2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题13 数列的综合应用解析

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专题13 数列的综合应用第一部分 真题分类如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i100，②1+2+4+(-2-n)=0，解得：n=5，总共有(1+5)×52+3=18，不满足N>100，③1+2+4+8+(-2-n)=0，解得：n=13，总共有(1+13)×132+4=95，不满足N>100，④1+2+4+8+16+(-2-n)=0，解得：n=29，总共有(1+29)×292+5=440，满足N>100，∴该款软件的激活码是440．故选A．  设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，则d+q的值是______．【答案】4【解析】解：因为{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，因为{an}是公差为d的等差数列，设首项为a1；{bn}是公比为q的等比数列，设首项为b1，所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d，所以其前n项和：n[a1+a1+(n-1)d]2=d2n2+(a1-d2)n， {bn}中，当公比q=1时，其前n项和Sn=nb1，所以{an+bn}的前n项和Sn=d2n2+(a1-d2)n+nb1=n2-n+2n-1(n∈N*)，显然没有出现2n，所以q≠1，则{bn}的前n项和为：b1(qn-1)q-1=b1qnq-1-b1q-1，所以Sn=d2n2+(a1-d2)n+b1qnq-1-b1q-1=n2-n+2n-1(n∈N*)，由两边对应项相等可得：d2=1a1-d2=-1q=2b1q-1=1解得：d=2，a1=0，q=2，b1=1，所以d+q=4，故答案为：4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．(1)若a3=4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】解：(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，若S9=-a5，则S9=(a1+a9)×92=9a5=-a5，可得a5=0，即a1+4d=0，若a3=4，则d=a5-a32=-2，则an=a3+(n-3)d=-2n+10；(2)若Sn≥an，则na1+n(n-1)2d≥a1+(n-1)d，当n=1时，不等式成立，当n≥2时，有nd2≥d-a1，变形可得(n-2)d≥-2a1，又由(1)得a1+4d=0，即d=-a14，则有(n-2)-a14≥-2a1，又由a1>0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：1≤n≤10且n∈N*．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2+b3=12，得b1(q+q2)=12，而b1=2，所以q2+q-6=0.又因为q>0，解得q=2.所以bn=2n． 由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8， 由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立解得a1=1，d=3，所以an=3n-2．所以{an}的通项公式为an=3n-2，{bn}的通项公式为bn=2n；(Ⅱ)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn， 由(1)可得a2n=6n-2，所以Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n，2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1， 上述两式相减，得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=12×(1-2n)1-2-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16，所以Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列．(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；(Ⅱ)记cn=an2bn，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn