四川省达州市达川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（有答案）

这是一份四川省达州市达川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（有答案）

2022-2023学年四川省达州市达川区九年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）如图，该几何体的主视图是（　　）A． B． C． D．2．（4分）一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．3，5，1 B．3，1，5 C．3，﹣5，1 D．3，1，﹣53．（4分）顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是（　　）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．对角线互相垂直的四边形4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），BC＝3，则EF的长为（　　）A．2 B．4.5 C．4 D．65．（4分）已知，则的值是（　　）A． B． C． D．6．（4分）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（　　）A．③④①② B．②①④③ C．④①②③ D．④①③②7．（4分）已知A（x1，3），B（x2，a），C（x3，﹣2）三个点都在一个反比例函数的图象上，其中x1＞x2＞x3，则a的取值范围是（　　）A．﹣2＜a＜3 B．a＞3或a＜﹣2 C．0＜a＜3 D．0＜a＜3或a＜﹣28．（4分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　）A． B． C． D．9．（4分）对于任意实数a、b，定义f（a，b）＝a2+5a﹣b，如：f（2，3）＝22+5×2﹣3，若f（x，2）＝4，则实数x的值是（　　）A．1或﹣6 B．﹣1或6 C．﹣5或1 D．5或﹣110．（4分）如图，矩形AOBC的边OA＝3，OB＝4，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k＝6，则△OEF的面积为；②若k＝，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE⋅EG＝，则k＝2；其中正确的命题个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝　 　．12．（4分）一个不透明口袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球和2个白球．搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到球颜色相同的概率为 　 　．13．（4分）某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为　 　．14．（4分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，…，P2023，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2022，则S1+S2+S3+…+S2022＝　 　．15．（4分）如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝3，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是 　 　．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（8分）（1）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．（2）先化简，再求代数式的值，其中．17．（8分）线上教学随时代变化得以有力发展，通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送，让学生更便捷的获取知识．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．（1）此次调查中，共抽查了 　 　名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α＝　 　；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）18．（6分）如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，∠DEF＝90°，DF＝0.5m，EF＝0.3m．他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，测得边DF离地面高度AC＝2.5m，CD＝8m，求树高AB．19．（8分）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1个单位长度）建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）．（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，作出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A2B2C2作出△A2B2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．20．（8分）某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度h（m）和经过的水平距离d（m）可用公式h＝d﹣0.01d2来估计．（1）当球的水平距离达到30m时，球上升的高度是多少？（2）若在击球点A正东方向101米处有一球洞B，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从A点直接打入球洞B点，并说明理由．21．（10分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．22．（10分）如图，一次函数y＝x+m与反比例函数y＝的图象相交于A（2，1），B两点．（1）求m及k的值；（2）不解关于x，y的方程组，直接写出点B的坐标；（3）看图象直接写出，x+m＞时，自变量x的取值范围．23．（8分）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．（1）求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？（2）根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形AOCB．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．25．（12分）课本再现：（1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F．求PE+PF的值．如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程．知识应用：（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM＝13，CN＝5，求▱PEGF的周长．（3）如图③，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点H1、H2、H3．若PH1﹣PH2+PH3＝3，请直接写出△ABC的面积．2022-2023学年四川省达州市达川区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）如图，该几何体的主视图是（　　）A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看下面是一个大矩形，上面是一个小矩形，故选：B．