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2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共53页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填，全面答一答等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b比例中项c为（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 对于二次函数的图象与性质，下列说确的是（ ）
A. 对称轴是直线，值是2 B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，值是2 D. 对称轴是直线，最小值是2
3. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
4. 下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与图中的三角形相似的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 函数y＝ax2与y＝﹣ax+b图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
7. 下列说法：（）三点确定一个圆；（）等弧所对的圆周角也相等；（）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（）相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的题的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 如图，在⊙，直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（ ）．
A. B. C. D.
9. 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有值4，则实数m值为（ ）
A. B. 或 C. 2或 D. 2或或
10. 如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ， 平分 交⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，则__________．
12. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，若将绕原点旋转，点走过的路程是__________．
13. 如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为__________．
14. 如图，在中，是边上的中线，点在上，且，连接并延长交于，则__________．
15. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的没有等式的解集是__________．
16. 对于二次函数，有下列说法：
①它的图像与轴有两个公共点；
②若当时，随的增大而减小，则；
③若将它的图像向左平移个单位后过原点，则；
④若当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
其中正确的说法是__________．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图，以已知线段为弦作⊙，使其已知点．
（）利用直尺和圆规作圆（保留作图痕迹，没有必写出作法）．
（）若，，求过、、三点圆的半径．
18. 已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线．
（）求该抛物线的函数解析式．
（）把该抛物线沿轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与轴只有一个公共点．
19. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E没有与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
20. 如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．
（）求证：．
（）已知，若是△外接圆的直径，，求的长．
21. 某公司一种进价为元/个的计算器，其量（万个）与价格（元/个）的变化如下表：
价格（元/个）
量（万个）
同时，过程中的其他开支（没有含造价）总计万元．
（）观察并分析表中的与之间的对应关系，用所学过的函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出（万个）与（元/个）的函数解析式．
（）求出该公司这种计算器的净得利润（万个）与价格（元/个）的函数解析式，价格定为多少元时净得利润，值是多少？
（）该公司要求净得利润没有能低于万元，请写出价格（元/个）的取值范围．
22. 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
23. 如图，在中，，，为上一个动点，过点作交折线于点，设的长为，的面积为，关于函数图象，两段组成，如图所示．
（）当时，求的长．
（）求图中的图象段的函数解析式．
（）求为何值时，的面积为．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b的比例中项c为（ ）
A. 3 B. C. D.
【正确答案】C
【详解】设比例中项为c2=ab，
则由比例中项性质知：x2=2×4，
∴c=，
故选：C.
2. 对于二次函数的图象与性质，下列说确的是（ ）
A. 对称轴是直线，值是2 B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，值是2 D. 对称轴是直线，最小值是2
【正确答案】A
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【详解】解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有值y=2，
故选：A．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
3. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理
4. 下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与图中的三角形相似的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】设小正方形的边长为1，则图中的三角形是一个直角三角形，且两直角边分别为.
A选项，由图可知这是一个钝角三角形，所以没有能选A；
B选项，由图可知这是一个锐角三角形，所以没有能选B；
C选项，由图可知这是一个直角三角形，两直角边分别为2、3，和原直角三角形两直角边对应没有成比例，所以没有能选C；
D选项，由图可知这是一个直角三角形，两直角边分别为2、4，和原直角三角形两直角边对应成比例，所以可以选D；
故选D.
5. 函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以A错误，没有符合题意；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以B正确，符合题意；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以C错误，没有符合题意；
选项中，由图可知：，；在，，∴，所以D错误，没有符合题意．
故选B．
在函数 与 中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关．
6. 已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】画出二次函数图像，根据图像的增减性进行判断.
【详解】由二次函数知，
它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示．
根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等．
由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，．
故选B.
本题考查二次函数的图像和性质，数形，根据函数的增减性判断函数值的大小是关键.
7. 下列说法：（）三点确定一个圆；（）等弧所对的圆周角也相等；（）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（）相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的题的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【正确答案】A
【详解】（）由“没有在同一直线上的三点确定一个圆”可知（1）错误；
（）由“等弧所对的圆心角相等”可知（2）正确；
（）由“平分弦（没有是直径）的直径垂直于弦”可知（3）错误；
（）由“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”可知（4）错误．
即上述四种说法中只有（2）是正确的.
故选A．
8. 如图，在⊙，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据折叠的性质，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
9. 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有值4，则实数m的值为（ ）
A. B. 或 C. 2或 D. 2或或
【正确答案】C
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【详解】二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=，与m＜﹣2矛盾，故m值没有存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选C．
10. 如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ， 平分 交⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵是直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵
∴，，
如图，过作于，连接，平分，
∴，，
∴，，
，
故选D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，则__________．
【正确答案】
【详解】∵，
∴，
∴．
12. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，若将绕原点旋转，点走过的路程是__________．
【正确答案】
【详解】由题意可知，点A走过的路程是以点O为圆心，OA为半径的一段弧.
∵由图可得：点A的坐标为（-2，3），
∴OA=，
又∵旋转角为60°，
∴点A走过的路程为.
13. 如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为__________．
【正确答案】
【详解】连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，，
∵恰好是⊙内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴的度数为84°.
14. 如图，在中，是边上的中线，点在上，且，连接并延长交于，则__________．
【正确答案】
【详解】过作平行线交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
15. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的没有等式的解集是__________．
【正确答案】
【详解】如下图：
∵抛物线与双曲线的交点的横坐标是，
∴抛物线与双曲线的交点A′的横坐标为-2，
∵由图可知没有等式：的解集为：
∴ 的解集为.
点睛：本题解题的要点是要明白：求没有等式的解集就是求没有等式的解集，即求反比例函数的函数值小于二次函数的函数值时，自变量的取值范围，这样根据“反比例函数图象关于原点对称”和“二次函数与的图象也关于原点对称”得到点A′的坐标即可求得答案.
16. 对于二次函数，有下列说法：
①它的图像与轴有两个公共点；
②若当时，随的增大而减小，则；
③若将它的图像向左平移个单位后过原点，则；
④若当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
其中正确的说法是__________．
【正确答案】①④
【详解】（1）∵，
∴抛物线与轴有个公共点，即①正确；
（2）∵在中，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴为，且当时随的增大而减小，
∴，故②错误；
（3）∵将的图象向左移动个单位后得到的：的图象过原点，
∴，解得：，
∴③错误；
（4）∵当时的函数值与时相等，
∴抛物线对称轴为：，则，
∴此时二次函数解析式为：，
∴当时，函数值，
∴④正确．
综上所述，正确的说法是：①④.
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图，以已知线段为弦作⊙，使其已知点．
（）利用直尺和圆规作圆（保留作图痕迹，没有必写出作法）．
（）若，，求过、、三点的圆的半径．
【正确答案】（1）见解析；（2）16.9
【详解】试题分析：
（1）连接AC、BC，分别作AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为所求圆的圆心O，再连接OA，以点O为圆心，OA为半径作圆，所得的圆即所求的⊙O；
（2）如图，作OD⊥AB于点D，连接CD，由AC=BC可得，由此可得点C是的中点，“垂径定理”可得点O、D、C在同一直线上，AD=AB=12，在Rt△ADC中由勾股定理可求得CD的长为5；设半径OA=，则可得OD=，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解方程可求得的值即可.
试题解析：
（）如下图中，⊙O即为所求圆；
（）如图，作于点，连接，
∵，
∴，
∴为的中点，连接，则 、、共线，，，
∴，
设半径，则在Rt△ADO中，由勾股定理可得：，
解得．
即过A、B、C三点的圆的半径为16.9.
