还剩53页未读，
继续阅读
所属成套资源：湘教版数学八年级下册第一章课时习题
成套系列资料，整套一键下载
第1章 直角三角形练习题 湘教版八年级数学下册期末数学试题选编(含解析)
展开
这是一份第1章 直角三角形练习题 湘教版八年级数学下册期末数学试题选编(含解析)，共56页。
湘教版八年级数学下册第1章：直角三角形练习题
一、单选题
1．（2021·湖南洪江·八年级期末）如图，在中，是斜边上的高，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南娄星·八年级期末）图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2021·湖南宁远·八年级期末）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）．A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·湖南宁远·八年级期末）如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若，则∠2的度数为（ ）
A．126° B．136° C．120° D．144°
5．（2021·湖南隆回·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
6．（2021·湖南荷塘·八年级期末）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．（2021·湖南道县·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2021·湖南湘乡·八年级期末）如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
9．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A． B．3 C．1 D．
10．（2021·湖南炎陵·八年级期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
11．（2021·湖南溆浦·八年级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4,5,6 B．1.5,2，2.5 C．2,3,4 D．1，， 3
12．（2021·湖南娄底·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
13．（2021·湖南雨花·八年级期末）若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
14．（2021·湖南宁乡·八年级期末）下列说法正确的是（ ）．A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
15．（2021·湖南望城·八年级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·湖南洪江·八年级期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a²
18．（2021·湖南鹤城·八年级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
20．（2021·湖南赫山·八年级期末）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
21．（2021·湖南新邵·八年级期末）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
22．（2021·湖南新化·八年级期末）到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
23．（2021·湖南汉寿·八年级期末）如图，在锐角△ABC 中，,,的平分线交于点，且,点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．8
24．（2021·湖南湘乡·八年级期末）在RtABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
25．（2021·湖南双峰·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．2：1 B．：1 C．3：2 D．2：
26．（2021·湖南新化·八年级期末）如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
二、填空题
27．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝_______．
28．（2021·湖南双峰·八年级期末）如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．
29．（2021·湖南鹤城·八年级期末）如图，Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，则∠BAO=_____．
30．（2021·湖南长沙·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=____________cm．
31．（2021·湖南龙山·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则∠A＝_____°．
32．（2021·湖南湘乡·八年级期末）一辆汽车沿倾斜角为30°的山坡，从山脚行驶到山顶，共走了800米，那么这座山的垂直高度为________米．
33．（2021·湖南炎陵·八年级期末）如图，已知，数轴上点对应的数是______
34．（2021·湖南耒阳·八年级期末）如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm.
35．（2021·湖南宁乡·八年级期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．
36．（2021·湖南双峰·八年级期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为______．
37．（2021·湖南岳阳·八年级期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．
38．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）如图，中，，AB的垂直平分线交BC于点E，若：，，则AC=_________．
39．（2021·湖南双峰·八年级期末）在中，，，，于，，两点分别在边和射线上移动．当，______时，和全等．
40．（2021·湖南宁乡·八年级期末）在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
41．（2021·湖南临湘·八年级期末）如图，平分，在上，于，于．若，则____．
42．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号）
43．（2021·湖南凤凰·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．
44．（2021·湖南天心·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为_____．
45．（2021·湖南荷塘·八年级期末）如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是_____．
三、解答题
46．（2021·湖南新田·八年级期末）已知：如图，于点，，．
（1）求证：
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
47．（2021·湖南宁乡·八年级期末）如图1，在边长为的等边∆中，点是边上一个动点，过点作⊥于点．
（1）求证：；
（2）如图2，过点向引垂线交于点，当时，试判断点在上的位置，并说明理由；
（3）如图3，延长至，使，连接交于点，随着点的移动，请判断线段的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
48．（2021·湖南鹤城·八年级期末）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？
49．（2021·湖南洪江·八年级期末）一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
50．（2021·湖南长沙·八年级期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
51．（2021·湖南永兴·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF．
52．（2021·湖南零陵·八年级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠DCE．
53．（2021·湖南长沙·八年级期末）笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A． B．其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH测得BC=5千米，CH=4干米，BH=3千米，
(1)问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线?请通过计算加以说明；
(2)求原来路线AC的长.
