2022-2023学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的
1．（4分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）

A． B．
C． D．
2．（4分）已知3x＝2y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）若将方程x2﹣6x+5＝0配方成（x+m）2＝n的形式，以下正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝﹣4 D．（x+3）2＝﹣4
4．（4分）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（　　）

A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6）
5．（4分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）

A．0 B． C． D．
6．（4分）如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　）

A．12 B．11 C．10 D．24
7．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣4且a≠0 D．a≥﹣4且a≠0
8．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝5，则线段BC的长是（　　）

A． B．1 C． D．3
9．（4分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行．反比例函数y的图象，与大正方形的一边交于点A（，4），且经过小正方形的顶点B，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．30 C．40 D．
10．（4分）如图．矩形OAPB的顶点P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点E、F分别是矩形的边PA，PB上的动点，直线EF分别交y轴、x轴于C，D两点．现给出如下命题：①若点E、F恰同在反比例函数y（k＞m＞0）的图象上，则S四边形OEPF＝k﹣m；②△ACE≌△BFD；③若OC＝OD，则△OCF∽△EOF；④CE+DF＝EF．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）如果，那么　 　．
12．（4分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0的一个根为x＝3，则方程的另一根是 　 　．
13．（4分）如图，在直角坐标系中，点P（3，2）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（2，1），（5，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 　 　．

14．（4分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 　 　．

15．（4分）如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去••••••则点A2022的横坐标为 　 　．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共10小题，满分
16．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，求α2+3α+β的值．
17．（8分）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作―些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？　 　（填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为2dm的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 　 　个正方体纸盒．

18．（8分）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹．
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，点A、B、C、D均在格点上．

（1）在图①中，以点O为位似中心，画△DEF，使△ABC与△DEF位似，且位似比为1：2．
（2）在图②中的BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
19．（9分）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．
20．（9分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是 　 　人，圆心角β＝　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．

21．（9分）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？

22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B；
（1）求证：AB•CM＝BP•PC；
（2）当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度．

23．（10分）二十大即将到来之际，某社区为了庆祝二十大的到来，计划购买A与B两种庆祝二十大贴花共500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．
（1）求计划购买多少张A，B贴花？
（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．
24．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b图象分别与x轴、y轴相交于点A，B两点，且与反比例函数的图象相交于点C，D两点，AB＝3BC，点C的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数表达式；
（2）以AB为边作▱ABEF，使点F在x轴负半轴上，点E在第二象限，若．线段EF与反比例函数在第二象限的交点为M，求点M的坐标．

25．（10分）研究与应用：
【自学研究】兴趣小组深入探究，发现：在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，），已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　 　．
【学以致用】如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F，一次函数y＝kx+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
【深入研究】（3）小组成员又发现：如图1中，连接AC，则EF∥AC．（如图2），于是想到：如果在双曲线y（x＞0）上任取两点E、F，作EA⊥y轴于A点，作FC⊥x轴于C点，是否仍存在EF∥AC（如图3）．若存在，请证明．



2022-2023学年四川省达州市渠县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的
1．（4分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：由三视图可知这个几何体是：

故选：A．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
2．（4分）已知3x＝2y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把每一个选项的比例式转化为等积式，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵，
∴2x＝3y，
故A不符合题意；
B、∵，
∴3x＝2y，
故B符合题意；
C、∵，
∴2x＝3y，
故C不符合题意；
D、∵，
∴xy＝6，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（4分）若将方程x2﹣6x+5＝0配方成（x+m）2＝n的形式，以下正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝﹣4 D．（x+3）2＝﹣4
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2﹣6x+5＝0，
∴x2﹣6x＝﹣5，
则x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．（4分）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），则点D的坐标为（　　）

A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6）
【分析】根据长方形的性质求出点D的横坐标与纵坐标，即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∵A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），
∴点D的横坐标与点A的横坐标相同，为﹣6，
点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为﹣3，
∴点D的坐标为（﹣6，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了矩形的对边平行且相等的性质，作出图形更形象直观．
5．（4分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）

A．0 B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故选：C．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　）

