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2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（AB卷）含解析，共55页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 在一个没有透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 二次函数y＝2x2的图象可以看做抛物线y＝2( x-1）2+3怎样平移得到的（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
5. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个没有动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A. +1 B. C. D. -1
6. 二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b；③4a+b=0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是对称图形是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说确是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
9. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点A（-1，5）在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则该函数的解析式为（ ）
A. y= B. y= C. y=- D. y=5x
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A B. C. D.
12. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
二、填 空 题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）
13. 已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为________cm．
14. 小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为______
15. 如图,点P是反比例函数图象上任意一点, PA⊥x轴于A，连接PO,则S△PAO为___________.
16. 如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是_____．
三、解 答 题（本大题共10小题，满分102分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 解方程：
（1）（x﹣2）2-4=0
（2）x2-4x-5=0
18. 某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，没有写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
19. 一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列的概率：
（1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出小球标号的和等于4.
20. 如图，函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
（1）利用图中的条件，求反比例函数和函数的解析式；
（2）根据图象直接写出函数的值大于反比例函数的x的取值范围.
21. 如图，两个以点O为圆心的同心圆，
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.
图1 图2
22. 每个小方格都是边长为1个单位长度正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为，将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）求（2）中C到C1的路径以及OB扫过的面积．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
24. 已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有面积？
25. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
26. 已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），
（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.
（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．
（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故选B．
2. 在一个没有透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵共5个球中有3个红球，∴任取一个，是红球的概率是：，
故选B．
考点：概率公式．
3. 二次函数y＝2x2的图象可以看做抛物线y＝2( x-1）2+3怎样平移得到的（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【正确答案】A
【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是
将顶点向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到顶点
即将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到二次函数的图象．
故选A．
4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
【正确答案】C
【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式列方程可得=18．
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
5. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个没有动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A. +1 B. C. D. -1
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC=，
∴CD′=-1，
∴正方形重叠部分的面积是×1×1-×（-1）（-1）=-1．
故选D．
6. 二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b；③4a+b=0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0）且对称轴为直线x=2，
∴另一个交点坐标为（5，0），故①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故②错误；
③∵对称轴=-，
∴−=2，
∴4a+b=0，故③正确；
④当x＜2时，
y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，
y的值随x值的增大而减小，故④错误.
故选B.
7. 下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、没有是轴对称图形，也没有是对称图形；
B、没有是轴对称图形，没有是对称图形；
C、是轴对称图形，也是对称图形；
D、是轴对称图形，没有是对称图形．
故选C．
点睛：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
8. 下列说确的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【正确答案】B
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【详解】解：A、没有共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
9. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：，，．故选B．
考点：解一元二次方程-配方法．
10. 已知点A（-1，5）在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则该函数的解析式为（ ）
A. y= B. y= C. y=- D. y=5x
【正确答案】C
【详解】把已知点的坐标代入解析式可得，k=5．
故选C．
把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
12. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
【正确答案】B
【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题没有难求解.
【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
二、填 空 题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）
13. 已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为________cm．
【正确答案】2
【详解】试题解析：如图，
由弧长公式可知：
∴底面圆的周长为4π，
设底面圆的半径为CD=r，
∴4π=2πr
∴r=2.
故答案为2.
14. 小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为______
【正确答案】
【详解】试题解析：如图所示：
连接BE，
可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S△CEB=S△ABC=S正方形ABCD，
故小明投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为：．
故答案为.
15. 如图,点P是反比例函数图象上任意一点, PA⊥x轴于A，连接PO,则S△PAO为___________.
【正确答案】3
【详解】试题解析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，△APB的面积为矩形OAPB的一半，所以△APB的面积为|k|=3．
故答案为3.
点睛：反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
16. 如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是_____．
【正确答案】x1=-1，x2=3
【详解】二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+3=0的两个根，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），所以方程ax2+bx+3=0的根是x1=﹣1，x2=3．
三、解 答 题（本大题共10小题，满分102分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 解方程：
（1）（x﹣2）2-4=0
（2）x2-4x-5=0
【正确答案】（1）x1=4或x2=0 （2）x1=5或x2=-1
【详解】试题分析：（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可.
试题解析：
（1）（x﹣2）2-4=0
（x﹣2）2=4
x-2=±2
∴x1=4，x2=0
（2）x2-4x-5=0
（x-5）（x+1）=0
x-5=0或x+1=0
∴x1=5，x2=-1
18. 某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，没有写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）12π米2.
【详解】试题分析：（1）分别作出三角形任意两角的角平分线，交点即是圆心，再以到任意一边的距离为半径画圆即可得出答案；
（2）利用等边三角形的性质，任意边上的三线合一，即可得出∠OBD=30°，BD=6，再利用tan∠OBD=求出即可，再利用圆的面积公式求出．
试题解析：（1）用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD=，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2，
∴内切圆半径为2m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
19. 一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列的概率：
（1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和等于4.
【正确答案】（1）（2）
【详解】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各的概率．
试题解析：
（1）P（两次取得小球的标号相同）=；
（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=．
考点：概率的计算．
20. 如图，函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
（1）利用图中的条件，求反比例函数和函数的解析式；
（2）根据图象直接写出函数的值大于反比例函数的x的取值范围.
【正确答案】（1），y=2x-2；（2）x>2或-1
【详解】试题解析：（1）先设出批比例函数解析式为，再将B（-1，-4）代入求出k的值，再将A（2，m）代入反比例函数解析式得m的值，再将已知两点A、B的坐标代入函数y1=kx+b可求k、b的值，从而可确定两函数解析式；
（2）根据两函数图象的交点横坐标，图象的位置关系，确定函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．
解：（1）设反比例函数解析式为， 将B（-1，-4）代入得k=4，
∴反比例函数解析式为，
将A（2，m）代入得：m=2，
∴A（2，2）
设函数解析式为：y=ax+b，则有
解得：
∴函数的解析式为y=2x-2.
（2）根据图象得：当x>2或-1
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.
图1 图2
【正确答案】（1）AC=BD；（2）见解析；（3）100πcm2
【详解】试题分析：作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH=BH，CH=DH，然后利用等量减等量差相等可得到结论．
(2) 根据切线性质以及垂径定理即可证明；
(3）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．
试题解析：（1）AC=BD，理由是：
过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，
AH-CH=BH-DH，
即AC=BD
（2）连接OC，如图，
AB是小圆的切线，
OC⊥AB，则AC=BC
（3）如图，连接OB．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，AC=CB，
∴OB2-OC2=（20÷2）2=102，
∵S圆环=S大-S小=π•OB2-π•OC2=π•（OB2-OC2），
∴S圆环=100πcm2
22. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为，将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）求（2）中C到C1的路径以及OB扫过的面积．
【正确答案】（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）；（2）见解析；（3），
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出A、B、C的坐标即可；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）分别求出OC、OB的长，即可求出结果．
【详解】解：（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）
（2）如图所示，
（3）OC=；OB=
∴C到C1的路径l===，
OB扫过的面积．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）相切；（2）．
【详解】试题分析：（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．
试题解析：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=OC=2，BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=．
考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
24. 已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有面积？
【正确答案】（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm；（3）当P，Q出发2.5秒时，△PBQ有面积
【分析】（1）x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）根据题意列出△PBQ的面积与t的函数关系式即可解决．
【详解】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，
则列方程为：（5-t）×2t×=4，
解得t1=1，t2=4（舍），
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）设x秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm，
列方程为：（5-x）2+（2x）2=52，
解得x1=0（舍），x2=2，
答：2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm．
（3）设面积为Scm2，时间为t，
则S=（5-t）×2t×=-t2+5t，
当t=2.5时，面积.
