高考数学真题与模拟训练汇编专题12 数列求和(教师版)

专题12 数列求和

第一部分 真题分类

1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，．

由

，即

根据累加法可得，，当且仅当时取等号，

，

由累乘法可得，当且仅当时取等号，

由裂项求和法得：

所以，即．

故选：A．

2．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【答案】5       

【解析】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；

故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，

设，

则，

两式作差得：

，

因此，.

故答案为：；.

3．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

故答案为：

4．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．

所以，所以，

所以；

设等比数列的公比为，

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.

5．（2021·全国高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）证明：由（1）可得，

，①

，②

①②得 ，

所以，

所以，

所以.

6．（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）由，得，∴，又，

∴是首项为3，公比为3的等比数列.   

（2），∴.

（3）.

7．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.

由，，可得d=1.

从而的通项公式为.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以.

(Ⅲ)当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

对任意的正整数n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

从而得：.

因此，.

所以，数列的前2n项和为.

8．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【解析】（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）由（1）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

9．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，，

当时，，即（共1项）；

当时，，即（共2项）；

当时，，即（共4项）；

…

当时，，即（共项），

由，得．即，所以．

所以，

则，

两式相减得

，

．

故选：D．

2．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】时，，

因为，

所以时，，

两式相减得到，故时不适合此式，

所以，

当时，，

当时，，

所以；所以t的最小值；

故选：C.

3．设等差数列的前项和为，且满足，，将，，，中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列的前三项，则数列的前10项的和（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等差数列的公差为，

因为，所以, 解得，

则，

可得，，，，

所以4，8，16为等比数列的前三项，

所以，公比，则，

所以，

，

，

两式相减可得

，

所以，

则数列的前10项和，

故选：A.

4．已知数列中，，，则数列的前10项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，

所以是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，得.

记数列的前n项和为，

则，

，

作差得，

得，即，

所以.

故选：C.

5．已知数列为等差数列，是其前项和，，.数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则能取到的最小整数为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】因为数列为等差数列，是其前项和，，.

设首项为，公差为，

所以，

解得，

故，

所以，

所以.

因为对于一切都有恒成立，

所以，解得，

故的最小整数为0.

故选：B.

6．已知为等差数列的前项和，且，，记，则数列的前20项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，根据题意，得

所以，即解得，．

所以，所以，

所以数列的前20项和为

．

故选：C．

7．已知数列中，，为数列的前项和，令，则数列的前项和的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】数列中，，

∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴，

∴，

∴，

∴，

当时.

故选：A.

8．已知等差数列满足，，则数列的前10项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意等差数列满足，，所以，所以，所以.所以数列的前10项的和为.

故选：D

二、填空题

9．已知数列的前项和为，，且对任意的，都有，则______.

【答案】5

【解析】∵，∴，∴.

故答案为：5

10．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和______.

【答案】

【解析】，

当时，，

当时，，满足，

，

，

当为偶数时，，

当为奇数时，，

.

故答案为：

11．已知数列满足，若，则数列的前项和________.

【答案】

【解析】因为，

所以，

两式相减得，当时也满足，

故，，

故.

故答案为：

12．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则______．

【答案】

【解析】由于正项数列的前项和为，且.

当时，，得，，解得；

当时，由得，

两式作差得，可得，

，

对任意的，，则，，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.

，

，

所以，可视为数列的前项和，因此，.

故答案为：.

三、解答题

13．等比数列的各项均为正数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设数列{an}的公比为q,

由＝9a2a6得＝9,

所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.

故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故.

所以数列的前n项和为

14．已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2） ．

【解析】（1）当时，，；

当时，由，①

得，②

①②得，，，也符合，

因此，数列的通项公式为；

（2）由题意，设等差数列的公差为，

则，

，解得，，；

由（1）知，，

故

．

15．已知数列满足恒成立.

（1）若且，当成等差数列时，求的值；

（2）若且，当、时，求以及的通项公式；

（3）若，，，，设是的前项之和，求的最大值.

【答案】（1） ；（2），；（3）

【解析】（1）若且，

所以，即，

当成等差数列时，，

所以，解得： ；

（2），

令可得，即，

令可得，即

所以，因为，所以，解得，

由可得，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以，

，

，

，

以上式子累乘得：

，

所以，

（3）由可得，

所以，

因为，所以，即，

所以，

因为，所以，所以，

因为，所以即，

，

因为，，所以，因为，所以，

所以，可得，

所以，

令，设，

，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，

所以时取得最大值，故最大值为，

所以最大值为.

16．已知数列满足：.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小.

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1）因为数列满足：，

所以，当时，

当时，，

相减可得，所以

综上可得，

（2）因为，

所以

时，.

所以

综上，对都有，.