18. 已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线．
（）求该抛物线的函数解析式．
（）把该抛物线沿轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与轴只有一个公共点．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：
（1）把抛物线的解析式整理为一般形式，由此可得到其对称轴的表达式，对称轴是直线即可解出“m”的值，从而可求得其解析式；
（2）设把该抛物线向上平移个单位长度后与轴只有一个公共点，由此可得新的解析式的表达式，再由“△=”即可求得的值.
试题解析：
（1）∵可化为：，
∴该抛物线的对称轴为直线：，
又∵该抛物线的对称轴为：直线，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（）设原抛物线向上平移个单位后与轴只有1个公共点，则平移后抛物线解析式为：
，
∵它与轴只有一个公共点，
∴，解得： ，
即，将该抛物线向上平移个单位长度后，新抛物线与轴只有1个公共点.
19. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E没有与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以△BDE∽△CEF；
（2）因为△BDE∽△CEF，所以,
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故△CEF∽△EDF,
所以,即FE平分∠DFC．
20. 如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．
（）求证：．
（）已知，若是△外接圆的直径，，求的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）.
【详解】（）∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵是△的外角平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（）由（）得，
又∵，
∴△∽△，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵是直径，
∴，
∴BD=，
又∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAC，
∴ ，
∴CD=24，
解得：CD=.
21. 某公司一种进价为元/个的计算器，其量（万个）与价格（元/个）的变化如下表：
价格（元/个）
量（万个）
同时，过程中的其他开支（没有含造价）总计万元．
（）观察并分析表中与之间的对应关系，用所学过的函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出（万个）与（元/个）的函数解析式．
（）求出该公司这种计算器的净得利润（万个）与价格（元/个）的函数解析式，价格定为多少元时净得利润，值是多少？
（）该公司要求净得利润没有能低于万元，请写出价格（元/个）的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）将价格定为50元/个时，利润为50万元；（3）．
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当售价每增加10元时，量都是减少1万个，因此与之间的函数关系是函数，由此可设，代入表格中的两组对应数据解出k、b即可得所求函数解析式；
（2）由净利润=收入-进货成本-其它开支，（1）中所得结果和已知即可列出函数关系式；把所得函数关系式配方化为“顶点式”即可得到所求的定价和利润；
（3）由（2）中所得解析式可解得对应的的值，再（2）中所得函数的图象开口向下，即可得到对应的的取值范围.
试题解析：
解：（）根据表格数据：与为函数，设解析式，
，解得，
∴解析式：．
（）由题意得，
化简得，
故将价格定为元/个时，利润为万元．
（）当利润为万元时，，解得，，
∵函数的图象开口向下，
∴当利润没有低于40万元时，价格的取值范围为．
22. 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【正确答案】(1)、a=1，b=1；(2)、①、证明过程见解析；②、当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．
【分析】(1)、点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元方程组，解方程组即可得出结论；(2)、①、将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可的出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；②、由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．
【详解】(1)、由题意得：，
解得：，
故a=1，b=1．
(2)①证明：，
∴函数y1的顶点为，
∵函数y2的图象y1的顶点，
∴，
即，
∵ab≠0，
∴﹣b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=﹣2a，
∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，
∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
考点：二次函数综合题
23. 如图，在中，，，为上一个动点，过点作交折线于点，设的长为，的面积为，关于函数图象，两段组成，如图所示．
（）当时，求的长．
（）求图中的图象段的函数解析式．
（）求为何值时，面积为．
【正确答案】（1）；（2）；（3）或．
【详解】试题分析：
（1）由图2可知，当AD=时，点P与点C重合，PD⊥AB于D可得∠PDA=90°，∠A=30°，可得AP=，由此即可求出AP的长；
（2）由（1）可知，当AD=时，点P与点C重合，此时AC=AP；如图1，过点C作CE⊥AB于点E，则AE=AD=4.5，由此在Rt△ACE中可求得CE的长，在Rt△BCE中可求得BE的长，从而可得AB的长；如图2，当点D在BE上时，易证△BDP∽△BEC，从而可得 ，BD=即可用含“”的式子表达出PD的长，从而由AB·PD求得C2段的函数解析式；
（3）①当时，先由AD·PD求得C1段的函数解析式，再由列出方程求解即可得到对应的的值；②当时，由（2）中所得C2段的函数解析式中列出方程求解可得对应的的值；两者综合即可得到本问的解.
试题解析：
（）由图2可知，在，当 时，点P与点C重合，
∵∠ACB=90°，，
∴．
（）由图知，当时，，此时与重合，点D与点E重合，
∴，如图，过点作，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，在中，，
如图，点在线段上时，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
（）当时，在中，，，
∴，∴，当时，，
由（）知时，，（舍）或，
即为或时，面积为．
点睛：（1）解第2小题的关键是：由图2可知，当AD=时，P与C重合，由此作CE⊥AB于点E，已知条件可解得BE、AB和CE的长；这样当点P在BC上时，作PD⊥AB，即可由用含“”的式子表达出PD的长，进一步利用就可求得C2段的函数关系式；（2）解第3小题时，需注意一点：要分点P在AC上和BC上两种情况讨论，没有要忽略了任何一种情况.
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数是（ ）
A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
2. 下列为必然的是 ( )
A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上； B. 篮球运动员投篮，投进篮筐；
C. 一个星期有七天； D. 打开电视机，正在播放新闻．
3. 把抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的解析式为（ ）
A. y=2（x+3）2+2 B. y=2（x﹣2）2+3
C. y=2（x+2）2+3 D. y=2（x﹣3）2+2
4. 二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）．
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
6. 在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中没有留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A. E、F、G B. F、G、H C. G、H、E D. H、E、F
7. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. cm
8. 抛物线部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
9. 如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A. 0.5厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.0厘米/分 D. 1.6厘米/分
10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（没有包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 已知⊙O的半径是4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在__．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
12. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________
13. 抛物线的对称轴是直线____________.
14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
15. 如图所示，若⊙O 半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为___________
16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象点A（﹣2，0），B（0， ），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD，PB+PD的最小值为________.
三、解 答 题（共8题，共80分）
17. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
18. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象点A（－1，12），B（2，－3）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标.
19. 在一个没有透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
20. 某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市场分析，如果按每件50元，一周能售出500件，若单价每涨1元，每周量就减少10件．设单价为每件x元（x≥50），一周的量为y件．
（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）
（2）设一周的利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
（3）在超市对该种商品投入没有超过10 000元的情况下，使得一周利润达到8 000元，单价应定为多少？
21. 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，B点坐标为（5,0）点C(0，5)，M为它的顶点.
(1)求抛物线解析式；
(2)求△MAB的面积．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于B,C两点（B在C的左侧），与y轴交于点A．
（1）求出点A,B,C的坐标．
（2）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好△ABC的外心，求出平移后的抛物线的解析式.
