北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性一课一练

【精编】1.2 数列的函数特性-1作业练习

一．填空题

1．设数列满足，.则__________．

2．在数列中, 猜想数列的通项公式为________.

3．定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.

①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；

②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N)，则an＝________．

5．已知数列中，，当时，是乘积的个位数，则______．

6．已知数列()，若，，则      ．

7．数列满足,,则＝________。

8．将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当且是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如.则的值为___________，数列的前项的和为____________.

9．已知数列的首项，则______；猜想其通项公式是______．

10．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，若存在唯一的正整数n使得不等式－tan－2t2≤0成立，则实数t的取值范围为________．

11．已知数列满足，则_______．

12．已知无穷数列满足则_______.

13．已知函数y=INT（x）叫做取整函数，它表示y等于不超过x的最大整数，如，，已知，，（，），则_______.

14．已知数列的前项和，则_____， _____．

15．数列中， ，，则=__________.

16．化简：+++++=______．

17．设数列使得，且对任意的，均有，则所有可能的取值构成的集合为：___,的最大值为__.

18．已知数列满足，则_____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由数列的递推关系式求出数列的前几项，可得数列的周期为4，由周期进行计算可得答案.

【详解】

数列满足，，

当n=1时，，解得，

当n=2时，，解得，

当n=3时，，解得，

当n=4时，，解得，

可得数列的最小正周期为4，

则，

故答案为：

【点睛】

本题考查由递推数列求数列每一项的值，考查周期数列的判断，属于基础题.

2．【答案】

【解析】根据递推关系式可依次求解出，根据数字规律可猜想出通项公式.

【详解】

由，可得：

；，

猜想数列的通项公式为：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查根据递推关系式求解数列通项公式的问题，属于基础题.

3．【答案】不是    是     

【解析】①由是关于的递增数列，可知不满足定义，由可知正负交替出现，易求出的值；②先对取特殊值确定的取值范围，再根据对任意的正整数都成立，求出的值.

【详解】

①由知道是递增数列，故不存在满足定义的

又因为可知正负数值交替出现，故时满足定义

②因为数列是“﹣摆动数列”，故时有

可求得：

又因为使对任意正整数，总有成立，即有成立

则

所以，，…，

同理，，…，

所以，即，解得，即

同理，解得，即

综上，

本题正确结果：不是；是；

【点睛】

本题属于新定义型问题，综合考查数列．不等式的知识，难度较大.解决问题的关键是明确新定义的具体含义和要求；解题的难点在于确定的取值时，需要根据定义得到，从而能够得到相邻两项之间的关系，从而能够得到最终结果.

4．【答案】

【解析】根据和项与通项关系得结果.

【详解】

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝.

【点睛】

本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.

5．【答案】1

【解析】根据题意可得：由数列的递推公式可得，，，，，，，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得，即可得答案．

【详解】

由题意得，数列中，，，当时，是积的个位数；

则，

依此类推，，，，，，，，

数列是以周期的周期数列，

则；

故答案为：1.

【点睛】

本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列的周期，属于基础题．

6．【答案】

【解析】由已知推导出=(，=1+（），从而-=-，由此能求出

【详解】

∵数列满足：，，

∴（）+（）++（）=+++==(，

∴=(；

又++（）=1++++=1+=1+（），

即=1+（）

∴-=-

∴--，

故答案为：-

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．

7．【答案】

【解析】本题通过递推式直接将代入在依次类推则可得出。

【详解】

因为，所以，

所以，

通过观察上式得。

【点睛】

本题考察递推式的应用，若在选择填空题中遇到则可以通过一次类推或找规律求解。

8．【答案】3     

【解析】写出88的所有分解，找出分解中两数差的绝对值最小的，得；由函数的定义，，所以使用裂项相消法求数列前项的和

【详解】

88可分解成，，，，其中是所有分解中两数差的绝对值最小的，所以；由题，所以数列的前项的和为

【点睛】

解决以函数为背景的新定义问题，要紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，应用到具体的解题过程中去

9．【答案】     

【解析】数列{an}的首项a1=1，an+1=（n=1，2，3，），代入a2==，同理可得：a3，a4.即可猜想其通项公式是an．

【详解】

数列{an}的首项a1=1，an+1=（n=1，2，3，），

∴a2==，同理可得：a3=，a4=．

猜想其通项公式是an=．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了数列递推关系．通项公式．猜想能力，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．

10．【答案】或

【解析】时，

整理得，又，故

不等式可化为：

设，由于，由题意可得

，解得或．

考点：1.数列通项公式的求法；2.不等式恒成立问题．

11．【答案】

【解析】由题意结合数列的递推关系首先求得数列的通项公式，然后分组求和求解数列的前项和即可.

【详解】

令，则，

由题意可得：，

即：，整理可得：，

令，则，由题意可得：，

且，

故，即，

，据此可知：

.

【点睛】

本题考查利用数列的递推关系求数列通项公式，数列求和，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理．变形，变成等差．等比数列，或用累加法．累乘法．迭代法求通项，是中档题

12．【答案】0

【解析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．

【详解】

无穷数列满足，

0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查数列的极限的运算法则的应用，属于基础题．

13．【答案】1

【解析】先逐项递推，得到再利用数列的周期性求解.

【详解】

因为，，（，），

所以=0，

,

,

,

,

所以.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查新定义，考查学生利用递推数列求通项，考查数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14．【答案】1     

【解析】利用求解.

【详解】

当时，；

当时，；

综上可得：.

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解方法.已知求解时，利用求解.

15．【答案】

【解析】根据已知递推关系式可知数列为等差数列，求解出的通项后，得到所求通项公式.

【详解】

由得：

可知数列为等差数列，首项为，公差

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用递推关系求解数列通项公式问题，关键是能够通过递推关系式证得与相关的数列为等差数列，从而使问题得以求解.

16．【答案】

【解析】求和形式中的通项公式为，可裂项为，然后逐项分解求其和。

【详解】

解：

故原式+++++

=

答案是

【点睛】

本题考查了数列的求和知识，数列求和常见的方法有公式法．倒序相加法．错位相消法．裂项相消法等等，对通项进行裂项是裂项相消法解决数列求和问题的关键。

17．【答案】    2016 

【解析】根据，，逐步计算，即可求出所有可能的取值；由，要使取最大值，只需为增数列，得到，由累加法求出，进而可求出结果.

【详解】

因为数列使得，且对任意的，均有，

所以，因此或；

又，所以，因此或，

即所有可能的取值为，

故所有可能的取值构成的集合为；

若取最大值，则必为增数列，即，

所以有，

因此，，…，，

以上各式相加得，

所以，因此.

故答案为  (1).     (2). 2016

【点睛】

本题主要考查数列的应用，由数列的递推公式求解即可，属于常考题型.

18．【答案】

【解析】根据递推关系计算即可.

【详解】

,

可得

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系，属于中档题.