数学选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性学案

这是一份数学选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性学案，共12页。学案主要包含了数列与函数的关系，数列的增减性，数列的最大项等内容，欢迎下载使用。

导语
2021年1月14日，海关总署发布最新数据显示：2020年我国货物贸易进出口总额为32.16亿元，同比增长1.9%，其中出口增长4%，中国外贸持续增长．当天，阿里巴巴国际站发布2020年全年年报，平台实收交易额按美元计价同比增长101%，数字化新外贸成为中国出口新趋势．阿里巴巴2020年1～12月平台实收交易额数据构成一个数列，它能用图象表示吗？
一、数列与函数的关系
问题1 已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出数列的图象．
提示 对应的函数值分别为0,3,8，能构成一个数列．图象如图．
知识梳理
数列与函数的关系
可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每一个点的坐标为(k，ak)，k＝1,2,3，…，这个图象也称为数列的图象．
注意点：
(1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点．
(2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势．
(3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法．
例1 在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象．
解 列表：
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…，图象如图所示．
反思感悟 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
跟踪训练1 根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝eq \f(n＋1,n).
解 (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
图象如图1.
(2)a1＝2，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(4,3)，a4＝eq \f(5,4)，a5＝eq \f(6,5).
图象如图2.
二、数列的增减性
问题2 观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？
(1)1,2,3,4,5,6；
(2)－1，－2，－3，－4，－5，－6.
提示 (1)逐渐变大．(2)逐渐变小．
知识梳理
数列的增减性
注意点：
(1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性．
(2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．
角度1 数列增减性的判断
例2 已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(1,n2＋5n＋4)，则该数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
答案 B
解析 对任意n∈N＋，
∵an＋1－an＝eq \f(1,n＋12＋5n＋1＋4)－eq \f(1,n2＋5n＋4)＝eq \f(－2n＋3,[n＋12＋5n＋1＋4]n2＋5n＋4)<0，
∴数列{an}是递减数列．
延伸探究 本例若把数列{an}的通项公式改为an＝eq \f(k,3n)(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性．
解 eq \f(an＋1,an)＝eq \f(k,3n＋1)·eq \f(3n,k)＝eq \f(1,3)<1.
∵k>0，n∈N＋，∴an>0，
∴an＋1角度2 利用数列的增减性求参数
例3 已知数列{an}是递减数列，且an＝(m2－2m)(n3－2n)，则实数m的取值范围为________．
答案 (0,2)
解析 ∵数列为递减数列，∴an＋1∴an＋1－an＝(m2－2m)[(n＋1)3－2(n＋1)－n3＋2n]＝(m2－2m)(3n2＋3n－1)<0.
∵n∈N＋，
∴3n2＋3n－1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))2－eq \f(7,4)≥5>0，
∴m2－2m<0，解得0故实数m的取值范围为(0,2)．
反思感悟 数列增减性的两个关注点
(1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法．
(2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围．
跟踪训练2 已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 ∵{an}是递增数列，
∴an＋1－an＝[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k>0，
∴k>0.
三、数列的最大(小)项
例4 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3，
∴数列中有两项是负数．
(2)方法一 ∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，可知对称轴方程为n＝eq \f(5,2)＝2.5.
又∵n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
方法二 设第n项最小，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an＋1，,an≤an－1，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2－5n＋4≤n＋12－5n＋1＋4，,n2－5n＋4≤n－12－5n－1＋4.))
解得2≤n≤3，∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
反思感悟 求数列{an}的最大项和最小项的方法
(1)数列或函数的单调性法．
(2)不等式法：求最小项可由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an＋1，,an≤an－1))来确定n，求最大项可由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an＋1，,an≥an－1))来确定n.
跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项．
解 设an是数列{an}中的最大项，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2n×0.9n≥2n－1×0.9n－1，,2n×0.9n≥2n＋1×0.9n＋1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.9n≥n－1，,n≥0.9n＋1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n≤10，,n≥9，))即9≤n≤10，
所以当n＝9或n＝10时，an最大，
最大项为a9＝a10＝2×10×0.910＝20×0.910.
1.知识清单：
(1)数列的表示方法．
(2)数列的增减性的判断及应用．
(3)求数列的最大(小)项．
2．方法归纳：图象法、转化与化归思想．
3．常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错．
1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是( )
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
答案 D
解析 ∵an＝3n－2，n∈N＋，
∴数列{an}的图象是一群孤立的点．
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
答案 C
解析 ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n＋2,n＋1)，则这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 数列{an}的通项公式是
an＝eq \f(n＋2,n＋1)＝eq \f(n＋1＋1,n＋1)＝1＋eq \f(1,n＋1)，
所以an＋1－an＝eq \f(1,n＋2)－eq \f(1,n＋1)<0，
故这个数列为递减数列．
4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是________．
答案 －9
解析 an＝n2－6n＝(n－3)2－9，所以当n＝3时，an取得最小值－9.