A．12 B．11 C．10 D．24
【分析】证明四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则△POF的面积等于△AOE的面积．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．
【解答】解：设AP与EF相交于O点．

∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE．
∴四边形AEPF是平行四边形．
∴S△POF＝S△AOE．
∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，
∴△ABC的面积菱形的面积（6×8）＝12，
则阴影部分的面积是12．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是得出阴影部分的面积就是△ABC的面积．
7．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣4且a≠0 D．a≥﹣4且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣4且a≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝5，则线段BC的长是（　　）

A． B．1 C． D．3
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，

则，即2，
解得：BC，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．（4分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行．反比例函数y的图象，与大正方形的一边交于点A（，4），且经过小正方形的顶点B，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．30 C．40 D．
【分析】先根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，再根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝24，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4×42＝64，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．
【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（，4），
∴k4＝6，
∴反比例函数的解析式为y，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y的图象经过B点，
∴m，
∴m2＝6，
∴小正方形的面积为4m2＝24，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（，4），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（4，4），
∴大正方形的面积为4×42＝64，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝64﹣24＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
10．（4分）如图．矩形OAPB的顶点P在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，点E、F分别是矩形的边PA，PB上的动点，直线EF分别交y轴、x轴于C，D两点．现给出如下命题：①若点E、F恰同在反比例函数y（k＞m＞0）的图象上，则S四边形OEPF＝k﹣m；②△ACE≌△BFD；③若OC＝OD，则△OCF∽△EOF；④CE+DF＝EF．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【分析】作EH⊥OB于H，FG⊥OA于G，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征可设P（a，），则E的纵坐标为，F点的横坐标为a，得出E（，），F（a，），根据S四边形OEPF＝S矩形﹣S△AOE﹣S△BOF＝kmm＝k﹣m；故①正确；证得△ACE∽△BDF，但无法证得AC＝BF，故△ACE与△BFD不一定全等，故②错误；根据OC＝OD，得出∠OCD＝∠ODC＝45°，AC＝AE，BF＝BD，OA＝OB，则P（a，a），进而得出k＝a2，OC＝ODa，进一步得出AC＝AE＝BF＝BD＝（1）a，然后根据tan∠AOE1，求得∠AOE＝22.5°，从而求得∠EOF＝45°，然后根据∠OCF＝∠EOF＝45°，∠OFC＝∠EFO，即可证得△OCF∽△EOF；故③正确；假设E、F分别是PA、PB的中点时，则CE＝EF＝DF，故④错误．
【解答】解：作EH⊥OB于H，FG⊥OA于G，如图，
设P（a，），则E的纵坐标为，F点的横坐标为a，
∵E、F点在反比例函数y的图象上，
∴E（，），F（a，），
∴S四边形OEPF＝S矩形﹣S△AOE﹣S△BOF＝kmm＝k﹣m；故①正确；
∵四边形OAPB是矩形，
∴∠CAE＝∠EPF＝∠FBD＝90°，
∴∠ACE+∠AEC＝∠PEF+∠PFE＝∠BFD+∠BDF＝90°，
∵∠AEC＝∠PEF，∠PFE＝∠BFD，
∴∠AEC＝∠BFD，
∴△ACE∽△BDF，
∵无法证得AC＝BF，
∴△ACE与△BFD不一定全等，故②错误；
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴AC＝AE，BF＝BD，
∴OA＝OB，
∴P（a，a），
∴k＝a2，
∴OC＝ODa，
∴AC＝AE＝BF＝BD＝（1）a，
∴tan∠AOE1，
∴∠AOE＝22.5°，
同理：∠FOB＝22.5°，
∴∠EOF＝45°，
∵∠OCF＝∠EOF＝45°，∠OFC＝∠EFO，
∴△OCF∽△EOF；故③正确；
∵点E、F分别是矩形的边PA，PB上的动点，
假设E、F分别是PA、PB的中点时，则CE＝EF＝DF，故④错误；
故选：C．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，用k表示出E、F两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）如果，那么　　．
【分析】根据分比性质计算．
【解答】解：∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
12．（4分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0的一个根为x＝3，则方程的另一根是 　1　．
【分析】设另一根为α，根据一元二次方程根与系数的关系得出3+α＝k+2，3α＝2k﹣1即可求出答案．
【解答】解：设另一根为α，
则3+α＝k+2且3•α＝2k﹣1，
解得，α＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解题的关键．
13．（4分）如图，在直角坐标系中，点P（3，2）是一个点光源．木杆AB两端的坐标分别为（2，1），（5，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 　6　．