当P，Q出发2.5秒时，△PBQ有面积
25. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
【正确答案】（1）2，24（2）an=a1qn-1（3）5， 40
【详解】试题分析：（1）由第二项除以项求出公比q的值，继而确定出第4项即可；（2）根据题中的定义归纳总结得到第n项；（3）由公比q与第二项的值求出项的值，利用（2）中的规律，确定出第4项的值即可．
试题解析：
（1）q==2，第4项是12×2=24；
（2）根据题目中所给的规律可得：an=a1•qn-1；
（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，
∴；
a4=a1•q3=5×23=40．
点睛：本题是数字规律变化题，解决这类问题的基本思路是弄清题中的规律，利用所得的规律解决问题．
26. 已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），
（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.
（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．
（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3
【正确答案】（1）y=－x2-2x+3；（2）3； （3）m=-时，面积.
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求函数关系式即可；
（2）先根据得KH=2，所以DK=2，S△DBC=DK×OC即可；
（3）先根据QK=QK-KP求出QK=-m2-3m，再由S△BCQ=QK×|OC|得出结果即可
试题解析：（1）设二次函数解析式为y=a（x+1）2+4
将B（0，3）代入，得a=-1,
∴二次函数解析式为y=－x2-2x+3；
（2）易得DH∥OB,
∴KH:OB=CH:CO
∵C（-3，0），B（0，3）且直线DH是抛物线的对称轴，
∴CH=2，CO=3，OB=3
∴CH=2
∵D（-1，4）
∴DH=4，
∴DK=DH-KH=4-2=2；
∴S△DBC=DK×OC=×2×3=3
（3）QK=QK-KP=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m.
S△BCQ=QK×|OC|=（-m2-3m）×3=--
∴当m==-时，面积.
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、填空（本大题共12小题，每小题2分，共24分.）
1. 已知，则=____；
2. 一组数据﹣1、1、3、5的极差是____．
3. 已知方程有一个根是2，则m＝ ．
4. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比即S△ABC：S△DEF=____．
5. 在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
6. 圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是_________．
7. 在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡片上的图形是对称图形的概率是____．
8. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则求方程的解为_____．
9. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，BD长为____．
10. 如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于_______°．
11. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①；②；③；④；⑤ ，(m为一切实数）其中正确的是______．
12. 已知二次函数 ，当-1
13. 一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ）
A. 3.5，5 B. 4.5，4 C. 4，4 D. 4，5
14. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为( )
A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km
15. 如图，D、E分别在△ABC的边AB和AE上，下列没有能说明△ADE和△ACB相似的是（ ）
A. B. C. ∠AED=∠B D. ∠ADE=∠C=180°
16. 若二次函数的图象A（－1，1）、B（2，2）、C（5，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是( )
A. 1>2>3 B. 1>3>2 C. 2>1>3 D. 3>1>2
17. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
三、解 答 题 （本大题共10小题，共81分）
18. 解下列方程
（1） （2）
19. 已知Rt△ABC的三边长为，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根.
（1）求b值
（2）若，求c的值.
20. A、B、C三名大学生竞选系学生会，他们的笔试成绩和口试成绩
（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
80
85
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是 度．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的成绩，并根据成绩判断谁能当选．
21. 在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色没有同的概率（用树形图或列表法求解）．
22. 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
（1）ΔABE与ΔDFA相似吗？请说明理由；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长.
23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（没有写作法，保留作图痕迹）.
（2） 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（3）若 AB=6，BD=求⊙O的半径．
24. 市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元．经市场发现：日量（千克）是单价（元）的函数，且当=40时，=120；=50时，=100．在过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求该公司该原料日获利（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（3）当单价为多少元时，该公司日获利．获利是多少元．
25. 已知如图,抛物线与轴交于点A和点C（2,0），与 轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求和的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB.
26. （1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
27. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线A、B两点，与轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）D直线AB下方抛物线上一动点；
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果没有存在，说明理由．
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、填空（本大题共12小题，每小题2分，共24分.）
1. 已知，则=____；
【正确答案】
【分析】可设代入要求的式子即可得解.
【详解】∵，
∴可设，
∴.
故答案为.
2. 一组数据﹣1、1、3、5的极差是____．
【正确答案】6
【详解】∵在数据组-1、1、3、5中，的数是5，最小的数是-1，
∴该组数据的“极差”为：5-（-1）=6.
故答案6.
3. 已知方程有一个根是2，则m＝ ．
【正确答案】8
【详解】∵方程有一个根是2，
∴，解得m=8.
故答案为8.
4. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比即S△ABC：S△DEF=____．
【正确答案】4：9．
【详解】试题分析：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：9．故答案为4：9．
考点：相似三角形的性质．
5. 在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
【正确答案】5
【分析】根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．
【详解】解：如图所示：
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的半径是5．
故5．
此题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
6. 圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是_________．
【正确答案】8π.
【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=LR即可求出圆锥的侧面积．
【详解】圆锥的底面圆周长为2π×2=4π，则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．
故答案为8π．
考点：圆锥的计算．
7. 在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡片上的图形是对称图形的概率是____．
【正确答案】
【详解】∵在等边三角形、平行四边形、正方形和圆中，属于对称图形的有：平行四边形、正方形和圆三种，
∴P（任取一张卡片，上面的图形是对称图形）=.
故答案为.
8. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则求方程的解为_____．
【正确答案】x1=x2=5
【详解】∵ ，
∴方程 可化为：
，即，解得.
故答案为.
9. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，BD长为____．
【正确答案】3
【详解】∵在△ABC和△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
又∵AD=1，AC=2，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3.
故3.
10. 如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于_______°．
【正确答案】72°
【详解】如图，连接OA、OE、OD，
∵多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOE=∠DOE=，
∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=144°，
∴∠ACD=72°.
故72°.
11. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①；②；③；④；⑤ ，(m为一切实数）其中正确的是______．
【正确答案】②④⑤.