23. 如图，在两个全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC没有动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．
(1)如图②，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.求证：CF＝CH；
(2)如图③，当α＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并说明理由；
(3)如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连结BD，当旋转角α的度数为多少时，△BDH是等腰三角形？
24. 如图，直线y＝x＋b与抛物线y＝x2＋x＋c相交于点A（6，8）与点B，P是线段AB的中点，D是抛物线上的一个动点，直线DP交x轴于点C．
（1）分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标．
（2）四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若没有能，请说明理由．
（3）当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么三角形？请说明理由，并写出所有符合这一性的点D的坐标．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数是（ ）
A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、y=3x-1函数，没有是二次函数，没有符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当时，没有是二次函数，没有符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中没有是整式，故y=x2+ 没有是二次函数，没有符合题意．
故选：C．
此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
2. 下列为必然的是 ( )
A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上； B. 篮球运动员投篮，投进篮筐；
C. 一个星期有七天； D. 打开电视机，正在播放新闻．
【正确答案】C
【详解】试题分析：因为任意掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，所以A是随机而没有是必然，所以A错误；篮球运动员投篮，可能投进篮筐，也可能投没有进篮筐，所以B是随机而没有是必然，所以B错误；因为一个星期就只有七天，所以C是必然，所以C正确；因为打开电视机，可能正在播放新闻，也可能没有播放新闻，所以D是随机而没有是必然，所以D错误；故选C．
考点：必然
3. 把抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的解析式为（ ）
A. y=2（x+3）2+2 B. y=2（x﹣2）2+3
C. y=2（x+2）2+3 D. y=2（x﹣3）2+2
【正确答案】A
【详解】试题分析：先由二次函数的性质得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律，点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣3，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
解：抛物线y=2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得对应点的坐标为（﹣3，2），所以平移后的抛物线的解析式是y=2（x+3）2+2．
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
4. 二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由二次函数的图象可得a<0，c>0，根据函数图象的性质即可判断出正确答案.
【详解】∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴y=ax+c的图象一、二、四象限，与y轴交于正半轴，
∴选项B符合题意，
故选B.
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下；与y轴的交点坐标为(0，c)．也考查了函数的图象．
5. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）．
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【正确答案】D
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．
故选D．
考点：旋转的性质．
6. 在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中没有留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A E、F、G B. F、G、H C. G、H、E D. H、E、F
【正确答案】A
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．得到哪些树需要移除．
【详解】解：∵OA=，
∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．
7. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. cm
【正确答案】C
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故选：C．
本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
8. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】B
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
本题主要考查的是二次函数与没有等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键．
9. 如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A. 0.5厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.0厘米/分 D. 1.6厘米/分
【正确答案】B
【详解】试题分析： 如图；过圆心O作OC⊥AB于C，延长CO交⊙O于D，连接OA；Rt△OAC中，AC=AB=4cm，OA=5cm；根据勾股定理，得：OC==3cm；∴CD=OC+OD=8cm；所以太阳上升的速度为：8÷10=0.8厘米/分；故选B．
考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（没有包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
【正确答案】D
【详解】①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y==0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1，
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣＜8a，
故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞，
故④正确；
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c，
故⑤正确．
故选：D．
本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形来进行判断是解题的关键．
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 已知⊙O的半径是4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在__．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
【正确答案】圆内
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系：d>r,点在圆外；d=r,点在圆上；d
故答案为圆内.
本题考查是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．
12. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________
【正确答案】-1
【详解】由二次函数的定义可知自变量的指数为2，且系数没有等于0，可得3a2-1=2；解得a=±1；又因a-1≠0；即a≠1；最终可求得a=-1．
故答案为-1.
点睛：此题主要考查了二次函数的概念，由二次函数的定义可知自变量的指数为2，且系数没有等于0，列出方程与没有等式解答是关键.
13. 抛物线的对称轴是直线____________.
【正确答案】x=3
【分析】根据二次函数对称轴直线方程,代入直线方程即可求解.
【详解】由二次函数对称轴直线方程可得:
抛物线的对称轴是直线,
故答案为.
本题主要考查二次函数对称轴直线方程,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴直线方程.
14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
【正确答案】5
【分析】直角三角形的外接圆圆心就是斜边的中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半．根据勾股定理，斜边为10cm，所以外接圆的半径就是5cm．
【详解】解：∵Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边为10cm，
∴外接圆的半径就是5cm．
故5
15. 如图所示，若⊙O 半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为___________
【正确答案】24㎝
【分析】过O点作OC⊥AB于C，连OA，根据垂线段最短得到OC=5cm，根据垂径定理得到AC=BC，再利用勾股定理计算出AC，即可得到AB．
【详解】过O点作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴OC=5cm，AC=BC，
在Rt△OAC中，OA=13cm，
∴AC=（cm），
∴AB=2AC=24cm．
故答案为24cm．
16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象点A（﹣2，0），B（0， ），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD，PB+PD的最小值为________.
【正确答案】
【分析】如图所示,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,由于OA=2,OB=,
因此,根据三角函数值可得:,根据直角三角形的性质可得:PH=,即,则此时最小,在Rt△ADH中,根据,AD=3,,由此可得:,解得:,即最小值为:.
【详解】如图所示,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此时最小,
理由:因为OA=2,OB=,
所以,
所以,
所以PH=,
所以,
所以此时最小,
在Rt△ADH中,因为,AD=3,,
所以,
所以,
所以最小值为:,
故答案为:.
本题主要考查二次函数图象与三角函数综合,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数和三角函数知识点.
三、解 答 题（共8题，共80分）
17. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【正确答案】8
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故答案为8
本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
18. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象点A（－1，12），B（2，－3）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标.
【正确答案】（1）y=x2-6x+5；（2）（1，0） （5，0）
【分析】（1）根据待定系数法,把点A（-1,12）,B（2,-3）的坐标代入y=x2+bx+c得:
,解方程组可得:,因此二次函数关系式是:y=x2-6x+5,
（2）根据二次函数顶点坐标公式代入即可求出顶点（3,-4）,根据二次函数与一元二次方程的关系,令x2-6x+5=0,解得x 1=1,x 2=5 , 因此求得二次函数与x轴的交点坐标为（1,0）, （5,0）.
【详解】（1）把点A（-1,12）,B（2,-3）的坐标代入y=x2+bx+c得:
,解得:,
∴y=x2-6x+5,
（2）顶点（3,-4）,
令x2-6x+5=0,解得x 1=1,x 2=5 ,
∴与x轴的交点坐标为（1,0）, （5,0）.
本题主要考查待定系数法求二次函数关系式,二次函数与一元二次方程的关系,解决本题关键是要熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系
19. 在一个没有透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
【正确答案】(1)；(2)
【详解】解：（1）取出黄球的概率是；
（2）画树状图得：
如图所有可能出现的结果有9个，每个结果发生的可能性都相同，
其中出现两次白色球的结果有1个.所以，P（两次取出白色球）=．
20. 某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市场分析，如果按每件50元，一周能售出500件，若单价每涨1元，每周量就减少10件．设单价为每件x元（x≥50），一周的量为y件．
（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）
（2）设一周的利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
（3）在超市对该种商品投入没有超过10 000元的情况下，使得一周利润达到8 000元，单价应定为多少？
【正确答案】（1）；（2），当时，利润随着单价的增大而增大；（3）单价应定为80元，才能使得一周利润达到8000元的同时，投入没有超过10000元．
【分析】（1）根据单价每涨1元,每周量就减少10件,可得一周量,根据原量为500件可得:,解得:,因此自变量取值范围为:.
（2）根据利润=(售价-进价)×量,可得:=,再根据二次函数图象性质可得:当时,利润随着单价的增大而增大,
（3）根据利润=(售价-进价)×量,可得,
,解得:,当时,成本=没有符合要求,舍去, 当时,成本=符合要求,符合要求,单价应定为80元,才能使得一周利润达到8000元的同时,投入没有超过10000元.