【分析】由点A、点B的坐标可得AB＝3，AB∥x轴，再由点P的坐标可知PN、PM的长，由“相似三角形的相似比等于对应高的比”可求出A′B′的长即可．
【解答】解：如图，延长PAPB交x轴分别于点A′、点B′，过点P作PN⊥x轴，交AB于点M，垂足为N，
∵点A（2，1），点B（5，1），
∴AB＝|2﹣5|＝3，AB∥x轴，
∴PN⊥AB，
又∵点P（3，2），
∴PN＝2，PM＝MN＝1，
∵AB∥x轴，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，
∴A′B′＝2AB＝6，
即AB在x轴上的影长为6，
故答案为：6．

【点评】本题考查中心投影，位置的确定，理解坐标的定义，掌握相似三角形的判定和性质是之前解答的前提．
14．（4分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是 　44　．

【分析】取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【解答】解：取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，
在Rt△ADM中，DM4，
在Rt△AOB中，OMAB＝4，
∴OD的最大值是44，
故答案为：44．

【点评】此题考查的是矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
15．（4分）如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去••••••则点A2022的横坐标为 　　．

【分析】根据直OA的关系式为y＝x，以及OA⊥AB，可得到△AOB是等腰直角三角形，进而得到△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形，设OC＝a＝AC，则点A（a，a），点A在反比例函数y的图象上，可求出a＝1，进而得到点A的横坐标为1，同理BC1＝b＝A1C1，则点A1（2+b，b），求出点A1的横坐标为1，
同理得出点A2的横坐标为；点A3的横坐标为；点A4的横坐标为；点A5的横坐标为；根据规律可得答案．
【解答】解：如图，过点A、A1、A2、A3…分别作AC⊥x轴，A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴…，垂足分别为C、C1、C2、C3…
∵直线OA的关系式为y＝x，OA⊥AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OC＝AC，
同理可得△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形，
设OC＝a＝AC，则点A（a，a），点A在反比例函数y的图象上，
∴a×a＝1，
解得a＝1，
∴点A的横坐标为1，
设BC1＝b＝A1C1，则点A1（2+b，b），点A1在反比例函数y的图象上，
∴（2+b）×b＝1，
解得b1，
∴点A1的横坐标为211；
设B1C2＝c＝A2C2，则点A2（2c，c），点A2在反比例函数y的图象上，
∴（2c）×c＝1，
解得b，
∴点A2的横坐标为2+22；
同理可得点A3的横坐标为；
点A4的横坐标为；
点A5的横坐标为；
…
∴点A2022的横坐标为；
故答案为：．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共10小题，满分
16．（8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，求α2+3α+β的值．
【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式进行配方；
（2）由于α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到α+β＝﹣2，并且α2+2α﹣2024＝0，然后把α2+3α+β可以变为α2+2α+α+β，把前面的值代入即可求出结果．
【解答】解：（1）由原方程移项，得：x2﹣4x＝6，
配方，得：（x﹣2）2＝10，
直接开平方，得：x﹣2＝±，
解得，x1＝2，x2＝2；
（2）∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，
并且α2+2α﹣2024＝0，
∴α2+2α＝2024，
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2024﹣2＝2020，即α2+2α+β的值是2020．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．（8分）【问题情境】
小圣所在的综合实践小组准备制作―些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
（1）图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？　①③④　（填序号）．
（2）小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为2dm的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①请计算出这个几何体的体积；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 　3　个正方体纸盒．

【分析】（1）根据要求动手操作可得结论；
（2）①几何体有6个小正方体组成，由此可得结论；
②根据要求作出判断即可．
【解答】解：（1）①③④能围成无盖的正方体．
故答案为：①③④；