课时对点练
1．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 A
解析 ∵an＋1－an＝3>0，∴数列{an}是递增数列．
2．(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为( )
A．an＝－2n＋1
B．an＝－n2＋3n＋1
C．an＝eq \f(1,2n)
D．an＝(－1)n
答案 AC
解析 可以通过画数列的图象一一判断．B中数列有增有减，D中数列是摆动数列．
3．函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021等于( )
A.1 B．2 C．4 D．5
答案 A
解析 根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以周期为3，故x2 021＝x2＝1.
4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在
答案 A
解析 ∵a1>0且an＋1＝eq \f(n,n＋1)an，
∴an>0，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)<1，
∴an＋1∴此数列为递减数列，故最大项为a1.
5．(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下说法正确的是( )
A．该数列有无限多个正数项
B．该数列有无限多个负数项
C．该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值
D．－70是该数列中的一项
答案 BD
解析 令－2n2＋13n>0，得06．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
答案 D
解析 ∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.
又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，
∴k>－3.
7．数列{－2n2＋9n＋3}的最大项是第________项，最大项为________．
答案 2 13
解析 因为an＝－2n2＋9n＋3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(9,4)))2＋eq \f(105,8)，
又n∈N＋，故当n＝2时，an取到最大值13.
8．已知数列{an}满足an＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,2n)，则数列{an}是________数列(填“递增”“递减”或“常”)．
答案 递增
解析 ∵an＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,2n)，
∴an＋1＝eq \f(1,n＋1＋1)＋eq \f(1,n＋1＋2)＋eq \f(1,n＋1＋3)＋…＋eq \f(1,2n＋1)
＝eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋eq \f(1,n＋4)＋…＋eq \f(1,2n)＋eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)，
∴an＋1－an＝eq \f(1,2n＋1)＋eq \f(1,2n＋2)－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(1,2n＋1)－eq \f(1,2n＋1)，
又n∈N＋，∴2n＋1＜2(n＋1)，
∴an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列．
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝eq \f(2,2n－9)；(2)an＝n2－9n.
解 (1)a1＝－eq \f(2,7)，a2＝－eq \f(2,5)，a3＝－eq \f(2,3)，a4＝－2，a5＝2.
图象如图所示．
(2)a1＝－8，a2＝－14，a3＝－18，a4＝－20，a5＝－20.
图象如图所示．
10．已知数列{an}的通项公式an＝eq \f(n,n2＋1)(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由．
解 数列{an}为递减数列，理由如下：
an＋1－an＝eq \f(n＋1,n＋12＋1)－eq \f(n,n2＋1)
＝eq \f(n＋1n2＋1－n[n＋12＋1],[n＋12＋1]n2＋1)
＝eq \f(－n2－n＋1,[n＋12＋1]n2＋1)
＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))2＋\f(5,4),[n＋12＋1]n2＋1).
∵f(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)在[1，＋∞)上单调递减，
∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0.
又(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0，
∴an＋1－an<0，
∴数列{an}是递减数列．
11．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x)的图象是( )
答案 A
解析 根据题意知，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
12．已知p>0，n∈N＋，则数列{lg0.5pn}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．增减性与p的取值有关
D．常数列
答案 C
解析 令an＝lg0.5pn.当p>1时，pn＋1>pn，
∴lg0.5pn＋1即an＋1当0∴lg0.5pn＋1≥lg0.5pn，
即an＋1≥an，故选C.
13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))
C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列，
则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－a>0，,a>1，,a7＝3－a×7－3解得214．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
答案 61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15．已知an＝eq \f(9nn＋1,10n)(n∈N＋)，则数列{an}的最大项的值为________．
答案 eq \f(99,108)
解析 ∵an＋1－an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10)))n＋1(n＋2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10)))n(n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10)))n＋1·eq \f(8－n,9)，
∴当n≤7时，an＋1－an>0；
当n＝8时，an＋1－an＝0；
当n≥9时，an＋1－an<0.
∴a1a9>a10>a11>a12>….
故数列{an}存在最大项，
且最大项为a8＝a9＝eq \f(99,108).
16．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(lg2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(lg2an)＝－2n，
∴＝－2n，
即an－eq \f(1,an)＝－2n(看成关于an的方程)．
∴aeq \\al(2,n)＋2nan－1＝0，解得an＝－n±eq \r(n2＋1).
∵an>0，∴an＝eq \r(n2＋1)－n，n∈N＋.
(2)证明 作商比较，
∵eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋12＋1)－n＋1,\r(n2＋1)－n)＝eq \f(\r(n2＋1)＋n,\r(n＋12＋1)＋n＋1)<1，
又an>0，
∴an＋1n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
an
－7
－12
－15
－16
－15
－12
－7
0
9
…
名称
定义
判断方法
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项
an＋1>an
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项
an＋1常数列
各项都相等
an＋1＝an
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2