________．（填所有正确叙述的序号）

2．过点，且斜率为2的直线方程是______．

3．已知直线l:+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为______.

4．

直线必过定点_______________.

5．

过点A(－1,0)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为________．

6．若直线与直线关于直线对称，则的方程是__________．

7．已知直线，则经过点且垂直于的直线方程为________ 。

8．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上中线所在的直线方程为________．

9．若三点A(1,1),B(ａ，0)，Ｃ（0，2）共线，则ａ＝____．

10．直线＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是________．

11．

与两平行直线：：, ：等距离的直线方程为_______ .

12．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________.

13．过点和的直线的倾斜角为，则实数a的值为__________．

14．

过点且垂直于直线的直线方程是_____________．

15．

已知直线与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为_____

16．如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长_______．

17．

过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.

18．

已知实数m,n满足，则直线必过定点___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】①②③

【解析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式求解判断.

【详解】

①由倾斜角的正切值为，即，得倾斜角为，故①正确；②直线与轴垂直，斜率不存在，倾斜角为，故②正确；③直线过定点斜率为，又，故直线必过，故③正确，④斜率为的直线有无数条，所以这条直线不一定过与两点，故④错误．所以叙述正确的是①②③.

【点睛】

本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.

2．【答案】

【解析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．

【详解】

过点，且斜率为2的直线方程是

，

化为一般式方程为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．

3．【答案】

【解析】设P（x，y），则A（x，0），B（0，3y）．可得M的坐标，代入直线1：+=1，可得点P的迹方程．

【详解】

设P（x，y），则A（x，0），B（0，3y）．

∴M（x，3y）．

代入直线1：+=1，可得．

故答案为：

【点睛】

本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定M的坐标是关键．

4．【答案】

【解析】

【分析】

直线方程为点斜式，斜率变化时，直线过定点.

【详解】

当时，，故直线过定点，填.

【点睛】

一般地，含参数的动直线会有一些确定性质，比如过定点．与确定的圆相切等，解题中注意利用这些性质可便于问题的解决.

5．【答案】

【解析】设过点A(－1,0)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x-y+c=0，把点A(－1,0)带入得：c=2

∴所求直线方程为.

6．【答案】

【解析】设直线上任意一点为，则关于直线的对称点在直线上，由对称性可得，解得，代入直线可得，化简可得所求直线方程为，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.

7．【答案】

【解析】设出与直线垂直的直线方程，代入点的坐标，由此求得所求的直线方程.

【详解】

依题意设与直线垂直的直线方程为，将点坐标代入得，解得，故所求直线方程为.

【点睛】

本小题主要考查直线方程的求解，考查两条直线相互垂直时，直线方程的特点，属于基础题.

8．【答案】

【解析】求中线的方程，其实质是求直线方程：两点确定直线或是一点和直线的斜率k确定直线，本题可以求出B，C的中点，结合点A求解直线方程.

【详解】

设BC中点为D（x，y）

已知B(－2,3)，C(0,1)，则D（-1，2） 因为

所以BC边上中线所在的直线方程为：

【点睛】

本题考查中点公式和直线方程的求解，确定一条直线一般方法有：1.两点确定一条直线，其中可以利用直线的两点式方程；2.斜率和一点确定一条直线，重点是确定斜率.该题意在考查学生对基础知识的掌握程度.

9．【答案】2

【解析】先求出过点A,C的直线方程，然后根据点B在直线上可得所求的值．

【详解】

由题意得过点A,C的直线方程为，

整理得．

又点在直线上，

∴，

解得．

故答案为2.

【点睛】

已知三点共线求参数时，可先求出过其中两点的直线方程，然后再根据第三点在该直线上求解．

10．【答案】x＋y＝1(x≠0，x≠1)

【解析】直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，

设AB的中点为M(x，y)，

则x＝，y＝1－，

消去a，得x＋y＝1.

∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1.

11．【答案】

【解析】

【分析】

设所求直线方程为3x-y+c=0，利用平行直线间的距离公式得到c值.

【详解】

设与直线：, ：等距离的直线l的方程为3x-y+c=0，

则|9﹣c|=|-3﹣c|，

解得c=3，

∴直线l的方程为．

【点睛】

本题考查的重点是两条平行直线间的距离，解题的关键是利用两条平行直线间的距离公式．

12．【答案】(3,0)或(0,3)

【解析】由题意可得，分别设和，利用斜率公式列出方程，即可求解。

【详解】

由题意可得，若点在轴上，则设，则，解得；

若点在轴上，则设，则，解得，

故点的坐标为(3,0)或(0,3).

【点睛】

本题主要考查了直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

13．【答案】1

【解析】根据倾斜角得斜率，再根据两点间斜率公式求参数.

【详解】

由直线的倾斜角为得直线的斜率，即，解得．

【点睛】

本题考查两点间斜率公式以及倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力，属基础题.

14．【答案】

【解析】直线的斜率为，则垂直于直线的直线的斜率为.

则过点且垂直于直线的直线方程： .

整理得： .

15．【答案】

【解析】

【分析】

由截距式定义可知直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，在y轴上截距为6，此面积为三角形面积，则利用截距表示面积，列出方程，即可求出a.

【详解】

由题意得：直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，直线在y轴上截距为6，

由于此面积为三角形，所以面积为：，解得：.

【点睛】

本题考查截距式与图像相结合，根据截距的几何意义，与几何图形相联系，注意截距的符号问题，长度只能为正数.

16．【答案】

【解析】以A为坐标原点，AB．AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，求P关于直线BC及y轴的对称点，两点间距离即为所求

【详解】

以A为坐标原点，AB．AC分别为x轴y轴建立平面直角坐标系，因为为等腰直角三角形，其中，且，则，点，所以点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为，则且，解得，则

【点睛】

本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光线的反射原理的应用，要根据光线的反射原理，将折现问题转化为直线问题求解

17．【答案】2x+y=0，或 x-y=6=0

【解析】

【分析】

可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．

【详解】

：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0；
②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，
∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6，
∴此时所求的直线方程为x-y+6=0；
即答案为2x+y=0，或 x-y=6=0.

【点睛】

本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．

18．【答案】

【解析】

【分析】

将代入直线得，由即可得结果.

【详解】

由已知得，

代入直线得，

即，

由，解得，

直线必过定点，故答案为.

【点睛】

探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.