2．（4分）一元二次方程3x2+1＝5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）A．3，5，1 B．3，1，5 C．3，﹣5，1 D．3，1，﹣5【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．【解答】解：∵3x2+1＝5x，∴3x2﹣5x+1＝0，∴一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，1，故选：C．3．（4分）顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是（　　）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．对角线互相垂直的四边形【分析】利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：如图，四边形ABCD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，则在△ABD中，根据三角形中位线的性质可得：EF∥BD，，同理可得：HG∥BD，，EH∥AC，，FG∥AC，，∴EF∥HG，EH∥FG，，，∴四边形EFGH是平行四边形，∴顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，即当四边形的对角线AC＝BD时，即有：，则所得图形一定是菱形，平行四边形、菱形、对角线相互垂直的四边形这三种四边形的对角线不一定总相等，矩形的对角线一定相等，即矩形满足条件，故选：C．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），BC＝3，则EF的长为（　　）A．2 B．4.5 C．4 D．6【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算得到答案．【解答】解：∵A（﹣2，0），D（3，0），∴OA＝2，OD＝3，∴OA：OD＝2：3，∵△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，∴BC：EF＝OA：OD＝2：3，∵BC＝3，∴EF＝4.5，故选：B．5．（4分）已知，则的值是（　　）A． B． C． D．【分析】由＝，于是可设a＝3k，则b＝2k，代，计算即可求解．【解答】解：∵＝，设a＝3k，则b＝2k，则＝＝，故选：D．6．（4分）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（　　）A．③④①② B．②①④③ C．④①②③ D．④①③②【分析】根据平行投影的意义可得，树的影子的位置、长度随时间的变化而变化，进行判断即可．【解答】解：根据影子的位置和长度，可以判断照片的先后顺序，早晨太阳在东方，树的影子在树的西方，影长较长，随时间的推移，影子的位置依次经过西北、北、东北、东，影长先逐渐变短，随后又逐渐变长，故顺序为：②①④③．故选：B．7．（4分）已知A（x1，3），B（x2，a），C（x3，﹣2）三个点都在一个反比例函数的图象上，其中x1＞x2＞x3，则a的取值范围是（　　）A．﹣2＜a＜3 B．a＞3或a＜﹣2 C．0＜a＜3 D．0＜a＜3或a＜﹣2【分析】由3x1＝ax2＝﹣2x3，得x1x3＜0，再由x1＞x2＞x3，得x1＞0，x3＜0，从而A（x1，3）一定在第一象限，C（x3，﹣2）一定在第三象限，再由反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小得当x2＜0时，a＜﹣2；当x2＞0时，a＞3．写上a的范围即可．【解答】解：∵A（x1，3），B（x2，a），C（x3，﹣2）三个点都在一个反比例函数的图象上，∴3x1＝ax2＝﹣2x3，∴x1x3＜0，∵x1＞x2＞x3，∴x1＞0，x3＜0，∴A（x1，3）一定在第一象限，C（x3，﹣2）一定在第三象限，且反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，当x2＜0时，a＜﹣2，当x2＞0时，a＞3．综上，a＜﹣2或a＞3．故选：B．8．（4分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：＝．故选：A．9．（4分）对于任意实数a、b，定义f（a，b）＝a2+5a﹣b，如：f（2，3）＝22+5×2﹣3，若f（x，2）＝4，则实数x的值是（　　）A．1或﹣6 B．﹣1或6 C．﹣5或1 D．5或﹣1【分析】根据新定义得到x2+5x﹣2＝4，整理得x2+5x﹣6＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：根据题意得x2+5x﹣2＝4，整理得x2+5x﹣6＝0，（x+6）（x﹣1）＝0，x+6＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣6，x2＝1．故选：A．10．（4分）如图，矩形AOBC的边OA＝3，OB＝4，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k＝6，则△OEF的面积为；②若k＝，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE⋅EG＝，则k＝2；其中正确的命题个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①若k＝6，则计算S△OEF＝，故命题①正确；②如答图所示，若k＝，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，即可得出k的范围；④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG＝，求出k＝1，故命题④错误．【解答】解：命题①正确．理由如下：∵k＝6，∴E（2，3），F（4，），∴CE＝4﹣2＝2，CF＝3﹣＝，∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF＝S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF＝4×3﹣×3×2﹣×4×﹣×2×＝，故①正确；命题②正确．理由如下：∵k＝，∴E（，3），F（4，），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣＝．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝；在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝，连接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝＝，∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣﹣＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝＝．∴NF＝CF，又∵EN＝CE，∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故②正确；命题③正确．理由如下：由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，∴0＜k＜12，故③正确；命题④错误．理由如下：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．设直线EF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴y＝﹣x+3m+3．令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE•EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命题④错误．综上所述，正确的命题是：①②③，共3个，故选：C．