数学北师大版 (2019)6.1 函数的单调性练习题

【优编】6.1 函数的单调性-1作业练习

一．填空题

1．

已知函数的导函数为，且满足，当时，．若，则实数m的取值范围是______．

2．

设是定义在上的奇函数，在上有且，则不等式的解集为______．

3．

设函数，，且满足，则实数的取值范围是__________.

4．

已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是______．

5．

若函数（a，b为实数，e为自然对数的底数）在处取得极值-1，且当时，恒成立，则整数k的最大值是_____.

6．

关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.

7．

已知函数，则的单调递增区间是___________.

8．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.

9．

已知定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为__．

10．

已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．

11．

已知函数在，上不是单调函数，则实数的取值范围为__．

12．

设函数，若对任意都可以作为一个三角形的三边长，则的取值范围为__________.

13．

已知，，若，使得成立，则实数的最小值是_________．

14．

已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，设是函数的两个极值点，求证：

15．

圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径比值为________时，才能使所用的材料最省？

16．

已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是_________．

17．

已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_________．

18．

若关于的函数在区间，上递增，则实数的取值范围是__．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

令，则，当时，，∴在上递减，而，，

所以，

所以是奇函数且在上单调递减，若，

则，

所以∴，即．

故答案为：

2．【答案】.

【解析】

设，

则，

所以当时，，所以在上递减，

又因是定义在上的奇函数，

所以是上的偶函数，，

所以函数在区间上是增函数，

又，则，

因为，则，即，即，

由函数是上的偶函数，所以，

所以，解得且，

即不等式的解集为.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】

易知函数定义域为，是偶函数，

，

当时，设，，即在单调递增，

，所以恒成立就，即，

设， ，在单调递增，，即，

所以，在上单调递增，

于是关于轴对称，且在上单调递增，

，时，有，恒成立；时，有；

综上：.

故答案为：

4．【答案】.

【解析】

由题意知，函数的定义域为，

，

因为函数有唯一极值点，所以是函数的唯一极值点，所以在无变号零点，令，则，

当时，恒成立，所以在内单调递增，且，所以在上无解，

当时，有解，且，

又因为时，，所以在上单调递减；时，，所以在上单调递增，所以，解得，当时，作出函数和的图象，如图：

由函数和的图象可知，它们相切于点，所以符合条件，

综上所述：，

故答案为：.

5．【答案】0

【解析】

由题：，在处取得极值-1，，

，解得，

，经检验符合题意，

当时，恒成立，对恒成立，

对恒成立，，

，记，，，

所以单调递增，

，，

所以存在唯一使，

且当单调递减，

且当单调递增，

所以，，

所以

所以整数k的最大值是0.

故答案为：0

6．【答案】

【解析】

令，

则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，

等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

是过原点斜率为的直线，

设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，

所以，，所以，

所以切线方程为，整理可得：，

因为切线过原点，所以，即，所以，

所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，

记，则直线的斜率为，

由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，

所以实数的取值范是

故答案为：.

7．【答案】（填也可以）

【解析】

由题得，

，

令得，

所以的单调递增区间为.

故答案为：（填也可以）

8．【答案】

【解析】∵，∴，∴，又点在直线上，∴，

∴，，设，则，

当时，，∴在上单调递增，∴，

∴在上单调递增，，解得或，∴的最大值为.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】

因为，所以，

令，则，故在上单调递减；

又，则不等式可化为：，

即，所以，

即不等式的解集为，

故答案为：．

10．【答案】，

【解析】

解：在上是增函数，

，

，

由基本不等式得：（当且仅当，即时取“”，

，

，解得，

故答案为：，，

11．【答案】

【解析】

，，

令，对称轴为，图象开口向上，

若在上不是单调函数，则在上有解，

所以，

解得，

故实数的取值范围是．

故答案为：．

12．【答案】

【解析】

解：设函数，则

当一或时，单调递增；

当时单调递减.

又，

所以的值域为

当时，，解得

当时，，解得

综上可得，.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】

因为，使得成立，等价于，

，

当时，，递减，当时，，递增，

所以当时，取得最小值；

因为，

所以当时，取得最大值为，

所以，即实数a的取值范围是．

所以实数的最小值是.

故答案为：

14．【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得，函数的定义域为，.

当时，恒成立，

函数在上单调递减.

当时，令，得.

若，则，此时函数单调递增；

若，则，此时函数单调递减，

综上，当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2），，

由，得，

，

由，得，，

令，则

恒成立，

在单调递减，

，

即

15．【答案】2

【解析】

设（），（是圆柱的高，是底面半径），则（是体积为定值），

，即，，

，

令，则，

时，，递减，时，，递增，

所以时，取得极小值也是最小值，．

故答案为：2．

16．【答案】

【解析】

解：因为，定义域为，且，即为奇函数，又因为，所以在定义域上单调递增，若，即，即，即，即，解得，即

故答案为：

17．【答案】

【解析】

因为函数的零点，即方程的根，

而该方程可化为，

设，则的定义域为，

且，由，得，

当时，，递减

当时，，递增

当时，，递减

所以极小值，的大致图象如图所示．

所以，要函数有3个不同的零点，

即方程有3个不同的根，

即与含有3个不同的交点，

故．

故答案为：

18．【答案】

【解析】

解：若函数在区间，上递增，

令，

在，上，>0，且单调递减，

所以（2）>0且任意，，，

所以>0且，

解得：，

故答案为：