（2）①这个几何体的体积＝2×2×2×6＝48；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加3个正方体．
故答案为：3．
【点评】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（8分）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹．
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的6×6网格中，点A、B、C、D均在格点上．

（1）在图①中，以点O为位似中心，画△DEF，使△ABC与△DEF位似，且位似比为1：2．
（2）在图②中的BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【分析】（1）延长OA到D点使OD＝2OA，延长OB到B点使OE＝2OB，延长OC到F点使OF＝2OC，则△DEF满足条件；
（2）作A点关于A点的对称点F，连接CF交BD于P点，则△PBF与△PDC关于点P位似，由于△PAB与△PFB全等，所以△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）如图1，△DEF为所作；
（2）如图2，点P为所作．

【点评】本题考查了作画﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．
19．（9分）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，代入3a﹣2c＝b可得b＝c，代入回a＝2b﹣c得a＝b；
（2）根据题意知方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0有两个相等的实数根，据此得Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0，解之可得k＝﹣3或k＝1，代回方程求得x的值，判断是否符合题意即可．
【解答】（1）证明：∵方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，
∵3a﹣2c＝b．
∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，
将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：∵a、b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0二根，且a＝b，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0，
解得：k＝1或k＝﹣3，
当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；
当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1（符合题意）．
故k＝1．
【点评】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．
20．（9分）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是 　50　人，圆心角β＝　144　度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．

【分析】（1）用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用360°乘以优异等级的人数所占的百分比得到圆心角β的度数；
（2）先计算出优秀等级的人数，然后补全条形统计图；
（3）用1500乘以样本中优异等级的人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好抽到A、C两人的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）本次调查的学生数为10÷20%＝50（人）；
圆心角β的度数为360°144°；
故答案为：50；144；
（2）优秀等级的人数为50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
补全条形统计图为：

（3）1500600（人），
所以估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、C两人的结果数为2，
所以恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
21．（9分）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？

【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于80件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，100）代入得k1＝5，
∴y＝5x；
当x≥20时，设y，把（20，100）代入得k2＝2000，
∴y；
（2）当0＜x≤20时，又5x≥80得，x≥16，即16≤x≤20，有5天；
当x＞20时，由80，
解得：x≤25，即20＜x≤25，有5天，
共有5+5＝10（天），
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B；
（1）求证：AB•CM＝BP•PC；
（2）当△PCM为直角三角形时，求线段PB长度．

【分析】（1）根据AB＝AC可得出∠B＝∠C，由三角形的内角和定理结合平角等于180°，即可找出∠BAP＝∠CPM，进而即可证出△ABP∽△PCM；
（2）根据相似三角形的性质可得出△ABP为直角三角形，分∠APB＝90°及∠BAP＝90°两种情况考虑，①当∠APB＝90°时，根据等腰三角形的性质可求出BP的长度；②当∠BAP＝90°时，利用解直角三角形可求出BP的长度．综上即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠BAP+∠B+∠APB＝180°＝∠APB+∠APM+∠CPM，∠APM＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPM，
∴△ABP∽△PCM，
∴AB•CM＝BP•PC；
（2）解：∵△ABP∽△PCM，△PCM为直角三角形，
∴△ABP为直角三角形．
①当∠APB＝90°时，如图1所示．
∵AB＝AC，
∴BP＝PCBC＝4cm；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示．
∵cos∠ABP，
∴，
∴BP．
综上所述：当△PCM为直角三角形时，点P、B之间的距离为4cm或cm．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠BAP＝∠CPM；（2）分∠APB＝90°及∠BAP＝90°两种情况考虑．
23．（10分）二十大即将到来之际，某社区为了庆祝二十大的到来，计划购买A与B两种庆祝二十大贴花共500张．已知A贴花的售价是每张15元，B贴花的售价是每张30元，共花费9000元．
（1）求计划购买多少张A，B贴花？
（2）为了节省费用，社区工作人员最终在网上购买，A贴花每张售价减少了，B贴花每张售价也便宜了m元．现在在（1）的基础上购买B贴花的数量增加了m张，总数量不变，并且总费用比原计划减少了（2000+10m）元，求m的值．
【分析】（1）设计划购买a张A贴花，购买b张B贴花，根据题意可构造二元一次方程组，求解即可得出结论；
（2）根据题意可得出A种贴花的售价，B种贴花的售价和张数，根据“费用比原计划减少了（2000+10m）元”建立方程，求解即可得出结论．
【解答】解：（1）设计划购买a张A贴花，购买b张B贴花，
根据题意可得：，
解得．
故计划购买400张A贴花，购买100张B贴花．
（2）根据题意可得出A贴花的售价为：15×（1）＝10（元），A贴花的张数为：（400m）张，
B种贴花的售价为：（30﹣m）元，B种贴花的张数为：（100m）张，
根据题意可得，10×（400m）+（30﹣m）（100m）＝9000﹣（2000+10m），
整理得15m2﹣120m＝0，
解得m＝0（舍）或m＝8．
故m的值为8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意得出一元二次方程，二元一次方程组是解题关键．
24．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b图象分别与x轴、y轴相交于点A，B两点，且与反比例函数的图象相交于点C，D两点，AB＝3BC，点C的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数表达式；
（2）以AB为边作▱ABEF，使点F在x轴负半轴上，点E在第二象限，若．线段EF与反比例函数在第二象限的交点为M，求点M的坐标．