【详解】（1）由图可知：抛物线开口向上，抛物线和x轴有两个没有同的交点，抛物线和y轴的交点在y轴的正半轴，对称轴为直线x=1，
∴，，，
∴，
∴，
∴①错误，②正确，③错误；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线和x轴的左交点在0到1之间，
∴抛物线和x轴的右交点在1到2之间，
又∵抛物线开口向上，
∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，故④正确；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y最小=a+b+c，
∵当x=m时，y=am2+bm+c，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的结论是：②④⑤.
12. 已知二次函数 ，当-1
【分析】利用顶点坐标公式求出顶点纵坐标，再利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
【详解】∵在二次函数中，，
∴，，
∴该抛物线顶点的纵坐标为：，
∴当时，，当时，，
当时，y=，
∴当时，y的取值范围为.
故答案为.
本题解题中当求出抛物线顶点的纵坐标为：时，需注意“y”是“m”的二次函数，当时，y=.
二、选一选（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13. 一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ）
A. 3.5，5 B. 4.5，4 C. 4，4 D. 4，5
【正确答案】D
【详解】∵把数据组2、5、4、3、5、4、5中的数据按从小到大的顺序排列为：2、3、4、4、5、5、5，
∴该数据组的中位数是4，
∵原数据组中出现次数至多的数据是5，
∴该数据组的众数是5.
故选D.
14. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为( )
A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km
【正确答案】C
【详解】设该隧道实际长度为xcm，则由题意可得：
，解得：（cm）
266000cm=2.66km．
故选C．
15. 如图，D、E分别在△ABC的边AB和AE上，下列没有能说明△ADE和△ACB相似的是（ ）
A. B. C. ∠AED=∠B D. ∠ADE=∠C=180°
【正确答案】A
【详解】∵在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠EAD，
∴（1）当添加条件“”没有能证明△ADE和△ACB相似；
（2）当添加条件“”能证明△ADE和△ACB相似；
（3）当添加条件“∠AED=∠B”能证明△ADE和△ACB相似；
（4）当添加条件“∠BDE＋∠C=180°”时，“四边形内角和为360°”可得∠B+∠DEC=180°，再“∠AED+∠DEC=180°”即可得到∠AEC=∠B，从而可证得△ADE和△ACB相似；
故选A.
16. 若二次函数的图象A（－1，1）、B（2，2）、C（5，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是( )
A. 1>2>3 B. 1>3>2 C. 2>1>3 D. 3>1>2
【正确答案】B
【分析】把A、B、C三点的坐标代入求出y1，y2，y3的值比较大小即可.
【详解】∵二次函数的图象A（－1，1）、B（2，2）、C（5，3）三点，
∴y1=1+6+4=11；y2=4-12+4=-4；y3=25-30+4=-1，
∴y1>y3>y2，
故选B.
本题考查二次函数的图像和性质，根据点的横坐标通过函数解析式求出点的纵坐标是解题关键.
17. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】D
【分析】首先利用圆周角是直角所对的弦是直径和判断出点H的运动轨迹，然后确定当取最小值是H的位置，利用勾股定理解直角三角形即可.
【详解】连接BD，
∵是上的一个动点，
∴点H也是一个动点，
∵DH=90°
∴H的运动轨迹是以AD为直径的圆周上，
如图所示，设AD中点为M，点M即为以AD为直径的圆的圆心，且直径为10.连接BD交于点H此时的BH最小.
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴BD=
=12
在Rt△BMD中
BM=
=
=13
∴BH=BM－MH
=13－5
=8
故选D.
此题考查的是利用圆周角是直角所对的弦是直径，确定动点的运动轨迹，然后利用勾股定理求线段的长度.
三、解 答 题 （本大题共10小题，共81分）
18. 解下列方程
（1） （2）
【正确答案】(1) x1=5，x2=-1;(2) x1=1，x2=-2.
【详解】试题分析：
（1）根据本题特点，用“因式分解法”解答即可；
（2）根据本题特点，用“因式分解法”解得即可；
试题解析：
（1）原方程可化为为：，
∴或，
解得：，.
（2）原方程可化为：，
∴或，
解得：，.
19. 已知Rt△ABC三边长为，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根.
（1）求b的值
（2）若，求c的值.
【正确答案】(1) b=4；(2) c=5或
【详解】试题分析：
（1）由关于x一元二次方程有两个相等的实数根可知“根的判别式△=0”，由此可列出关于“b”的方程，解方程即可求得b的值；
（2）由a=3（1）中求得的“b”的值分“c”是直角边和斜边两种情况由勾股定理解出c的值即可.
试题解析：
(1) ∵方程有两个相等的实数根,
∴（b-2）2-4×（b-3）=0 ，解得：b=4 ；
(2) ∵△ABC是直角三角形，a=3，b=4，
∴当c为直角边时，c=,
当c为斜边时，c=，
∴ c=5或.
20. A、B、C三名大学生竞选系学生会，他们的笔试成绩和口试成绩
（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
80
85
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是 度．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的成绩，并根据成绩判断谁能当选．
【正确答案】(1)表格数据90，图见解析；(2)126° ；(3) B当选，理由见解析.
【详解】试题分析：
（1）由条形统计图可知，A的口试成绩为90分，填入表中即可；
（2）由图2中A所占的百分比为35%可知，在图2中A所占的圆心角为：360°×35%；
（3）按：成绩=笔试成绩×40%+口试成绩×40%+得票成绩×20%分别计算出三人的成绩，再看谁的成绩，即可得到本题答案.
试题解析：
（1）由条形统计图可知：A的口试成绩为90分，填入表格如下：
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
90
80
85
（2）由图2可知，A所占的百分比为35%，
∴在图2中，A所占的圆心角为：360°×35%=126°；
（3）由题意可知：
A的得分为：85×40%+90×40%+200×35%×20%=84（分），
B的得分为：95×40%+80×40%+200×40%×20%=86（分），
C的得分为：90×40%+85×40%+200×25%×20%=80（分），
∵86>84>80，
∴根据成绩可以判定B当选.
21. 在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色没有同的概率（用树形图或列表法求解）．
【正确答案】（1）1个．（2）
【分析】（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解．
（2）画出树状图或列表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）设红球有x个，
根据题意得，，
解得x=1．
∴暗箱中红球有1个．
（2）根据题意画出树状图如下：
∵一共有9种情况，两次摸到的球颜色没有同的有6种情况，
∴P（两次摸到的球颜色没有同）．
22. 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
（1）ΔABE与ΔDFA相似吗？请说明理由；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长.
【正确答案】(1)详见解析；（2）3.6.
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形DF⊥AE于点F易得：∠B=∠DFA=90°，∠AEB=∠DAF，从而可得△ABE∽△DFA；
（2）在△ABE中，由AB=3，BE=4，∠B=90°可得AE=5，由（1）中所得△ABE∽△DFA可得，AD=6即可求得DF的长.