【详解】（1）,
（2）,
,
=,
当时,利润随着单价的增大而增大,
（3）,
,
,
,
,
当时,成本=没有符合要求,舍去,
当时,成本=符合要求,符合要求,
单价应定为80元,才能使得一周利润达到8000元的同时,投入没有超过10000元.
本题主要考查二次函数解决商品问题,解决本题的关键是要熟练掌握商品问题中量与价格关系,利润与价格之间关系.
21. 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，B点坐标为（5,0）点C(0，5)，M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MAB的面积．
【正确答案】（1） y=-x2+4x+5 (2) 27
【详解】试题分析：（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；
（2）求出二次函数的顶点坐标，根据三角形面积计算公式求出答案．
试题解析：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象（-1，0）、（0，5）和（0，5），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；
（2）∵B点坐标为（5，0），
∴AB=5-（-1）=6，
∵y=-x2+4x+5，
∴y=-（x-2）2+9，
∴抛物线图象的顶点坐标为（2，9），
∴S△AMB=×6×9=27．
本题考查了抛物线与x轴交点以及待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度没有大．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于B,C两点（B在C的左侧），与y轴交于点A．
（1）求出点A,B,C的坐标．
（2）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好△ABC的外心，求出平移后的抛物线的解析式.
【正确答案】（1）A(0,4), B(-2,0), C(8,0) ；(2)
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系,令y=0,可得:,,解得:,继而求出B(-2,0), C(8,0), 令x=0,则y=4,继而求出A(0,4),
(2) 根据 ,因此可得:,根据勾股定理逆定理可得:△ABC是直角三角形,根据直角三角形性质可得:△ABC的外心为（3,0）,
再根据二次函数图象平移可得:抛物线向右平移5个单位,平移后的抛物线为:.
【详解】（1）A(0,4), B(-2,0), C(8,0),
(2) ∵ ,
∴,
∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的外心为（3,0）,
∴抛物线向右平移5个单位,
平移后的抛物线为:.
本题主要考查二次函数与坐标轴交点问题,二次函数图象平移,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法和二次函数图象平移规律.
23. 如图，在两个全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC没有动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．
(1)如图②，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.求证：CF＝CH；
(2)如图③，当α＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并说明理由；
(3)如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连结BD，当旋转角α的度数为多少时，△BDH是等腰三角形？
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACDM是菱形．理由见解析；（3）α=30°，即当旋转角α的度数为30°时，△BDH是等腰三角形．
【分析】（1）根据△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,可得:∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,再根据△ABC没有动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,
进而可得:CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,根据全等三角形的判定定理可得:△CAF≌△CDH,根据全等三角形的性质可得:CF=CH,
（2）根据∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,可得:∠AFC=90°,而∠FCD=90°,进而可得:AB∥CD,同理可得AC∥DE,根据平行四边形的判定可得:四边形ACDM是平行四边形,根据CA=CD,根据菱形的定义可得:四边形ACDM是菱形,
（3）根据CB=CD,∠BCD=α,可得:∠CBD=∠CDB=（180°-α）,继而可得:∠HBD＞∠BDH,
即当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形,根据∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,然后分类讨论:当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°, 当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,因此α=30°,即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形．
【详解】（1）证明:∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,
∵△ABC没有动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,
∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,
∴△CAF≌△CDH,
∴CF=CH,
（2）四边形ACDM是菱形,理由如下:
∵∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,
∴∠AFC=90°,而∠FCD=90°,
∴AB∥CD,
同理可得AC∥DE,
∴四边形ACDM是平行四边形,
而CA=CD,
∴四边形ACDM是菱形,
（3）∵CB=CD,∠BCD=α,
∴∠CBD=∠CDB=（180°-α）,
∴∠HBD＞∠BDH,
∴当DB=DH或BH=BD时,△BDH是等腰三角形,
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,
当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°,
当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,
∴α=30°,即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形.
本题主要考查几何图形旋转探究问题,解决本题的关键是要熟练掌握几何旋转图形的性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,等腰三角形的性质.
24. 如图，直线y＝x＋b与抛物线y＝x2＋x＋c相交于点A（6，8）与点B，P是线段AB的中点，D是抛物线上的一个动点，直线DP交x轴于点C．
（1）分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标．
（2）四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若没有能，请说明理由．
（3）当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么三角形？请说明理由，并写出所有符合这一性的点D的坐标．
【正确答案】（1）（－4，－2），（1，3）；（2）OC＝－3或＋3；（3）符合△APD是直角三角的点D还有：（－12，26），（－3＋，7－），（－3－，7＋）．
【分析】（1）利用待定系数法,把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,
得b＝2,c＝－4,求得函数关系式为:y＝x＋2,y＝x2＋x－4,从而求出点B,P的坐标分别为（－4,－2）,（1,3）,
（2）作PE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,则DF＝2PE＝6,当y＝6时,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,然后分情况讨论:当点C在直线AB的左侧时（如答图1）,OF＝－1,进而可得:CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．因此可得:OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3;当点C在直线AB的左侧时（如答图2）,OF＝＋1,进而可得:CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,从而可得:OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3.
（3）作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,过点D作MN分别垂直AG,PE于M,N,可得:EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,AM＝AG－MG＝6进而可得:DP＝,AD＝2,根据AP＝5,可得:DP2＋AD2＝AP2,根据勾股定理逆定理可得:∠ADP＝90º,即△APD是直角三角形,符合△APD是直角三角的点D还有:（－12,26）,（－3＋,7－）,（－3－,7＋）.
【详解】（1）把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,
得b＝2,c＝－4,
∴y＝x＋2,y＝x2＋x－4,
点B,P的坐标分别为（－4,－2）,（1,3）,
（2）作PE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,则DF＝2PE＝6,
当y＝6时,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,
当点C在直线AB的左侧时（如答图1）,OF＝－1,
∴CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．
∴OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3．
当点C在直线AB的左侧时（如答图2）,OF＝＋1，
∴CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,
∴OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3．
综上所述,OC＝－3或＋3,
答图1 答图2 答图3
（3）当点D的坐标为（4,2）时,△APD是直角三角形,理由如下:
如答图3,作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,
过点D作MN分别垂直AG,PE于M,N,
则EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,
AM＝AG－MG＝6．
∴DP＝,AD＝2,
∵AP＝5,
∴DP2＋AD2＝AP2,
∴∠ADP＝90º,即△APD是直角三角形（用相似证明同样给分）,
符合△APD是直角三角的点D还有:（－12,26）,（－3＋,7－）,
（－3－,7＋）.
本题主要考查二次函数与几何图形综合,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的图象性质.