【分析】（1）过点C作CN⊥y轴于点N，由△CNB∽△AOB，得，可得点A的坐标，从而求出直线AB的解析式，进而解决问题；
（2）根据平移的规律可得直线EF的解析式，再利用反比例函数与一次函数求交点即可．
【解答】解：（1）过点C作CN⊥y轴于点N，

∴∠CNB＝∠BOA＝90°，
∴∠CBN＝∠ABO，
∴△CNB∽△AOB，
∴，
∴OA＝3CG，
∴OA＝3，
∴A（3，0），
将A（3，0）代入y＝﹣2x+b得：b＝6，
∴y＝﹣2x+b中，当x＝﹣1时y＝8，
∴C（﹣1，8），
∴m＝﹣1×8＝﹣8，
∴；
（2）∵▱ABEF，
∴AB∥EF，
∵，
∴2x﹣15，
令，
解得：（舍），x2＝﹣8，
∴M（﹣8，1）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平移的特征得出直线EF的解析式是解题的关键．
25．（10分）研究与应用：
【自学研究】兴趣小组深入探究，发现：在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，），已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　（1，1）　．
【学以致用】如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F，一次函数y＝kx+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标．
【深入研究】（3）小组成员又发现：如图1中，连接AC，则EF∥AC．（如图2），于是想到：如果在双曲线y（x＞0）上任取两点E、F，作EA⊥y轴于A点，作FC⊥x轴于C点，是否仍存在EF∥AC（如图3）．若存在，请证明．


【分析】【自学研究】
由中点坐标公式即可求解；
【学以致用】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）作点E关于x轴的对称点E′（1，﹣2），连接E′F交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，进而求解；
【深入研究】
（3）证明1，即可求解．
【解答】【自学研究】
解：由中点坐标公式得：中点坐标为（，），
即中点的坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）；

【学以致用】
（1）解：由题意得，点B（4，2），则OB的中点坐标为（2，1），
将点（2，1）代入反比例函数表达式得：1，
解得：m＝2，
即反比例函数表达式为：y，
当x＝4时，则y，即点F（4，），
同理可得，点E（1，2），
则，解得：，
即一次函数的表达式为：yx；
（2）解：作点E关于x轴的对称点E′（1，﹣2），连接E′F交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，

理由：PE+PF＝PE′+PF＝E′F为最小，
由点E′、F的坐标得，直线E′F的表达式为：yx，
令yx0，
解得：x，
即点P的坐标为（，0）；

【深入研究】
（3）证明：延长CF交AE的延长线于点B，

设点B（s，t），则点E、F的坐标分别为（，t）、（s，），
则BE＝s，BA＝s，
则1，
同理可得：1，
∴EF∥AC．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，坐标轴上，任意线段的中点公式，反比例函数图象上点的坐标特点、中点坐标公式是解答此题的关键．
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