54．（2021·湖南耒阳·八年级期末）某中学有一块四边形的空地，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
55．（2021·湖南长沙·八年级期末）利用所学的知识计算：
（1）已知，且，，求的值；
（2）已知a、b、c为Rt△ABC的三边长，若，求Rt△ABC的周长．
56．（2021·湖南耒阳·八年级期末）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
57．（2021·湖南娄星·八年级期末）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位）
58．（2021·湖南宁乡·八年级期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）三角形ABC的面积为________；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
59．（2021·湖南澧县·八年级期末）已知：如图，，交于点，，，．
求证：．
60．（2021·湖南祁阳·八年级期末）已知：如图AB，CD相交于点O，AC＝BD，求证：∠CAD＝∠BDA．
61．（2021·湖南古丈·八年级期末）如图，是一个边长为的等边三角形，是的高，求的长．
62．（2021·湖南荷塘·八年级期末）如图，在和中，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
63．（2021·湖南雨花·八年级期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
64．（2021·湖南娄星·八年级期末）如图，已知∠B=∠ADC=90°，DC=7，AB=20，BC=15，求AD的长．
65．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）出发几秒后，是等腰直角三角形？请说明理由；
（2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案）；
（3）另有一点Q，从点B开始，按B→C的路径运动，且速度为每秒0.5cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成的两部分长度是2倍关系？
66．（2021·湖南娄底·八年级期末）如图17－Z－11，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：≈4.6)
图17－Z－11
67．（2021·湖南永定·八年级期末）如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？
68．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，已知A、B两艘船同时从港口Q出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口2h后相距多远？
参考答案：
1．C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．
【详解】
解：Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD是斜边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
2．A
【分析】
由垂直平分线的性质，得AE=BE，然后求出∠AEC=30°，则求出AE=4，由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．
3．D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
解：直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
4．A
【分析】
根据直角三角形的性质可得∠3的度数，由两直线平行，同位角相等可得∠4的度数，根据邻补角互补可得∠2的度数．
【详解】
解：∵∠1=36°，
∴∠3=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠3=54°，
∴∠2=180°-54°=126°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，直角三角形两锐角互余．
5．C
【分析】
根据直角三角形的性质解答即可.
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°
故选C.
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质.
6．C
【分析】
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
7．C
【分析】
在直角三角形ABC中，由∠A的度数求出∠B的度数，在直角三角形BCD中，可得出∠BCD度数为30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到BC＝2BD，由BD的长求出BC的长，在直角三角形ABC中，同理得到AB＝2BC，由BC的长即可求出AB的长．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1cm，
∴BC＝2BD＝2cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查了含30°角的直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键．
8．C
【分析】
连接CD，根据直角三角形的性质得到CD=AD，根据等腰三角形的三线合一得到AE=CE，根据三角形的面积公式计算，得到答
【详解】
解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∵DE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△ADE的面积=△CDE的面积，
同理可得：△BDF的面积=△CDF的面积，
∴四边形DECF的面积=×三角形ABC的面积=2，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9．A
【分析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
10．A
【分析】
根据勾股定理可以得到AD和BD的长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求.
【详解】
根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．
【点睛】
主要考查了勾股定理解直角三角形.
11．B
【详解】
试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可：
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B．
考点：勾股定理的逆定理．
12．D
【分析】
利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．
【详解】
由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝．
故选D．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
13．B
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
14．D
【分析】
根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.
【详解】
解：由勾股定理，
A、没有确定直角和斜边，故A 错误；
B、没有确定斜边，故B错误；
C、斜边为，则，故C错误；
D、，则与为直角边，为斜边，则，故D正确；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.
15．D
【分析】
利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
16．C
【分析】
首先根据勾股定理求得AB的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【详解】
解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．
∵点M是AB的中点，
∴MC＝AB＝1km．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
17．C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，错误；
B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，错误；
C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，错误；
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
18．A
【详解】
∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．
19．C
【详解】
试题分析：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE的面积等于,故答案选C．
考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．
20．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
21．B
【详解】
试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．
考点：作图—基本作图．
22．B
【分析】
到三角形三边都相等的点应该在三角形三个内角的角平分线上，可得出答案．
【详解】
解：设这个点为点P，
∵点P到AB、AC两边的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，
同理可得点P在∠ABC、∠ACB的平分线上，
∴点P为三个内角的角平分线的交点，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
23．A
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值，最小值为BH的长，进而即可求解．
【详解】
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
则BM′＋M′N′= BM′+ M′H=BH，
∴BH是点B到直线AC上各个点的最短距离，
∴的最小值= BH，
∵的平分线交于点，且，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADB=90°，AD=AD，
∴∆BAD≅∆CAD，
∴AC=AB=8，
∴AC∙BH=，
∴BH=4，即的最小值是4．
故选A．
【点睛】
本题考查的是最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，化两条线段的和的最小值为一条垂线段的长．
24．A
【分析】
根据角平分线的性质即可求得．
【详解】
解：∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE=BD=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
25．B
【分析】
由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DC
又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键．
26．C
【分析】
根据角平分线的性质解答．
【详解】
解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．135°##135度
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【详解】
解：如图：
∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
28．2+2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，
∴AE=，EC=，
∴AC=，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故答案为：2+2．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
29．54°
【分析】
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质求解．
【详解】
解：∵Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，
∴AO=BO=DO
∴∠D=∠DAO=36°
∴∠BAO=∠DAB-∠DAO=90°-36°=54°
故答案为：54°．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．
30．2
【详解】
分析：
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm可得BC=4cm，∠B=60°，结合CD是AB边上的高可得∠BDC=90°，∠BCD=30°，由此可得BD=2cm.