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b比例中项c为（ ）
A. 3 B. C. D.
2. 对于二次函数的图象与性质，下列说确的是（ ）
A. 对称轴是直线，值是2 B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，值是2 D. 对称轴是直线，最小值是2
3. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
4. 下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与图中的三角形相似的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 函数y＝ax2与y＝﹣ax+b图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
7. 下列说法：（）三点确定一个圆；（）等弧所对的圆周角也相等；（）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（）相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的题的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 如图，在⊙，直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（ ）．
A. B. C. D.
9. 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有值4，则实数m值为（ ）
A. B. 或 C. 2或 D. 2或或
10. 如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ， 平分 交⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，则__________．
12. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，若将绕原点旋转，点走过的路程是__________．
13. 如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为__________．
14. 如图，在中，是边上的中线，点在上，且，连接并延长交于，则__________．
15. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的没有等式的解集是__________．
16. 对于二次函数，有下列说法：
①它的图像与轴有两个公共点；
②若当时，随的增大而减小，则；
③若将它的图像向左平移个单位后过原点，则；
④若当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
其中正确的说法是__________．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图，以已知线段为弦作⊙，使其已知点．
（）利用直尺和圆规作圆（保留作图痕迹，没有必写出作法）．
（）若，，求过、、三点圆的半径．
18. 已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线．
（）求该抛物线的函数解析式．
（）把该抛物线沿轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与轴只有一个公共点．
19. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E没有与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
20. 如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．
（）求证：．
（）已知，若是△外接圆的直径，，求的长．
21. 某公司一种进价为元/个的计算器，其量（万个）与价格（元/个）的变化如下表：
价格（元/个）
量（万个）
同时，过程中的其他开支（没有含造价）总计万元．
（）观察并分析表中的与之间的对应关系，用所学过的函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出（万个）与（元/个）的函数解析式．
（）求出该公司这种计算器的净得利润（万个）与价格（元/个）的函数解析式，价格定为多少元时净得利润，值是多少？
（）该公司要求净得利润没有能低于万元，请写出价格（元/个）的取值范围．
22. 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
23. 如图，在中，，，为上一个动点，过点作交折线于点，设的长为，的面积为，关于函数图象，两段组成，如图所示．
（）当时，求的长．
（）求图中的图象段的函数解析式．
（）求为何值时，的面积为．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b的比例中项c为（ ）
A. 3 B. C. D.
【正确答案】C
【详解】设比例中项为c2=ab，
则由比例中项性质知：x2=2×4，
∴c=，
故选：C.
2. 对于二次函数的图象与性质，下列说确的是（ ）
A. 对称轴是直线，值是2 B. 对称轴是直线，最小值是2
C. 对称轴是直线，值是2 D. 对称轴是直线，最小值是2
【正确答案】A
【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．
【详解】解：由抛物线的解析式：y=-（x-1）2+2，
可知：对称轴x=1，
开口方向向下，所以有值y=2，
故选：A．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
3. 如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（ ）
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
【正确答案】D
【详解】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理
4. 下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与图中的三角形相似的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】设小正方形的边长为1，则图中的三角形是一个直角三角形，且两直角边分别为.
A选项，由图可知这是一个钝角三角形，所以没有能选A；
B选项，由图可知这是一个锐角三角形，所以没有能选B；
C选项，由图可知这是一个直角三角形，两直角边分别为2、3，和原直角三角形两直角边对应没有成比例，所以没有能选C；
D选项，由图可知这是一个直角三角形，两直角边分别为2、4，和原直角三角形两直角边对应成比例，所以可以选D；
故选D.
5. 函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以A错误，没有符合题意；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以B正确，符合题意；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以C错误，没有符合题意；
选项中，由图可知：，；在，，∴，所以D错误，没有符合题意．
故选B．
在函数 与 中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关．
6. 已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】画出二次函数图像，根据图像的增减性进行判断.
【详解】由二次函数知，
它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示．
根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等．
由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，．
故选B.
本题考查二次函数的图像和性质，数形，根据函数的增减性判断函数值的大小是关键.
7. 下列说法：（）三点确定一个圆；（）等弧所对的圆周角也相等；（）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（）相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的题的个数是（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【正确答案】A
【详解】（）由“没有在同一直线上的三点确定一个圆”可知（1）错误；
（）由“等弧所对的圆心角相等”可知（2）正确；
（）由“平分弦（没有是直径）的直径垂直于弦”可知（3）错误；
（）由“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”可知（4）错误．
即上述四种说法中只有（2）是正确的.
故选A．
8. 如图，在⊙，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据折叠的性质，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
9. 当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有值4，则实数m的值为（ ）
A. B. 或 C. 2或 D. 2或或
【正确答案】C
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
【详解】二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=，与m＜﹣2矛盾，故m值没有存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选C．
10. 如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ， 平分 交⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】∵是直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵
∴，，
如图，过作于，连接，平分，
∴，，
∴，，
，
故选D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 已知，则__________．
【正确答案】
【详解】∵，
∴，
∴．
12. 如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上，若将绕原点旋转，点走过的路程是__________．
【正确答案】
【详解】由题意可知，点A走过的路程是以点O为圆心，OA为半径的一段弧.
∵由图可得：点A的坐标为（-2，3），
∴OA=，
又∵旋转角为60°，
∴点A走过的路程为.
13. 如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为__________．
【正确答案】
【详解】连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，，
∵恰好是⊙内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴的度数为84°.
14. 如图，在中，是边上的中线，点在上，且，连接并延长交于，则__________．
【正确答案】
【详解】过作平行线交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
15. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的没有等式的解集是__________．
【正确答案】
【详解】如下图：
∵抛物线与双曲线的交点的横坐标是，
∴抛物线与双曲线的交点A′的横坐标为-2，
∵由图可知没有等式：的解集为：
∴ 的解集为.
点睛：本题解题的要点是要明白：求没有等式的解集就是求没有等式的解集，即求反比例函数的函数值小于二次函数的函数值时，自变量的取值范围，这样根据“反比例函数图象关于原点对称”和“二次函数与的图象也关于原点对称”得到点A′的坐标即可求得答案.
16. 对于二次函数，有下列说法：
①它的图像与轴有两个公共点；
②若当时，随的增大而减小，则；
③若将它的图像向左平移个单位后过原点，则；
④若当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
其中正确的说法是__________．
【正确答案】①④
【详解】（1）∵，
∴抛物线与轴有个公共点，即①正确；
（2）∵在中，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴为，且当时随的增大而减小，
∴，故②错误；
（3）∵将的图象向左移动个单位后得到的：的图象过原点，
∴，解得：，
∴③错误；
（4）∵当时的函数值与时相等，
∴抛物线对称轴为：，则，
∴此时二次函数解析式为：，
∴当时，函数值，
∴④正确．
综上所述，正确的说法是：①④.
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17. 如图，以已知线段为弦作⊙，使其已知点．
（）利用直尺和圆规作圆（保留作图痕迹，没有必写出作法）．
（）若，，求过、、三点的圆的半径．
【正确答案】（1）见解析；（2）16.9
【详解】试题分析：
（1）连接AC、BC，分别作AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为所求圆的圆心O，再连接OA，以点O为圆心，OA为半径作圆，所得的圆即所求的⊙O；
（2）如图，作OD⊥AB于点D，连接CD，由AC=BC可得，由此可得点C是的中点，“垂径定理”可得点O、D、C在同一直线上，AD=AB=12，在Rt△ADC中由勾股定理可求得CD的长为5；设半径OA=，则可得OD=，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解方程可求得的值即可.
试题解析：
（）如下图中，⊙O即为所求圆；
（）如图，作于点，连接，
∵，
∴，
∴为的中点，连接，则 、、共线，，，
∴，
设半径，则在Rt△ADO中，由勾股定理可得：，
解得．
即过A、B、C三点的圆的半径为16.9.
18. 已知抛物线，其中是常数，该抛物线的对称轴为直线．
（）求该抛物线的函数解析式．
（）把该抛物线沿轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与轴只有一个公共点．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：
（1）把抛物线的解析式整理为一般形式，由此可得到其对称轴的表达式，对称轴是直线即可解出“m”的值，从而可求得其解析式；
（2）设把该抛物线向上平移个单位长度后与轴只有一个公共点，由此可得新的解析式的表达式，再由“△=”即可求得的值.