【详解】(1) ΔABE与ΔDFA相似，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC ，∠B=90°，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE ，
∴∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA ；
(2)在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，BE=4，
∴AE=5，
∵△ABE∽△DFA，
∴ ，
∴ ，
∴DF=3.6.
23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（没有写作法，保留作图痕迹）.
（2） 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（3）若 AB=6，BD=求⊙O的半径．
【正确答案】详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；
（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值．
试题解析：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．
判断结果：BC是⊙O的切线．
如图2，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
即：OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
∵BD=，
在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，
即r2+（）2=（6-r）2，
解得r=2．
故⊙O的半径是2．
考点：1.作图—复杂作图；2.切线的判定．
24. 市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元．经市场发现：日量（千克）是单价（元）的函数，且当=40时，=120；=50时，=100．在过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求该公司该原料日获利（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（3）当单价为多少元时，该公司日获利．获利是多少元．
【正确答案】(1) y=-2x+200（30≤x≤60）；(2) W=-2x2+260x-6500 ；(3) 1900 ．
【分析】（1）由题意可设，代入题中的已知数量关系，列出关于k、b的方程组，解方程组求得k、b的值即可得到所求解析式；由“单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元”即可得到x的取值范围；
（2）由日获利润=每千克所获利润×日量-500，（1）中所得函数关系式即可求得w与x之间的函数关系式；
（3）将（2）中所得函数关系式配方并x的取值范围即可求得所求答案．
【详解】解：（1）由题意设，则由题中所给数量关系可得：
，解得： ，
∴与的函数关系式为：；
（2）由题意可得：
，
整理得：；
（3）∵，且，
∴当时，w=（元）．
解答本题时需注意两点：（1）在解第2小题时，没有要忽略了“每天还要支付其他费用500元”；（2）解第3小题时，需注意自变量x的取值范围是，所以w的值并没有是在二次函数图象的顶点处取得的，而是在x=60时取得的．
25. 已知如图,抛物线与轴交于点A和点C（2,0），与 轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求和的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB.
【正确答案】（1）A（-6,0）、B（0,2）；（2）,；（3）E(-2，8) .
【详解】试题分析：
（1）由题意易得点D的坐标为（0，6），AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的，即可得到OA=6，OB=OC=2，由此即可得到点A和点B的坐标；
（2）将点A和点C的坐标代入列出关于的二元方程组，解方程组即可求得的值；
（3）由（2）中所得的值可得二次函数的解析式，把解析式配方即可求得点E的坐标，点A和点B的坐标即可求得AE2、AB2、BE2的值，这样由勾股定理的逆定理即可得到∠ABE=90°，从而可得AB⊥BE.
试题解析：
（1）∵在中，当时，，
∴点D的坐标为（0，6），
∵△AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的，
∴OA=OD=6，OB=OC=2，
∴点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，2）；
（2）∵点A（-6，0）和点C（2，0）在的图象上，
∴ ，解得： ；
（3）如图，连接AE，
由（2）可知，
∴，
∴点E的坐标为（-2，8），
∵点A（-6，0），点B（0，2），
∴AE2=，AB2=，BE2=，
∴AE2=AB2+BE2，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥EB.
26. （1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
【正确答案】（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．
【分析】（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”可得∠BDC=∠BAC=23°；
（2）如图2，由已知易得A、B、C、D在以BD的中点O为圆心，OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；
（3）如图3，由已知易得点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，这样即可得到∠EFC=∠DFC.
【详解】（1）如图1，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC=∠BAC=23°；
(2)证明：取BD中点O，连接AO、CO，
∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，
∴AO=BD=BO=DO，
同理：CO=BD，
∴AO=DO=CO=BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OB为半径的同一个圆上，
∴∠BAC=∠BDC=28°
(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，
∴∠EFC=∠DAC，
同理可得：∠DFC=∠CBE，
∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EFC=∠DFC.
27. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线A、B两点，与轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．
【分析】（1）在中由求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值即可求得点A、B的坐标；
（2）把（1）中所求点A、B的坐标代入中列出方程组，解方程组即可求得b、c的值，从而可得二次函数的解析式；
（3）①如图，过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，由此易得△DFE∽OBE，这样设点D的坐标为，点F的坐标为,相似三角形的性质和DE：OE=3:4，即可列出关于m的方程，解方程求得m的值即可得到点D的坐标；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB，则BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D的坐标．
【详解】解：（1）在中，由可得：，解得：；
由可得：，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）；
（2）把点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（3）①过点D作x轴的垂线交AB于点F，
设点D，F,
连接DO交AB于点E，△DFE∽OBE，
因为DE：OE=3：4，
所以FD：BO=3：4，
即：FD=BO= ,
所以,
解之得： m1=-1，m2=-3 ，
∴D的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，
∴∠BAH=2∠BAC，
若∠DBA=2∠BAC，则∠DBA=∠BAH，
∴AH//DB，
由点A的坐标（-4，0）和点H的坐标（0，2）求得直线AH的解析式为：，
∴直线DB的解析式是：,
将：联立可得方程组：，
解得： ，
∴点D的坐标（-2，-3）．
本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，从而构造出△DFE∽OBE，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D的坐标；解第3小题的关键是在x轴的上方作OH=OB，连接AH，从而构造出∠BAH=2∠BAC，这样由∠DBA=∠BAH可得AH∥BD，求出AH的解析式即可得到BD的解析式，从而将问题转化成求BD和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 在一个没有透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 二次函数y＝2x2的图象可以看做抛物线y＝2( x-1）2+3怎样平移得到的（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
5. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个没有动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A. +1 B. C. D. -1
6. 二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b；③4a+b=0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是对称图形是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说确是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
9. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点A（-1，5）在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则该函数的解析式为（ ）
A. y= B. y= C. y=- D. y=5x
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A B. C. D.
12. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
二、填 空 题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）
13. 已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为________cm．
14. 小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为______
15. 如图,点P是反比例函数图象上任意一点, PA⊥x轴于A，连接PO,则S△PAO为___________.
16. 如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是_____．
三、解 答 题（本大题共10小题，满分102分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 解方程：
（1）（x﹣2）2-4=0
（2）x2-4x-5=0
18. 某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，没有写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
19. 一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列的概率：
（1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出小球标号的和等于4.
20. 如图，函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
（1）利用图中的条件，求反比例函数和函数的解析式；
（2）根据图象直接写出函数的值大于反比例函数的x的取值范围.
21. 如图，两个以点O为圆心的同心圆，
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.
图1 图2
22. 每个小方格都是边长为1个单位长度正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为，将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）求（2）中C到C1的路径以及OB扫过的面积．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
24. 已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有面积？
25. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
26. 已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），
（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.