详解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2.
点睛：熟记：“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
31．60
【分析】
在Rt△ABC中，根据AB＝2AC，可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝2AC，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，理解其性质是解题的关键．
32．400
【分析】
画出图形，由含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：如图所示：
由题意得：AB=200米，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB=400（米），
故答案为：400．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
33．
【分析】
先利用勾股定理求出OB的长度，再根据OA=OB即可得到OA的长度，从而得到A对应的数.
【详解】
由勾股定理得
∵
∴
∴数轴上点对应的数是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查勾股定理及数轴上的点所对应的实数，掌握勾股定理是解题的关键.
34．2.
【分析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
35．13
【分析】
设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
36．2．
【分析】
由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，
∵每一个直角三角形的面积为:ab=×4=2,
∴4ab+ =16，
∴=16-8=8，
∴a-b=2，
故答案为:2．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型．
37．x2−（x−3）2＝82
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
38．4
【分析】
连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE，再根据勾股定理列式求解即可．
【详解】
解：连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=5，CE=3，
∴AC==4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
39．8或15
【分析】
分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=15cm．
【详解】
解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP=AC=15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8或15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
40．6
【分析】
利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
【详解】
∵∠C=90，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB的距离，
∵BD:DC=5:3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm.
故答案为6.
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
41．3
【分析】
直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
42．①②④
【分析】
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】
解：平分，
，
，，
，
，
，
，
①平分正确；
无法证明，
③平分错误；
，，
，
，，
，，
，
④正确；
，，
，
②正确．
故答案是：①②④．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，解题的关键是利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．
43．2
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
44．3．
【分析】
根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，
∵CB＝8，BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，
∵∠C＝90°，
∴EC⊥AC，
∴点E到AB的距离为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了作图-基本做图，解决本题的关键是掌握基本的作图方法和理解角平分线的性质．
45．9
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE、OF，根据三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积，
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，
＝×18×1，
＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
46．（1）证明见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）根据HL即可证得；
（2）根据（1）中全等可得，易证，即可证得．
【详解】
证明（1）∵，
∴
（2）位置关系：
【点睛】
本题考查全等三角形证明方法，掌握HL是解题的关键．
47．（1）见解析；（2）点在的中点处，见解析；（3）不变，
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和含有30°的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）连接，先根据角平分线的性质得出平分∠，再根据等边三角形的性质即可；
（3）过点作∥交于点，根据平行线的性质和等边三角形的性质和判定得出，从而得出，再利用AAS证明∆≌∆，继而得出EH的长；
【详解】
证明：（1）∵△是等边三角形，∴∠°
∵⊥，∴∠°，∠°，
∴
解：（2）点在的中点处
如图：连接，∵⊥⊥
∴点在∠的平分线上，∴平分∠
∵∆是等边三角形，∴为边上的中线，
∴点在的中点处；
（3）的长度不发生变化，且，
理由如下：
如图：过点作∥交于点．
∴∠
∵∆是等边三角形，
∴°
°
∴∆是等边三角形．∴
∵∴
在∆和∆中
∴∆≌∆
∴
又∵∆是等边三角形，⊥，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、含有30°的直角三角形的性质等知识，适当添加辅助线熟练掌握相关的知识是解题的关键．
48．5米
【详解】
解：竹竿长x米，则门高（x-1）米，
根据题意得：，
解得：x=5
答：竹竿高5米．
49．（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了．
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）由题意可知：，；，
在中，由勾股定理得：
，
∴
，
因此，这个梯子的顶端距地面有高．
（2）由图可知：AD=4m，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴
，
∴．
答：梯子的底部在水平方向滑动了．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．
50．（1）；（2）；（3）10，
【分析】
（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】
本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
51．见解析
【分析】
根据角平分线的性质可得DE＝DF，∠DEB＝∠DFC，进而证明 Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证明BE＝CF．
【详解】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质与定义，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
52．见解析
【分析】
根据HL证明Rt△ABC≌△Rt△CDE，可得结论．
【详解】
解：证明：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠BAC=∠DCE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用HL证明三角形全等．
53．（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线，见解析；（2）千米
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2= BC2=25
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路.