试题解析：
（1）∵可化为：，
∴该抛物线的对称轴为直线：，
又∵该抛物线的对称轴为：直线，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（）设原抛物线向上平移个单位后与轴只有1个公共点，则平移后抛物线解析式为：
，
∵它与轴只有一个公共点，
∴，解得： ，
即，将该抛物线向上平移个单位长度后，新抛物线与轴只有1个公共点.
19. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E没有与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF；（2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC．
【详解】解：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以△BDE∽△CEF；
（2）因为△BDE∽△CEF，所以,
因为点E是BC的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故△CEF∽△EDF,
所以,即FE平分∠DFC．
20. 如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．
（）求证：．
（）已知，若是△外接圆的直径，，求的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）.
【详解】（）∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵是△的外角平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（）由（）得，
又∵，
∴△∽△，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∵是直径，
∴，
∴BD=，
又∵∠D=∠D，
∴△DBF∽△DAC，
∴ ，
∴CD=24，
解得：CD=.
21. 某公司一种进价为元/个的计算器，其量（万个）与价格（元/个）的变化如下表：
价格（元/个）
量（万个）
同时，过程中的其他开支（没有含造价）总计万元．
（）观察并分析表中与之间的对应关系，用所学过的函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出（万个）与（元/个）的函数解析式．
（）求出该公司这种计算器的净得利润（万个）与价格（元/个）的函数解析式，价格定为多少元时净得利润，值是多少？
（）该公司要求净得利润没有能低于万元，请写出价格（元/个）的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）将价格定为50元/个时，利润为50万元；（3）．
【详解】试题分析：
（1）观察、分析表格中的数据可知，当售价每增加10元时，量都是减少1万个，因此与之间的函数关系是函数，由此可设，代入表格中的两组对应数据解出k、b即可得所求函数解析式；
（2）由净利润=收入-进货成本-其它开支，（1）中所得结果和已知即可列出函数关系式；把所得函数关系式配方化为“顶点式”即可得到所求的定价和利润；
（3）由（2）中所得解析式可解得对应的的值，再（2）中所得函数的图象开口向下，即可得到对应的的取值范围.
试题解析：
解：（）根据表格数据：与为函数，设解析式，
，解得，
∴解析式：．
（）由题意得，
化简得，
故将价格定为元/个时，利润为万元．
（）当利润为万元时，，解得，，
∵函数的图象开口向下，
∴当利润没有低于40万元时，价格的取值范围为．
22. 已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．
【正确答案】(1)、a=1，b=1；(2)、①、证明过程见解析；②、当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．
【分析】(1)、点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元方程组，解方程组即可得出结论；(2)、①、将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可的出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；②、由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．
【详解】(1)、由题意得：，
解得：，
故a=1，b=1．
(2)①证明：，
∴函数y1的顶点为，
∵函数y2的图象y1的顶点，
∴，
即，
∵ab≠0，
∴﹣b=2a，
∴2a+b=0．
②∵b=﹣2a，
∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，
∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
考点：二次函数综合题
23. 如图，在中，，，为上一个动点，过点作交折线于点，设的长为，的面积为，关于函数图象，两段组成，如图所示．
（）当时，求的长．
（）求图中的图象段的函数解析式．
（）求为何值时，面积为．
【正确答案】（1）；（2）；（3）或．
【详解】试题分析：
（1）由图2可知，当AD=时，点P与点C重合，PD⊥AB于D可得∠PDA=90°，∠A=30°，可得AP=，由此即可求出AP的长；
（2）由（1）可知，当AD=时，点P与点C重合，此时AC=AP；如图1，过点C作CE⊥AB于点E，则AE=AD=4.5，由此在Rt△ACE中可求得CE的长，在Rt△BCE中可求得BE的长，从而可得AB的长；如图2，当点D在BE上时，易证△BDP∽△BEC，从而可得 ，BD=即可用含“”的式子表达出PD的长，从而由AB·PD求得C2段的函数解析式；
（3）①当时，先由AD·PD求得C1段的函数解析式，再由列出方程求解即可得到对应的的值；②当时，由（2）中所得C2段的函数解析式中列出方程求解可得对应的的值；两者综合即可得到本问的解.
试题解析：
（）由图2可知，在，当 时，点P与点C重合，
∵∠ACB=90°，，
∴．
（）由图知，当时，，此时与重合，点D与点E重合，
∴，如图，过点作，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，在中，，
如图，点在线段上时，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
（）当时，在中，，，
∴，∴，当时，，
由（）知时，，（舍）或，
即为或时，面积为．
点睛：（1）解第2小题的关键是：由图2可知，当AD=时，P与C重合，由此作CE⊥AB于点E，已知条件可解得BE、AB和CE的长；这样当点P在BC上时，作PD⊥AB，即可由用含“”的式子表达出PD的长，进一步利用就可求得C2段的函数关系式；（2）解第3小题时，需注意一点：要分点P在AC上和BC上两种情况讨论，没有要忽略了任何一种情况.
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数是（ ）
A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
2. 下列为必然的是 ( )
A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上； B. 篮球运动员投篮，投进篮筐；
C. 一个星期有七天； D. 打开电视机，正在播放新闻．
3. 把抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的解析式为（ ）
A. y=2（x+3）2+2 B. y=2（x﹣2）2+3
C. y=2（x+2）2+3 D. y=2（x﹣3）2+2
4. 二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）．
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
6. 在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中没有留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A. E、F、G B. F、G、H C. G、H、E D. H、E、F
7. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. cm
8. 抛物线部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
9. 如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A. 0.5厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.0厘米/分 D. 1.6厘米/分
10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（没有包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 已知⊙O的半径是4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在__．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
12. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________
13. 抛物线的对称轴是直线____________.
14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
15. 如图所示，若⊙O 半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为___________
16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象点A（﹣2，0），B（0， ），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD，PB+PD的最小值为________.
三、解 答 题（共8题，共80分）
17. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
18. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象点A（－1，12），B（2，－3）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标.
19. 在一个没有透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
20. 某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市场分析，如果按每件50元，一周能售出500件，若单价每涨1元，每周量就减少10件．设单价为每件x元（x≥50），一周的量为y件．
（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）
（2）设一周的利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
（3）在超市对该种商品投入没有超过10 000元的情况下，使得一周利润达到8 000元，单价应定为多少？
21. 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，B点坐标为（5,0）点C(0，5)，M为它的顶点.
(1)求抛物线解析式；
(2)求△MAB的面积．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于B,C两点（B在C的左侧），与y轴交于点A．
（1）求出点A,B,C的坐标．
（2）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好△ABC的外心，求出平移后的抛物线的解析式.
23. 如图，在两个全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC没有动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．
(1)如图②，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.求证：CF＝CH；
(2)如图③，当α＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并说明理由；
(3)如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连结BD，当旋转角α的度数为多少时，△BDH是等腰三角形？
24. 如图，直线y＝x＋b与抛物线y＝x2＋x＋c相交于点A（6，8）与点B，P是线段AB的中点，D是抛物线上的一个动点，直线DP交x轴于点C．
（1）分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标．
（2）四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若没有能，请说明理由．
（3）当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么三角形？请说明理由，并写出所有符合这一性的点D的坐标．
2022-2023学年浙江省杭州市九年级上册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选(本题有10小题，每小题4分，共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，没有选、多选、错选，均没有给分)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数是（ ）
A. y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
【正确答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、y=3x-1函数，没有是二次函数，没有符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当时，没有是二次函数，没有符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中没有是整式，故y=x2+ 没有是二次函数，没有符合题意．
故选：C．
此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
2. 下列为必然的是 ( )
A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上； B. 篮球运动员投篮，投进篮筐；
C. 一个星期有七天； D. 打开电视机，正在播放新闻．
【正确答案】C
【详解】试题分析：因为任意掷一枚均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，所以A是随机而没有是必然，所以A错误；篮球运动员投篮，可能投进篮筐，也可能投没有进篮筐，所以B是随机而没有是必然，所以B错误；因为一个星期就只有七天，所以C是必然，所以C正确；因为打开电视机，可能正在播放新闻，也可能没有播放新闻，所以D是随机而没有是必然，所以D错误；故选C．
考点：必然
3. 把抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的解析式为（ ）
A. y=2（x+3）2+2 B. y=2（x﹣2）2+3
C. y=2（x+2）2+3 D. y=2（x﹣3）2+2
【正确答案】A
【详解】试题分析：先由二次函数的性质得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律，点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣3，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
解：抛物线y=2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得对应点的坐标为（﹣3，2），所以平移后的抛物线的解析式是y=2（x+3）2+2．
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
4. 二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由二次函数的图象可得a<0，c>0，根据函数图象的性质即可判断出正确答案.
【详解】∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∴y=ax+c的图象一、二、四象限，与y轴交于正半轴，
∴选项B符合题意，
故选B.
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下；与y轴的交点坐标为(0，c)．也考查了函数的图象．
5. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）．
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【正确答案】D
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．
故选D．
考点：旋转的性质．
6. 在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中没有留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（ ）
A E、F、G B. F、G、H C. G、H、E D. H、E、F
【正确答案】A
【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．得到哪些树需要移除．
【详解】解：∵OA=，
∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，
OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，
OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，
OH=＞OA，所以点H在⊙O外，
故选：A．
此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．
7. 过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A. 9cm B. 6cm C. 3cm D. cm
【正确答案】C
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故选：C．
本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
8. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【正确答案】B
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
本题主要考查的是二次函数与没有等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x轴两个交点的坐标是解题的关键．
9. 如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的平均速度为（ ）
A. 0.5厘米/分 B. 0.8厘米/分 C. 1.0厘米/分 D. 1.6厘米/分
【正确答案】B
【详解】试题分析： 如图；过圆心O作OC⊥AB于C，延长CO交⊙O于D，连接OA；Rt△OAC中，AC=AB=4cm，OA=5cm；根据勾股定理，得：OC==3cm；∴CD=OC+OD=8cm；所以太阳上升的速度为：8÷10=0.8厘米/分；故选B．
考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（没有包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
【正确答案】D
【详解】①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y==0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1，
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣＜8a，
故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞，
故④正确；
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c，
故⑤正确．
故选：D．
本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形来进行判断是解题的关键．
二、填 空 题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 已知⊙O的半径是4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A在__．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
【正确答案】圆内
【分析】根据点到圆心的距离d与圆的半径r大小的比较，确定点A与⊙O的位置关系：d>r,点在圆外；d=r,点在圆上；d
故答案为圆内.
本题考查是点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离比圆的半径小，可以确定点A在圆内．
12. 若y=（a-1）x3a2−1是关于x的二次函数，则a=________
【正确答案】-1
【详解】由二次函数的定义可知自变量的指数为2，且系数没有等于0，可得3a2-1=2；解得a=±1；又因a-1≠0；即a≠1；最终可求得a=-1．
故答案为-1.
点睛：此题主要考查了二次函数的概念，由二次函数的定义可知自变量的指数为2，且系数没有等于0，列出方程与没有等式解答是关键.
13. 抛物线的对称轴是直线____________.
【正确答案】x=3
【分析】根据二次函数对称轴直线方程,代入直线方程即可求解.
【详解】由二次函数对称轴直线方程可得:
抛物线的对称轴是直线,
故答案为.
本题主要考查二次函数对称轴直线方程,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴直线方程.
14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
【正确答案】5
【分析】直角三角形的外接圆圆心就是斜边的中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半．根据勾股定理，斜边为10cm，所以外接圆的半径就是5cm．
【详解】解：∵Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边为10cm，
∴外接圆的半径就是5cm．
故5
15. 如图所示，若⊙O 半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为___________
【正确答案】24㎝
【分析】过O点作OC⊥AB于C，连OA，根据垂线段最短得到OC=5cm，根据垂径定理得到AC=BC，再利用勾股定理计算出AC，即可得到AB．
【详解】过O点作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴OC=5cm，AC=BC，
在Rt△OAC中，OA=13cm，
∴AC=（cm），
∴AB=2AC=24cm．
故答案为24cm．
16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象点A（﹣2，0），B（0， ），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD，PB+PD的最小值为________.
【正确答案】
【分析】如图所示,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,由于OA=2,OB=,
因此,根据三角函数值可得:,根据直角三角形的性质可得:PH=,即,则此时最小,在Rt△ADH中,根据,AD=3,,由此可得:,解得:,即最小值为:.
【详解】如图所示,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此时最小,
理由:因为OA=2,OB=,
所以,
所以,
所以PH=,
所以,
所以此时最小,
在Rt△ADH中,因为,AD=3,,
所以,
所以,
所以最小值为:,
故答案为:.
本题主要考查二次函数图象与三角函数综合,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数和三角函数知识点.
三、解 答 题（共8题，共80分）
17. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．
【正确答案】8
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故答案为8
本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
18. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象点A（－1，12），B（2，－3）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标.
【正确答案】（1）y=x2-6x+5；（2）（1，0） （5，0）
【分析】（1）根据待定系数法,把点A（-1,12）,B（2,-3）的坐标代入y=x2+bx+c得:
,解方程组可得:,因此二次函数关系式是:y=x2-6x+5,
（2）根据二次函数顶点坐标公式代入即可求出顶点（3,-4）,根据二次函数与一元二次方程的关系,令x2-6x+5=0,解得x 1=1,x 2=5 , 因此求得二次函数与x轴的交点坐标为（1,0）, （5,0）.
【详解】（1）把点A（-1,12）,B（2,-3）的坐标代入y=x2+bx+c得:
,解得:,
∴y=x2-6x+5,
（2）顶点（3,-4）,
令x2-6x+5=0,解得x 1=1,x 2=5 ,
∴与x轴的交点坐标为（1,0）, （5,0）.
本题主要考查待定系数法求二次函数关系式,二次函数与一元二次方程的关系,解决本题关键是要熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系
19. 在一个没有透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．
（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？
（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．
【正确答案】(1)；(2)
【详解】解：（1）取出黄球的概率是；
（2）画树状图得：
如图所有可能出现的结果有9个，每个结果发生的可能性都相同，
其中出现两次白色球的结果有1个.所以，P（两次取出白色球）=．
20. 某超市经销一种成本为每件40元的商品．据市场分析，如果按每件50元，一周能售出500件，若单价每涨1元，每周量就减少10件．设单价为每件x元（x≥50），一周的量为y件．
（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）
（2）设一周的利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
（3）在超市对该种商品投入没有超过10 000元的情况下，使得一周利润达到8 000元，单价应定为多少？
【正确答案】（1）；（2），当时，利润随着单价的增大而增大；（3）单价应定为80元，才能使得一周利润达到8000元的同时，投入没有超过10000元．
【分析】（1）根据单价每涨1元,每周量就减少10件,可得一周量,根据原量为500件可得:,解得:,因此自变量取值范围为:.