（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．
（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：（本大题12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：∵AD=1，DB=2，
∴AB=AD+BD=1+2=3，
∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB=1：3．
故选B．
2. 在一个没有透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵共5个球中有3个红球，∴任取一个，是红球的概率是：，
故选B．
考点：概率公式．
3. 二次函数y＝2x2的图象可以看做抛物线y＝2( x-1）2+3怎样平移得到的（ ）
A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【正确答案】A
【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是
将顶点向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到顶点
即将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到二次函数的图象．
故选A．
4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
【正确答案】C
【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式列方程可得=18．
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
5. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个没有动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A. +1 B. C. D. -1
【正确答案】D
【详解】试题解析：∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∴CD′=D′E，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC=，
∴CD′=-1，
∴正方形重叠部分的面积是×1×1-×（-1）（-1）=-1．
故选D．
6. 二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b；③4a+b=0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【详解】试题解析：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0）且对称轴为直线x=2，
∴另一个交点坐标为（5，0），故①正确；
②∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故②错误；
③∵对称轴=-，
∴−=2，
∴4a+b=0，故③正确；
④当x＜2时，
y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，
y的值随x值的增大而减小，故④错误.
故选B.
7. 下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、没有是轴对称图形，也没有是对称图形；
B、没有是轴对称图形，没有是对称图形；
C、是轴对称图形，也是对称图形；
D、是轴对称图形，没有是对称图形．
故选C．
点睛：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
8. 下列说确的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【正确答案】B
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【详解】解：A、没有共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
9. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：，，．故选B．
考点：解一元二次方程-配方法．
10. 已知点A（-1，5）在反比例函数y=(k≠0)的图象上，则该函数的解析式为（ ）
A. y= B. y= C. y=- D. y=5x
【正确答案】C
【详解】把已知点的坐标代入解析式可得，k=5．
故选C．
把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，
因此∠ADC=60°．
故选C
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
12. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
【正确答案】B
【分析】由镜面反射的知识可得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下来，由相似三角形的三边对应成比例可得，至此，本题没有难求解.
【详解】解：由镜面反射原理知∠APB=∠CPD.
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP.
∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴AB∶BP=CD∶DP.
∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，
∴CD= =8（米）.
故该古城墙的高度是8米.
故选B.
本题是一道有关求解三角形的题目，回顾一下相似三角形的判定与性质；
二、填 空 题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）
13. 已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为________cm．
【正确答案】2
【详解】试题解析：如图，
由弧长公式可知：
∴底面圆的周长为4π，
设底面圆的半径为CD=r，
∴4π=2πr
∴r=2.
故答案为2.
14. 小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为______
【正确答案】
【详解】试题解析：如图所示：
连接BE，
可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S△CEB=S△ABC=S正方形ABCD，
故小明投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为：．
故答案为.
15. 如图,点P是反比例函数图象上任意一点, PA⊥x轴于A，连接PO,则S△PAO为___________.
【正确答案】3
【详解】试题解析：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，△APB的面积为矩形OAPB的一半，所以△APB的面积为|k|=3．
故答案为3.
点睛：反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
16. 如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx+3＝0的根是_____．
【正确答案】x1=-1，x2=3
【详解】二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+3=0的两个根，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），所以方程ax2+bx+3=0的根是x1=﹣1，x2=3．
三、解 答 题（本大题共10小题，满分102分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 解方程：
（1）（x﹣2）2-4=0
（2）x2-4x-5=0
【正确答案】（1）x1=4或x2=0 （2）x1=5或x2=-1
【详解】试题分析：（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可.
试题解析：
（1）（x﹣2）2-4=0
（x﹣2）2=4
x-2=±2
∴x1=4，x2=0
（2）x2-4x-5=0
（x-5）（x+1）=0
x-5=0或x+1=0
∴x1=5，x2=-1
18. 某新建小区要在一块等边三角形内修建一个圆形花坛.
（1）要使花坛面积，请你用尺规画出圆形花坛示意图；（保留作图痕迹，没有写做法）
（2）若这个等边三角形的周长为36米，请计算出花坛的面积.
【正确答案】（1）见解析；（2）12π米2.
【详解】试题分析：（1）分别作出三角形任意两角的角平分线，交点即是圆心，再以到任意一边的距离为半径画圆即可得出答案；
（2）利用等边三角形的性质，任意边上的三线合一，即可得出∠OBD=30°，BD=6，再利用tan∠OBD=求出即可，再利用圆的面积公式求出．
试题解析：（1）用尺规作三角形的内切圆如图，
（2）∵等边三角形的周长为36米，
∴等边三角形的边长为12米，
tan∠OBD=，
∵∠OBD=30°，BD=6，
∴
∴DO=2，
∴内切圆半径为2m2，则花坛面积为：πr2=12πm2．
19. 一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列的概率：
（1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和等于4.
【正确答案】（1）（2）
【详解】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各的概率．
试题解析：
（1）P（两次取得小球的标号相同）=；
（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=．
考点：概率的计算．
20. 如图，函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
（1）利用图中的条件，求反比例函数和函数的解析式；
（2）根据图象直接写出函数的值大于反比例函数的x的取值范围.
【正确答案】（1），y=2x-2；（2）x>2或-1
【详解】试题解析：（1）先设出批比例函数解析式为，再将B（-1，-4）代入求出k的值，再将A（2，m）代入反比例函数解析式得m的值，再将已知两点A、B的坐标代入函数y1=kx+b可求k、b的值，从而可确定两函数解析式；
（2）根据两函数图象的交点横坐标，图象的位置关系，确定函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围．
解：（1）设反比例函数解析式为， 将B（-1，-4）代入得k=4，
∴反比例函数解析式为，
将A（2，m）代入得：m=2，
∴A（2，2）
设函数解析式为：y=ax+b，则有
解得：
∴函数的解析式为y=2x-2.
（2）根据图象得：当x>2或-1
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.
图1 图2
【正确答案】（1）AC=BD；（2）见解析；（3）100πcm2
【详解】试题分析：作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH=BH，CH=DH，然后利用等量减等量差相等可得到结论．
(2) 根据切线性质以及垂径定理即可证明；
(3）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．
试题解析：（1）AC=BD，理由是：
过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，
AH-CH=BH-DH，
即AC=BD
（2）连接OC，如图，
AB是小圆的切线，
OC⊥AB，则AC=BC
（3）如图，连接OB．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，AC=CB，
∴OB2-OC2=（20÷2）2=102，
∵S圆环=S大-S小=π•OB2-π•OC2=π•（OB2-OC2），
∴S圆环=100πcm2
22. 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
（1）写出A、B、C的坐标．
（2）以原点O为，将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）求（2）中C到C1的路径以及OB扫过的面积．
【正确答案】（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）；（2）见解析；（3），
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出A、B、C的坐标即可；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）分别求出OC、OB的长，即可求出结果．
【详解】解：（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）
（2）如图所示，
（3）OC=；OB=
∴C到C1的路径l===，
OB扫过的面积．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
【正确答案】（1）相切；（2）．
【详解】试题分析：（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．
试题解析：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=OC=2，BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=．
考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
24. 已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有面积？
【正确答案】（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm；（3）当P，Q出发2.5秒时，△PBQ有面积
【分析】（1）x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）根据题意列出△PBQ的面积与t的函数关系式即可解决．
【详解】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，
则列方程为：（5-t）×2t×=4，
解得t1=1，t2=4（舍），
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）设x秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm，
列方程为：（5-x）2+（2x）2=52，
解得x1=0（舍），x2=2，
答：2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm．
（3）设面积为Scm2，时间为t，
则S=（5-t）×2t×=-t2+5t，
当t=2.5时，面积.