（2）设AC=x
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-3）2+42
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
54．7200
【分析】
先利用勾股定理求出BD的长，然后利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，然后求出四边形ABCD的面积，最后进行求解即可得到答案.
【详解】
解：连接，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴是直角三角形．
∴，，
∴四边形的面积为6+30=．
∴投入资金为：元
答：学校需要投入7200元资金买草皮
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
55．（1）1；（2）12或
【分析】
(1)根据完全平方公式变形解答；
(2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c，即可得到周长．
【详解】
（1）∵，，
∴，
∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；
（2）
∴a-3=0，b-4=0，
∴a=3，b=4，
当a与b都是直角边时，c=，∴Rt△ABC的周长=3+4+5=12；
当a为直角边，b为斜边时，c=，∴Rt△ABC的周长=．
【点睛】
此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．
56．（1）（2）详见解析
【分析】
(1)根据勾股定理可以求得AC、CE的长；
（2）利用勾股定理的逆定理可以证明∠ACE＝90°．
【详解】
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝=2，
（2）证明：∵AC＝，CE＝2，AE＝，
∴AC2+CE2=65= AE2
∴∠ACE＝90°．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键．
57．长约为．
【分析】
如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
如图，过点作于点，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
答：长约为．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
58．（1）见详解；（2）3；（3）PB+PC的长最短为
【分析】
（1）先分别作出△ABC的对称点，然后依次连接即为所求；
（2）在网格中利用割补法进行求解△ABC的面积即可；
（3）要使PB+PC的长为最短，只需连接BC′，因为根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得，然后利用勾股定理可求最短距离．
【详解】
解：（1）分别作B、C关于直线l的对称点，如图所示：
（2）由网格图可得：
；
故答案为3；
（3）由（1）可得：点C与点关于直线对称，连接PC、，如图所示：
∴，
∵，
∴要使BP+PC为最短，则需B、P、三点共线即可，即为的长，
∴，
即PB+PC的长最短为．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的性质、勾股定理及三角不等关系，熟练掌握轴对称图形的性质、勾股定理及三角不等关系是解题的关键．
59．见解析
【分析】
连接，HL证明即可
【详解】
如图，连接，
，，
在与中
【点睛】
本题考查了HL证明三角形全等，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
60．见解析
【分析】
由题目条件可证△ACD≌△DBA，由全等三角形的性质推∠CAD=∠BDA．
【详解】
解：证明：∵∠C=∠B=90°
在△ACD与△DBA中，
，
∴△ACD≌△DBA（HL）．
∴∠CAD=∠BDA．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，在证明题中注意图形中隐含的条件，如本题中的公共边．
61．
【分析】
根据等边三角形的“三线合一”性质和勾股定理即可解答．
【详解】
解：是一个边长为的等边三角形，是的高，
．
在中，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等边三角形的“三线合一”性质是解答的关键．
62．（1）见解析；（2）是等腰三角形，证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件，用HL直接证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠ACB＝∠DBC，即可证明△OBC是等腰三角形．
【详解】
证明：（1）在和中，
，为公共边，
∴
（2）是等腰三角形
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
【点睛】
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．
63．（1）见解析；（2）CE=1
【分析】
（1）连接PA、PB，根据角平分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AEP≌Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】
（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
64．24
【分析】
连接AC，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：连接AC，
在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，
∴．
又∵在Rt△ADC中，DC=7，
∴AD=．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，作辅助线构造直角三角形并运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
65．（1）出发9秒后，是等腰直角三角形；（2）当t=6.6秒或9秒或6秒或5.5秒时，△BCP为等腰三角形；（3）当t为5.6秒或8.8秒时，直线PQ把的周长分成的两部分长度是2倍关系．
【分析】
（1）由题意得出BC=CP，即可得出结果；
（2）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC；即可得出答案．
（3）若直线PQ把△ABC的周长分成的两部分之间是1：2，则一部分为8，另一部分为16，分两种情况，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如下图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得
，
当△BCP为等腰直角三角形时，
CP=BC=6cm，
即AP=AC-CP=2cm，
∴（秒），
故出发9秒后，是等腰直角三角形；
（2）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，点P在AC上，由（1）可知t=9（秒）；
如果CP=CB，点P在AB上，如下图，
作CD⊥AB，则,
即，解得CD=4.8cm，
∴cm，
∵CP=CB,CD⊥AB，
∴PD=BD=3.6cm，
（秒），
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，此时（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时
（秒）；
综上可知，当t=6.6秒或9秒或6秒或5.5秒时，△BCP为等腰三角形；
（3）秒，，
故12秒时，两点停止运动，
，
①当P在AB上时，若，
即，解得t=5.6（秒），
①当P在AC上时，若，
即，解得t=8.8（秒），
综上所示，当t为5.6秒或8.8秒时，直线PQ把的周长分成的两部分长度是2倍关系．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长的计算．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
66．92米
【详解】
试题分析：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，利用特殊构造的Rt△BCD，求出BD,CD,AD，最后利用勾股定理求出AC.
