高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.2 实际问题中的最值问题练习

【精编】7.2 实际问题中的最值问题作业练习

一．填空题

1．已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________.

2．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．

3．定义在的函数的最大值为______．

4．已知函数（）.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______.

5．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________．

6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.

7．如图所示，为为某一值时和在同一直角坐标系下的图象，当两函数图象在y轴右侧有两个交点时，的范围为_____.

8．已知是定义在上的奇函数，又，若时，，则不等式的解集是__________．

9．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为________.

10．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.

11．对于三次函数．给出定义：設是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，则该函数的对称中心为____________，计算则的值等于_____________；

12．函数的递减区间是           .

13．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是__________.

14．设函数在处取得极值为0，则__________．

15．函数的单调减区间是______．

16．已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是______________.

17．已知函数，若，则实数m的取值范围是________.

18．函数在处取得极值，则______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围.

详解：函数在R上是减函数，

则

当时，在上不能恒成立，所以不成立；

当时，在上恒成立，

需，解得

即a的取值范围为

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.

2．【答案】

【解析】根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题，凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.

详解：由指数函数与对数函数图象可知：，

恒成立可转化为恒成立，即恒成立，，即是夹在函数与的图象之间，

的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.

设过原点且与相切的直线与函数相切于点，

则切线斜率，解得：；

设过原点且与相切的直线与函数相切于点，

则切线斜率，解得：；

当时，，又，满足题意；

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.

3．【答案】

【解析】利用导数研究单调性即可得到函数的最值.

详解：由已知，，当时，；

当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

4．【答案】

【解析】由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.

详解：由得,设，则存在，使得成立，

即成立.所以成立，所以成立，

又令，，所以时， 单调递增，当时，有最小值，

所以实数a的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性．极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.

5．【答案】

【解析】：∵f（x）=x2－2bx+3a的导数为f'（x）=2x－2b，

∴f（x）极小值点是方程2x－2b=0的根，即x=b，

又∵函数f（x）在区间（0，1）内有极小值，

∴0＜b＜1，故答案为

考点：利用导数研究函数的极值。

点评：简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解。

6．【答案】

【解析】转化条件得有两个不同实数根，令，通过导数画出函数的草图后数形结合即可得解.

详解：函数的定义域为，

函数，

函数有两个不同的零点即为有两个不同实数根，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

，

可画出函数的草图，如图：

由图可知，要使有两个不同实数根，则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.

7．【答案】

【解析】构造函数,代入后求得.根据函数的单调性,可得极大值与极小值.由题意可知函数有两个正的零点,结合三次函数图像可得关于的不等式,解不等式组即可求得的取值范围.

详解：令

代入可得

则

当时,,单调递增

当时, ,单调递减

当时,,单调递增

所以在处取得极大值,在处取得极小值

因为两函数图象在y轴右侧有两个交点

即有两个正的零点

结合三次函数图像可知只需满足

即,解得

即

故答案为:

【点睛】

本题考查了函数零点与函数交点关系,构造函数法分析函数的交点情况,三次函数图像与性质的应用,属于中档题.

8．【答案】

【解析】令 ，则为偶函数，，当时，，即在 上单调递增，

从而由偶函数性质得，在 上单调递减，

因此

即解集是

点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

9．【答案】

【解析】要求，构造函数，则：研究的单调性，求解的取值范围

详解：令，则，

因为时，，即，

因此，在定义域R上为单调递增函数；由于，则，

要求，则，即，

由的单调性，则解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考核函数构造，利用构造函数的单调性，求变量的取值范围

10．【答案】

【解析】由题意在上恒成立,设，[－1，1],转为二次不等式在区间上恒成立问题.

详解：由题意知，在上恒成立.

设，[－1，1]，

则在[－1，1]上恒成立，

所以只需，解得，

故答案为：

【点睛】

利用单调性求参数范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，利用子集的概念确定范围.②利用导数转化为不等式或恒成立求参数范围.

11．【答案】   

【解析】首先确定函数的拐点，然后结合函数的对称性整理计算即可求得最终结果.

详解：由函数的解析式可得：，则，

令可得，

由函数的解析式可得：，

据此可知函数的对称中心为，故

令，        ①

则，        ②

①+②可得：，则，

即.

故答案为：；

【点睛】

“新定义”主要是指即时定义新概念．新公式．新定理．新法则．新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

12．【答案】[-1,1]

【解析】

13．【答案】

【解析】求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系只需在上即可.

详解：由函数，所以，

函数在上单调递增，

则，即，所以，

令，因为，

由对勾函数的单调性可知在单调递增，

故，故，即实数a的取值范围是

故答案为： .

【点睛】

本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.

14．【答案】

【解析】，因为函数y=f(x)在处取得极值为0，所以，解得（舍）或，

代入检验时。无极值。所以（舍）。符合题意。所以=。填。

【点睛】

对于可导函数，导数为0是极值点必要条件，所以对于通过导数为0求出参数的问题，需要进行检验。

15．【答案】

【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.

详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

16．【答案】

【解析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为，根据能成立的思想可得，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.

详解：，

即为，

整理得到，即，使得成立，

（当且仅当，即时取等号），，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.

17．【答案】

【解析】根据不等式形式考虑构造函数，利用的单调性求解的范围，注意分析定义域.

详解：注意到不等式左右两边的外在结构相同，

所以可构造函数，

易知该函数在其定义域上单调递增.

又由已知不等式得，

所以可知，解得.

故实数m的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查构造函数并利用函数单调性求解参数范围，难度一般.利用构造函数解决不等式恒成立问题，除了需要根据已知不等式列出自变量满足的不等式，同时需要注意分析新函数的定义域.

18．【答案】

【解析】根据极值点处解得值，再验证即可.

详解：由知

因为函数在处取得极值，所以，解得，

此时，，所以在递减，在递增

故满足函数在处取得极值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的极值点，…，学生易忘记验证而犯错，属于常考题.