当P，Q出发2.5秒时，△PBQ有面积
25. 阅读理解题：
按照一定顺序排列着一列数称为数列，排在位的数称为第1项，记为a1，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a3，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
，……．
∴a2=a1q，a3=a2q=（a1q）q=a1q2，a4=a3q=（a1q2）q= a1q3,……
由此可得：an= （用a1和q的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
【正确答案】（1）2，24（2）an=a1qn-1（3）5， 40
【详解】试题分析：（1）由第二项除以项求出公比q的值，继而确定出第4项即可；（2）根据题中的定义归纳总结得到第n项；（3）由公比q与第二项的值求出项的值，利用（2）中的规律，确定出第4项的值即可．
试题解析：
（1）q==2，第4项是12×2=24；
（2）根据题目中所给的规律可得：an=a1•qn-1；
（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，
∴；
a4=a1•q3=5×23=40．
点睛：本题是数字规律变化题，解决这类问题的基本思路是弄清题中的规律，利用所得的规律解决问题．
26. 已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（-3，0），
（1）若已知顶点坐标D为（-1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式.
（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC的面积．
（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）(－3
【正确答案】（1）y=－x2-2x+3；（2）3； （3）m=-时，面积.
【详解】试题分析：（1）用待定系数法求函数关系式即可；
（2）先根据得KH=2，所以DK=2，S△DBC=DK×OC即可；
（3）先根据QK=QK-KP求出QK=-m2-3m，再由S△BCQ=QK×|OC|得出结果即可
试题解析：（1）设二次函数解析式为y=a（x+1）2+4
将B（0，3）代入，得a=-1,
∴二次函数解析式为y=－x2-2x+3；
（2）易得DH∥OB,
∴KH:OB=CH:CO
∵C（-3，0），B（0，3）且直线DH是抛物线的对称轴，
∴CH=2，CO=3，OB=3
∴CH=2
∵D（-1，4）
∴DH=4，
∴DK=DH-KH=4-2=2；
∴S△DBC=DK×OC=×2×3=3
（3）QK=QK-KP=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m.
S△BCQ=QK×|OC|=（-m2-3m）×3=--
∴当m==-时，面积.
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、填空（本大题共12小题，每小题2分，共24分.）
1. 已知，则=____；
2. 一组数据﹣1、1、3、5的极差是____．
3. 已知方程有一个根是2，则m＝ ．
4. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比即S△ABC：S△DEF=____．
5. 在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
6. 圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是_________．
7. 在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡片上的图形是对称图形的概率是____．
8. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则求方程的解为_____．
9. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，BD长为____．
10. 如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于_______°．
11. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①；②；③；④；⑤ ，(m为一切实数）其中正确的是______．
12. 已知二次函数 ，当-1
13. 一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ）
A. 3.5，5 B. 4.5，4 C. 4，4 D. 4，5
14. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为( )
A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km
15. 如图，D、E分别在△ABC的边AB和AE上，下列没有能说明△ADE和△ACB相似的是（ ）
A. B. C. ∠AED=∠B D. ∠ADE=∠C=180°
16. 若二次函数的图象A（－1，1）、B（2，2）、C（5，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是( )
A. 1>2>3 B. 1>3>2 C. 2>1>3 D. 3>1>2
17. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
三、解 答 题 （本大题共10小题，共81分）
18. 解下列方程
（1） （2）
19. 已知Rt△ABC的三边长为，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根.
（1）求b值
（2）若，求c的值.
20. A、B、C三名大学生竞选系学生会，他们的笔试成绩和口试成绩
（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
80
85
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是 度．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的成绩，并根据成绩判断谁能当选．
21. 在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色没有同的概率（用树形图或列表法求解）．
22. 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
（1）ΔABE与ΔDFA相似吗？请说明理由；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长.
23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（没有写作法，保留作图痕迹）.
（2） 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（3）若 AB=6，BD=求⊙O的半径．
24. 市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元．经市场发现：日量（千克）是单价（元）的函数，且当=40时，=120；=50时，=100．在过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求该公司该原料日获利（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（3）当单价为多少元时，该公司日获利．获利是多少元．
25. 已知如图,抛物线与轴交于点A和点C（2,0），与 轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求和的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB.
26. （1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
27. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线A、B两点，与轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）D直线AB下方抛物线上一动点；
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果没有存在，说明理由．
2022-2023学年辽宁省清原县九年级上册数学期末专项突破模拟题（B卷）
一、填空（本大题共12小题，每小题2分，共24分.）
1. 已知，则=____；
【正确答案】
【分析】可设代入要求的式子即可得解.
【详解】∵，
∴可设，
∴.
故答案为.
2. 一组数据﹣1、1、3、5的极差是____．
【正确答案】6
【详解】∵在数据组-1、1、3、5中，的数是5，最小的数是-1，
∴该组数据的“极差”为：5-（-1）=6.
故答案6.
3. 已知方程有一个根是2，则m＝ ．
【正确答案】8
【详解】∵方程有一个根是2，
∴，解得m=8.
故答案为8.
4. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比即S△ABC：S△DEF=____．
【正确答案】4：9．
【详解】试题分析：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：9．故答案为4：9．
考点：相似三角形的性质．
5. 在中，弦的长为8cm，圆心到的距离为3cm，则的半径为______cm．
【正确答案】5
【分析】根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．
【详解】解：如图所示：
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝4．
在Rt△AOE中，AE＝4，OE＝3，
根据勾股定理得到OA＝＝5，
则⊙O的半径是5．
故5．
此题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．
6. 圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是_________．
【正确答案】8π.
【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=LR即可求出圆锥的侧面积．
【详解】圆锥的底面圆周长为2π×2=4π，则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．
故答案为8π．
考点：圆锥的计算．
7. 在4张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、正方形和圆，从中随机摸出1张，这张卡片上的图形是对称图形的概率是____．
【正确答案】
【详解】∵在等边三角形、平行四边形、正方形和圆中，属于对称图形的有：平行四边形、正方形和圆三种，
∴P（任取一张卡片，上面的图形是对称图形）=.
故答案为.
8. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则求方程的解为_____．
【正确答案】x1=x2=5
【详解】∵ ，
∴方程 可化为：
，即，解得.
故答案为.
9. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，BD长为____．
【正确答案】3
【详解】∵在△ABC和△ACD中，∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
又∵AD=1，AC=2，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3.