（2）根据利润=(售价-进价)×量,可得:=,再根据二次函数图象性质可得:当时,利润随着单价的增大而增大,
（3）根据利润=(售价-进价)×量,可得,
,解得:,当时,成本=没有符合要求,舍去, 当时,成本=符合要求,符合要求,单价应定为80元,才能使得一周利润达到8000元的同时,投入没有超过10000元.
【详解】（1）,
（2）,
,
=,
当时,利润随着单价的增大而增大,
（3）,
,
,
,
,
当时,成本=没有符合要求,舍去,
当时,成本=符合要求,符合要求,
单价应定为80元,才能使得一周利润达到8000元的同时,投入没有超过10000元.
本题主要考查二次函数解决商品问题,解决本题的关键是要熟练掌握商品问题中量与价格关系,利润与价格之间关系.
21. 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，B点坐标为（5,0）点C(0，5)，M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MAB的面积．
【正确答案】（1） y=-x2+4x+5 (2) 27
【详解】试题分析：（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；
（2）求出二次函数的顶点坐标，根据三角形面积计算公式求出答案．
试题解析：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象（-1，0）、（0，5）和（0，5），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；
（2）∵B点坐标为（5，0），
∴AB=5-（-1）=6，
∵y=-x2+4x+5，
∴y=-（x-2）2+9，
∴抛物线图象的顶点坐标为（2，9），
∴S△AMB=×6×9=27．
本题考查了抛物线与x轴交点以及待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度没有大．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于B,C两点（B在C的左侧），与y轴交于点A．
（1）求出点A,B,C的坐标．
（2）向右平移抛物线，使平移后的抛物线恰好△ABC的外心，求出平移后的抛物线的解析式.
【正确答案】（1）A(0,4), B(-2,0), C(8,0) ；(2)
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系,令y=0,可得:,,解得:,继而求出B(-2,0), C(8,0), 令x=0,则y=4,继而求出A(0,4),
(2) 根据 ,因此可得:,根据勾股定理逆定理可得:△ABC是直角三角形,根据直角三角形性质可得:△ABC的外心为（3,0）,
再根据二次函数图象平移可得:抛物线向右平移5个单位,平移后的抛物线为:.
【详解】（1）A(0,4), B(-2,0), C(8,0),
(2) ∵ ,
∴,
∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的外心为（3,0）,
∴抛物线向右平移5个单位,
平移后的抛物线为:.
本题主要考查二次函数与坐标轴交点问题,二次函数图象平移,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法和二次函数图象平移规律.
23. 如图，在两个全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC没有动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．
(1)如图②，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.求证：CF＝CH；
(2)如图③，当α＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并说明理由；
(3)如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连结BD，当旋转角α的度数为多少时，△BDH是等腰三角形？
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACDM是菱形．理由见解析；（3）α=30°，即当旋转角α的度数为30°时，△BDH是等腰三角形．
【分析】（1）根据△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,可得:∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,再根据△ABC没有动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,
进而可得:CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,根据全等三角形的判定定理可得:△CAF≌△CDH,根据全等三角形的性质可得:CF=CH,
（2）根据∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,可得:∠AFC=90°,而∠FCD=90°,进而可得:AB∥CD,同理可得AC∥DE,根据平行四边形的判定可得:四边形ACDM是平行四边形,根据CA=CD,根据菱形的定义可得:四边形ACDM是菱形,
（3）根据CB=CD,∠BCD=α,可得:∠CBD=∠CDB=（180°-α）,继而可得:∠HBD＞∠BDH,
即当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形,根据∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,然后分类讨论:当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°, 当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,因此α=30°,即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形．
【详解】（1）证明:∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,
∵△ABC没有动,把△EDC绕点C按顺时针方向旋转,旋转角为α,
∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,
∴△CAF≌△CDH,
∴CF=CH,
（2）四边形ACDM是菱形,理由如下:
∵∠ACE=∠BCD=45°,而∠A=45°,
∴∠AFC=90°,而∠FCD=90°,
∴AB∥CD,
同理可得AC∥DE,
∴四边形ACDM是平行四边形,
而CA=CD,
∴四边形ACDM是菱形,
（3）∵CB=CD,∠BCD=α,
∴∠CBD=∠CDB=（180°-α）,
∴∠HBD＞∠BDH,
∴当DB=DH或BH=BD时,△BDH是等腰三角形,
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,
当DB=DH,则∠HBD=∠BHD,即（180°-α）=α+45°,解得α=30°,
当BH=BD,则∠BHD=∠BDH,即α+45°=（180°-α）-45°,解得α=0°（舍去）,
∴α=30°,即当旋转角α的度数为30°时,△BDH是等腰三角形.
本题主要考查几何图形旋转探究问题,解决本题的关键是要熟练掌握几何旋转图形的性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,等腰三角形的性质.
24. 如图，直线y＝x＋b与抛物线y＝x2＋x＋c相交于点A（6，8）与点B，P是线段AB的中点，D是抛物线上的一个动点，直线DP交x轴于点C．
（1）分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标．
（2）四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若没有能，请说明理由．
（3）当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么三角形？请说明理由，并写出所有符合这一性的点D的坐标．
【正确答案】（1）（－4，－2），（1，3）；（2）OC＝－3或＋3；（3）符合△APD是直角三角的点D还有：（－12，26），（－3＋，7－），（－3－，7＋）．
【分析】（1）利用待定系数法,把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,
得b＝2,c＝－4,求得函数关系式为:y＝x＋2,y＝x2＋x－4,从而求出点B,P的坐标分别为（－4,－2）,（1,3）,
（2）作PE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,则DF＝2PE＝6,当y＝6时,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,然后分情况讨论:当点C在直线AB的左侧时（如答图1）,OF＝－1,进而可得:CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．因此可得:OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3;当点C在直线AB的左侧时（如答图2）,OF＝＋1,进而可得:CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,从而可得:OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3.
（3）作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,过点D作MN分别垂直AG,PE于M,N,可得:EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,AM＝AG－MG＝6进而可得:DP＝,AD＝2,根据AP＝5,可得:DP2＋AD2＝AP2,根据勾股定理逆定理可得:∠ADP＝90º,即△APD是直角三角形,符合△APD是直角三角的点D还有:（－12,26）,（－3＋,7－）,（－3－,7＋）.
【详解】（1）把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,
得b＝2,c＝－4,
∴y＝x＋2,y＝x2＋x－4,
点B,P的坐标分别为（－4,－2）,（1,3）,
（2）作PE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,则DF＝2PE＝6,
当y＝6时,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,
当点C在直线AB的左侧时（如答图1）,OF＝－1,
∴CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．
∴OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3．
当点C在直线AB的左侧时（如答图2）,OF＝＋1，
∴CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,
∴OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3．
综上所述,OC＝－3或＋3,
答图1 答图2 答图3
（3）当点D的坐标为（4,2）时,△APD是直角三角形,理由如下:
如答图3,作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,
过点D作MN分别垂直AG,PE于M,N,
则EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,
AM＝AG－MG＝6．
∴DP＝,AD＝2,
∵AP＝5,
∴DP2＋AD2＝AP2,
∴∠ADP＝90º,即△APD是直角三角形（用相似证明同样给分）,
符合△APD是直角三角的点D还有:（－12,26）,（－3＋,7－）,
（－3－,7＋）.
本题主要考查二次函数与几何图形综合,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的图象性质.
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