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝　﹣2　．【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）一个不透明口袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球和2个白球．搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到球颜色相同的概率为 　　．【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有25种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为13，所以两次都摸到红球的概率为．故答案为：．13．（4分）某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的表面积为　8π　．【分析】由三视图可知，这个一个水平放置的圆柱，它的底面直径为2，高为3，根据圆柱的表面积计算公式即可解答．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个圆柱体，其表面积＝2×π×（2÷2）2+π×2×3＝8π．故答案为：8π．14．（4分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，…，P2023，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2022，则S1+S2+S3+…+S2022＝　　．【分析】求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．【解答】：当x＝1时，P1的纵坐标为2，当x＝2时，P2的纵坐标1，当x＝3时，P3的纵坐标，当x＝4时，P4的纵坐标，当x＝5时，P5的纵坐标，…则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；S2＝1×（1﹣）＝1﹣；S3＝1×（﹣）＝﹣；S4＝1×（﹣）＝﹣；…Sn＝﹣；S1+S2+S3+…+Sn＝2﹣1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝，∴S1+S2+S3+…+S2022＝＝．故答案为：．15．（4分）如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝3，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是 　3﹣　．【分析】当M、S、P共线时，PM取最小值等于PS﹣MS．△AOB∽△DOC中，OB和OC是对应边，OA和OD是对应边．【解答】解：如图，取AB的中点S，连接MS、PS，则PS﹣MS≤PM≤MS+PS．∵∠AOB＝90°，OA＝3，∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，OB＝3．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠COB＝∠DOA．∵△AOB∽△DOC，∴＝，∴△COB∽△DOA，∴∠OBC＝∠OAD．∵∠OBC+∠PBO＝180°，∴∠OAD+∠PBO＝180°，∠AOB+∠APB＝180°，∴∠APB＝∠AOB＝90°，又∵S为AB的中点，∴PS＝AB＝3．∵M为OA的中点，S为AB的中点，∴MS＝OB＝，∴MP的最小值为3﹣．故答案为：3﹣．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（8分）（1）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．（2）先化简，再求代数式的值，其中．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，然后把x的值代入化简后的式子计算，得到答案．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，（x﹣7）（x+1）＝0，∴x﹣7＝0或x+1＝0，∴x1＝7，x2＝﹣1；（2）原式＝（+）÷＝•＝，当时，原式＝＝＝．17．（8分）线上教学随时代变化得以有力发展，通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送，让学生更便捷的获取知识．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．（1）此次调查中，共抽查了 　200　名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α＝　72°　；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；（2）求出“C效果一般”的人数，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；（3）画树状图，共有12种等可能结果，“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的结果有4种．再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）条形统计图中，C的人数为：200﹣80﹣60﹣20＝40（名），∴∠α＝360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：故答案为：72°；（3）把认为效果很好的记为A、B，认为效果较好的记为C，认为效果一般的记为D，画树状图如下：共有12种等可能结果，“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的结果有4种．∴“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率为＝．18．（6分）如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，∠DEF＝90°，DF＝0.5m，EF＝0.3m．他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，测得边DF离地面高度AC＝2.5m，CD＝8m，求树高AB．【分析】利用相似三角形的判定得到△DEF∽△DCB，由相似三角形的性质求得BC的长，则AB＝AC+BC．【解答】解：由题意得：DC⊥BC，∵∠DEF＝90°，DF＝0.5m，EF＝0.3m，∴DE＝＝0.4m，∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∴＝，∴BC＝6m．∴AB＝AC+BC＝2.5+6＝8.5m．答：树高AB为8.5m．19．（8分）如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1个单位长度）建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）．（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，作出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A2B2C2作出△A2B2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C的对应点C2的坐标为（﹣6，6）．20．（8分）某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度h（m）和经过的水平距离d（m）可用公式h＝d﹣0.01d2来估计．（1）当球的水平距离达到30m时，球上升的高度是多少？（2）若在击球点A正东方向101米处有一球洞B，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从A点直接打入球洞B点，并说明理由．【分析】以直线AB为x轴，过点A的直线为y轴建立坐标系，（1）把d＝30代入公式h＝d﹣0.01d2即可求解；（2）把h＝0代入可得关于d的方程，解方程即可求解．【解答】解：如图，（1）当d＝30时，h＝d﹣0.01d2＝30﹣0.01×302＝21（m）．答：当球的水平距离达到30m时，球上升的高度是21m．（2）不能，理由如下：当h＝0时，d﹣0.01d2＝0，解得d1＝0（舍去），d2＝100，∵100≠101，∴此高尔夫球手这一杆不能把高尔夫球从A点直接打入球洞B点．21．（10分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，在△CDG和△CFG中，，∴△CDG≌△CFG（SAS），∴FG＝GD，∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2＝AF2+AG2，∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG＝．22．（10分）如图，一次函数y＝x+m与反比例函数y＝的图象相交于A（2，1），B两点．（1）求m及k的值；（2）不解关于x，y的方程组，直接写出点B的坐标；（3）看图象直接写出，x+m＞时，自变量x的取值范围．【分析】（1）将A（2，1）分别代入一次函数和反比例函数即可解得m，k；（2）根据反比例函数的对称性可知A，B两点关于直线x＝﹣y对称，可得B点坐标；（3）根据图象，观察即可求得答案．【解答】解：（1）将m，k分别代入一次函数y＝x+m与反比例函数y＝，可得，1＝2+m，1＝，解得：m＝﹣1，k＝2；（2）∵A，B两点关于直线x＝﹣y对称，∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）﹣1＜x＜0和x＞2．23．（8分）五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．（1）求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？（2）根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？【分析】（1）设采摘1公斤草莓的费用是x元，采摘1公斤枇杷的费用是y元，根据“采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采摘草莓每公斤应降价m元，则采摘1公斤草莓的费用是（35﹣m）元，平均每天采摘草莓（30+2×）公斤，根据天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设采摘1公斤草莓的费用是x元，采摘1公斤枇杷的费用是y元，根据题意得：，解得：．答：采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元．（2）设采摘草莓每公斤应降价m元，则采摘1公斤草莓的费用是（35﹣m）元，平均每天采摘草莓（30+2×）公斤，根据题意得：（35﹣m）（30+2×）+20×20＝1386，整理得：m2+10m﹣96＝0，解得：m1＝6，m2＝﹣16（不符合题意，舍去）．答：采摘草莓每公斤应降价6元．24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形AOCB．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PAO＝，构建方程即可解决问题；（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴点B的坐标为（4，3），∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上∴k＝12，∴y＝，设点P的纵坐标为m（m＞0），∵S△PAO＝．∴•OA•m＝OA•OC•，∴m＝2，当点，P在这个反比例函数图象上时，则2＝，∴x＝6∴点P的坐标为（6，2）．（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，∴点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，则PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A＝＝4．（3）①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P1（4﹣，2），P2（4+，2），∴Q1（4﹣，5），Q2（4+，5）．②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P3（4﹣2，2），P4（4+2，2），∴Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．综上所述，点Q的坐标为Q1（4﹣，5），Q2（4+，5），Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．25．（12分）课本再现：（1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F．求PE+PF的值．如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程．知识应用：（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM＝13，CN＝5，求▱PEGF的周长．（3）如图③，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点H1、H2、H3．若PH1﹣PH2+PH3＝3，请直接写出△ABC的面积．【分析】（1）连接PO，由矩形的性质得出S矩形ABCD＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，再由勾股定理得AC＝5，则S△AOD＝3，OA＝OD＝，然后由三角形面积即可得出结论；（2）连接BP，过点M作MH⊥BC于H，证DM＝BM＝BN＝13，则AD＝BC＝18，再由勾股定理得AB＝12，然后由三角形面积求出PE+PF＝12，即可解决问题；（3）连接AP，BP，CP，由S△ABC＝S△ABP+S△BCP﹣S△ACP，求得AB＝PH1﹣PH2+PH3，∵PH1﹣PH2+PH3＝3，∴AB＝2，从而求出S△ABC．【解答】解：（1）如图1，连接PO，∵四边形ABCD是矩形，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝3×4＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∴AC＝＝＝5，S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝×12＝3，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，解得：PE+PF＝；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DMN＝∠BNM，连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB，由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，∴DM＝BM＝BN＝13，∴AD＝BC＝BN+CN＝13+5＝18，∴AM＝AD﹣DM＝18﹣13＝5，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，∴MH＝12，∵S△BMN＝S△PBM+S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴BN•MH＝BM•PE+•BN•PF，∵BM＝BN，∴PE+PF＝MH＝12，∴▱PEGF的周长＝2（PE+PF）＝2×12＝24；（3）如图3，连接AP，BP，CP，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP﹣S△ACP，∴AB2＝+3﹣，∴AB＝PH1﹣PH2+PH3，∵PH1﹣PH2+PH3＝3，∴AB＝2，∴S△ABC＝＝3．