故3.
10. 如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于_______°．
【正确答案】72°
【详解】如图，连接OA、OE、OD，
∵多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOE=∠DOE=，
∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=144°，
∴∠ACD=72°.
故72°.
11. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①；②；③；④；⑤ ，(m为一切实数）其中正确的是______．
【正确答案】②④⑤.
【详解】（1）由图可知：抛物线开口向上，抛物线和x轴有两个没有同的交点，抛物线和y轴的交点在y轴的正半轴，对称轴为直线x=1，
∴，，，
∴，
∴，
∴①错误，②正确，③错误；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线和x轴的左交点在0到1之间，
∴抛物线和x轴的右交点在1到2之间，
又∵抛物线开口向上，
∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，故④正确；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y最小=a+b+c，
∵当x=m时，y=am2+bm+c，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的结论是：②④⑤.
12. 已知二次函数 ，当-1
【分析】利用顶点坐标公式求出顶点纵坐标，再利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
【详解】∵在二次函数中，，
∴，，
∴该抛物线顶点的纵坐标为：，
∴当时，，当时，，
当时，y=，
∴当时，y的取值范围为.
故答案为.
本题解题中当求出抛物线顶点的纵坐标为：时，需注意“y”是“m”的二次函数，当时，y=.
二、选一选（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13. 一组数据2、5、4、3、5、4、5的中位数和众数分别是（ ）
A. 3.5，5 B. 4.5，4 C. 4，4 D. 4，5
【正确答案】D
【详解】∵把数据组2、5、4、3、5、4、5中的数据按从小到大的顺序排列为：2、3、4、4、5、5、5，
∴该数据组的中位数是4，
∵原数据组中出现次数至多的数据是5，
∴该数据组的众数是5.
故选D.
14. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为( )
A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km
【正确答案】C
【详解】设该隧道实际长度为xcm，则由题意可得：
，解得：（cm）
266000cm=2.66km．
故选C．
15. 如图，D、E分别在△ABC的边AB和AE上，下列没有能说明△ADE和△ACB相似的是（ ）
A. B. C. ∠AED=∠B D. ∠ADE=∠C=180°
【正确答案】A
【详解】∵在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠EAD，
∴（1）当添加条件“”没有能证明△ADE和△ACB相似；
（2）当添加条件“”能证明△ADE和△ACB相似；
（3）当添加条件“∠AED=∠B”能证明△ADE和△ACB相似；
（4）当添加条件“∠BDE＋∠C=180°”时，“四边形内角和为360°”可得∠B+∠DEC=180°，再“∠AED+∠DEC=180°”即可得到∠AEC=∠B，从而可证得△ADE和△ACB相似；
故选A.
16. 若二次函数的图象A（－1，1）、B（2，2）、C（5，3）三点，则关于1、2、3大小关系正确的是( )
A. 1>2>3 B. 1>3>2 C. 2>1>3 D. 3>1>2
【正确答案】B
【分析】把A、B、C三点的坐标代入求出y1，y2，y3的值比较大小即可.
【详解】∵二次函数的图象A（－1，1）、B（2，2）、C（5，3）三点，
∴y1=1+6+4=11；y2=4-12+4=-4；y3=25-30+4=-1，
∴y1>y3>y2，
故选B.
本题考查二次函数的图像和性质，根据点的横坐标通过函数解析式求出点的纵坐标是解题关键.
17. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】D
【分析】首先利用圆周角是直角所对的弦是直径和判断出点H的运动轨迹，然后确定当取最小值是H的位置，利用勾股定理解直角三角形即可.
【详解】连接BD，
∵是上的一个动点，
∴点H也是一个动点，
∵DH=90°
∴H的运动轨迹是以AD为直径的圆周上，
如图所示，设AD中点为M，点M即为以AD为直径的圆的圆心，且直径为10.连接BD交于点H此时的BH最小.
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴BD=
=12
在Rt△BMD中
BM=
=
=13
∴BH=BM－MH
=13－5
=8
故选D.
此题考查的是利用圆周角是直角所对的弦是直径，确定动点的运动轨迹，然后利用勾股定理求线段的长度.
三、解 答 题 （本大题共10小题，共81分）
18. 解下列方程
（1） （2）
【正确答案】(1) x1=5，x2=-1;(2) x1=1，x2=-2.
【详解】试题分析：
（1）根据本题特点，用“因式分解法”解答即可；
（2）根据本题特点，用“因式分解法”解得即可；
试题解析：
（1）原方程可化为为：，
∴或，
解得：，.
（2）原方程可化为：，
∴或，
解得：，.
19. 已知Rt△ABC三边长为，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根.
（1）求b的值
（2）若，求c的值.
【正确答案】(1) b=4；(2) c=5或
【详解】试题分析：
（1）由关于x一元二次方程有两个相等的实数根可知“根的判别式△=0”，由此可列出关于“b”的方程，解方程即可求得b的值；
（2）由a=3（1）中求得的“b”的值分“c”是直角边和斜边两种情况由勾股定理解出c的值即可.
试题解析：
(1) ∵方程有两个相等的实数根,
∴（b-2）2-4×（b-3）=0 ，解得：b=4 ；
(2) ∵△ABC是直角三角形，a=3，b=4，
∴当c为直角边时，c=,
当c为斜边时，c=，
∴ c=5或.
20. A、B、C三名大学生竞选系学生会，他们的笔试成绩和口试成绩
（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
80
85
（1）请将表和图1中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的一个程序是由本系的200名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能一个），则A在扇形统计图中所占的圆心角是 度．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：4：2的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的成绩，并根据成绩判断谁能当选．
【正确答案】(1)表格数据90，图见解析；(2)126° ；(3) B当选，理由见解析.
【详解】试题分析：
（1）由条形统计图可知，A的口试成绩为90分，填入表中即可；
（2）由图2中A所占的百分比为35%可知，在图2中A所占的圆心角为：360°×35%；
（3）按：成绩=笔试成绩×40%+口试成绩×40%+得票成绩×20%分别计算出三人的成绩，再看谁的成绩，即可得到本题答案.
试题解析：
（1）由条形统计图可知：A的口试成绩为90分，填入表格如下：
竞选人
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
90
80
85
（2）由图2可知，A所占的百分比为35%，
∴在图2中，A所占的圆心角为：360°×35%=126°；
（3）由题意可知：
A的得分为：85×40%+90×40%+200×35%×20%=84（分），
B的得分为：95×40%+80×40%+200×40%×20%=86（分），
C的得分为：90×40%+85×40%+200×25%×20%=80（分），
∵86>84>80，
∴根据成绩可以判定B当选.
21. 在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其中白球、黄球各1个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，求两次摸到的球颜色没有同的概率（用树形图或列表法求解）．
【正确答案】（1）1个．（2）
【分析】（1）设红球有x个，根据概率的意义列式计算即可得解．
（2）画出树状图或列表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】（1）设红球有x个，
根据题意得，，
解得x=1．
∴暗箱中红球有1个．
（2）根据题意画出树状图如下：
∵一共有9种情况，两次摸到的球颜色没有同的有6种情况，
∴P（两次摸到的球颜色没有同）．
22. 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
（1）ΔABE与ΔDFA相似吗？请说明理由；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长.
【正确答案】(1)详见解析；（2）3.6.
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形DF⊥AE于点F易得：∠B=∠DFA=90°，∠AEB=∠DAF，从而可得△ABE∽△DFA；
（2）在△ABE中，由AB=3，BE=4，∠B=90°可得AE=5，由（1）中所得△ABE∽△DFA可得，AD=6即可求得DF的长.
【详解】(1) ΔABE与ΔDFA相似，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC ，∠B=90°，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE ，
∴∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA ；
(2)在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，BE=4，
∴AE=5，
∵△ABE∽△DFA，
∴ ，
∴ ，
∴DF=3.6.
23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（没有写作法，保留作图痕迹）.
（2） 判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（3）若 AB=6，BD=求⊙O的半径．
【正确答案】详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；
（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值．
试题解析：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．
判断结果：BC是⊙O的切线．
如图2，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
即：OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
∵BD=，
在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，
即r2+（）2=（6-r）2，
解得r=2．
故⊙O的半径是2．
考点：1.作图—复杂作图；2.切线的判定．
24. 市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元．经市场发现：日量（千克）是单价（元）的函数，且当=40时，=120；=50时，=100．在过程中，每天还要支付其他费用500元．
（1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求该公司该原料日获利（元）与单价（元）之间的函数关系式；
（3）当单价为多少元时，该公司日获利．获利是多少元．
【正确答案】(1) y=-2x+200（30≤x≤60）；(2) W=-2x2+260x-6500 ；(3) 1900 ．
【分析】（1）由题意可设，代入题中的已知数量关系，列出关于k、b的方程组，解方程组求得k、b的值即可得到所求解析式；由“单价没有高于每千克60元，没有低于每千克30元”即可得到x的取值范围；
（2）由日获利润=每千克所获利润×日量-500，（1）中所得函数关系式即可求得w与x之间的函数关系式；
（3）将（2）中所得函数关系式配方并x的取值范围即可求得所求答案．
【详解】解：（1）由题意设，则由题中所给数量关系可得：
，解得： ，
∴与的函数关系式为：；
（2）由题意可得：
，
整理得：；
（3）∵，且，
∴当时，w=（元）．
解答本题时需注意两点：（1）在解第2小题时，没有要忽略了“每天还要支付其他费用500元”；（2）解第3小题时，需注意自变量x的取值范围是，所以w的值并没有是在二次函数图象的顶点处取得的，而是在x=60时取得的．
25. 已知如图,抛物线与轴交于点A和点C（2,0），与 轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合.
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求和的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：AB⊥EB.
【正确答案】（1）A（-6,0）、B（0,2）；（2）,；（3）E(-2，8) .
【详解】试题分析：
（1）由题意易得点D的坐标为（0，6），AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的，即可得到OA=6，OB=OC=2，由此即可得到点A和点B的坐标；
（2）将点A和点C的坐标代入列出关于的二元方程组，解方程组即可求得的值；
（3）由（2）中所得的值可得二次函数的解析式，把解析式配方即可求得点E的坐标，点A和点B的坐标即可求得AE2、AB2、BE2的值，这样由勾股定理的逆定理即可得到∠ABE=90°，从而可得AB⊥BE.
试题解析：
（1）∵在中，当时，，
∴点D的坐标为（0，6），
∵△AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的，
∴OA=OD=6，OB=OC=2，
∴点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，2）；
（2）∵点A（-6，0）和点C（2，0）在的图象上，
∴ ，解得： ；
（3）如图，连接AE，
由（2）可知，
∴，
∴点E的坐标为（-2，8），
∵点A（-6，0），点B（0，2），
∴AE2=，AB2=，BE2=，
∴AE2=AB2+BE2，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥EB.
26. （1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．
【正确答案】（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．
【分析】（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”可得∠BDC=∠BAC=23°；
（2）如图2，由已知易得A、B、C、D在以BD的中点O为圆心，OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；
（3）如图3，由已知易得点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，这样即可得到∠EFC=∠DFC.
【详解】（1）如图1，∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠BDC=∠BAC=23°；
(2)证明：取BD中点O，连接AO、CO，
∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，
∴AO=BD=BO=DO，
同理：CO=BD，
∴AO=DO=CO=BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心、OB为半径的同一个圆上，
∴∠BAC=∠BDC=28°
(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，
∴∠EFC=∠DAC，
同理可得：∠DFC=∠CBE，
∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EFC=∠DFC.
27. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点A，与轴交于点B，抛物线A、B两点，与轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）D为直线AB下方抛物线上一动点；
①连接DO交AB于点E，若DE：OE=3：4，求点D的坐标；
②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）A(-4，0)、B（0，-2）；（2）；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．
【分析】（1）在中由求出对应的x的值，由x=0求出对应的y的值即可求得点A、B的坐标；
（2）把（1）中所求点A、B的坐标代入中列出方程组，解方程组即可求得b、c的值，从而可得二次函数的解析式；
（3）①如图，过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，由此易得△DFE∽OBE，这样设点D的坐标为，点F的坐标为,相似三角形的性质和DE：OE=3:4，即可列出关于m的方程，解方程求得m的值即可得到点D的坐标；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB，则BD∥AH，再求出AH的解析式可得BD的解析式，由BD的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D的坐标．
【详解】解：（1）在中，由可得：，解得：；
由可得：，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）；
（2）把点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2）代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：；
（3）①过点D作x轴的垂线交AB于点F，
设点D，F,
连接DO交AB于点E，△DFE∽OBE，
因为DE：OE=3：4，
所以FD：BO=3：4，
即：FD=BO= ,
所以,
解之得： m1=-1，m2=-3 ，
∴D的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；
②在y轴的正半轴上截取OH=OB，可得△ABH是等腰三角形，
∴∠BAH=2∠BAC，
若∠DBA=2∠BAC，则∠DBA=∠BAH，
∴AH//DB，
由点A的坐标（-4，0）和点H的坐标（0，2）求得直线AH的解析式为：，
∴直线DB的解析式是：,
将：联立可得方程组：，
解得： ，
∴点D的坐标（-2，-3）．
本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D作x轴的垂线交AB于点F，连接OD交AB于点E，从而构造出△DFE∽OBE，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D的坐标；解第3小题的关键是在x轴的上方作OH=OB，连接AH，从而构造出∠BAH=2∠BAC，这样由∠DBA=∠BAH可得AH∥BD，求出AH的解析式即可得到BD的解析式，从而将问题转化成求BD和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．
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