试题解析：
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，
∴BD＝BC＝×20＝10(米)，
∴CD＝＝10 (米)，
AD＝AB＋BD＝80＋10＝90(米)．
在Rt△ACD中，AC＝＝≈92(米)．
答：A，C两地之间的距离约为92米
点睛：（1）勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.这就是勾股定理.
（2）勾股定理逆定理
在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形. 这就是勾股定理的逆定理.
（3）勾股定理的应用一定要在直角三角形中，如果没有直角三角形，需要构造直角三角形，才可以使用.
67．
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程后即可确定x的值．
【详解】
解：设树高AB为x m.
由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.
在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(25-x)2，解得x=12.
答：这棵树有12 m高．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
68．它们离开港口2h后相距100km．
【分析】
由题意知两条船的航向构成了直角，再根据路程＝速度×时间，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，
∴∠AOB＝90°，它们离开港口2h后，AO＝40×2＝80km，BO＝30×2＝60km，
∴AB＝＝100km，
答：它们离开港口2h后相距100km．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．
湘教版八年级数学下册第1章：直角三角形练习题
一、单选题
1．（2021·湖南洪江·八年级期末）如图，在中，是斜边上的高，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南娄星·八年级期末）图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2021·湖南宁远·八年级期末）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）．A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021·湖南宁远·八年级期末）如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若，则∠2的度数为（ ）
A．126° B．136° C．120° D．144°
5．（2021·湖南隆回·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
6．（2021·湖南荷塘·八年级期末）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．（2021·湖南道县·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2021·湖南湘乡·八年级期末）如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
9．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A． B．3 C．1 D．
10．（2021·湖南炎陵·八年级期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
11．（2021·湖南溆浦·八年级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4,5,6 B．1.5,2，2.5 C．2,3,4 D．1，， 3
12．（2021·湖南娄底·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
13．（2021·湖南雨花·八年级期末）若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
14．（2021·湖南宁乡·八年级期末）下列说法正确的是（ ）．A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
15．（2021·湖南望城·八年级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·湖南洪江·八年级期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2
C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a²
18．（2021·湖南鹤城·八年级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
20．（2021·湖南赫山·八年级期末）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
21．（2021·湖南新邵·八年级期末）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．C． D．
22．（2021·湖南新化·八年级期末）到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
23．（2021·湖南汉寿·八年级期末）如图，在锐角△ABC 中，,,的平分线交于点，且,点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．8
24．（2021·湖南湘乡·八年级期末）在RtABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
25．（2021·湖南双峰·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．2：1 B．：1 C．3：2 D．2：
26．（2021·湖南新化·八年级期末）如图，OA平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
二、填空题
27．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝_______．
28．（2021·湖南双峰·八年级期末）如图，在中，，底边，线段AB的垂直平分线交BC于点E，则的周长为__________．
29．（2021·湖南鹤城·八年级期末）如图，Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，则∠BAO=_____．
30．（2021·湖南长沙·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若AB=8cm，BD=____________cm．
31．（2021·湖南龙山·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，则∠A＝_____°．
32．（2021·湖南湘乡·八年级期末）一辆汽车沿倾斜角为30°的山坡，从山脚行驶到山顶，共走了800米，那么这座山的垂直高度为________米．
33．（2021·湖南炎陵·八年级期末）如图，已知，数轴上点对应的数是______
34．（2021·湖南耒阳·八年级期末）如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____ cm.
35．（2021·湖南宁乡·八年级期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．
36．（2021·湖南双峰·八年级期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为______．
37．（2021·湖南岳阳·八年级期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．
38．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）如图，中，，AB的垂直平分线交BC于点E，若：，，则AC=_________．
39．（2021·湖南双峰·八年级期末）在中，，，，于，，两点分别在边和射线上移动．当，______时，和全等．
40．（2021·湖南宁乡·八年级期末）在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,且BD∶DC=5∶3,则D到AB的距离为____cm.
41．（2021·湖南临湘·八年级期末）如图，平分，在上，于，于．若，则____．
42．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号）
43．（2021·湖南凤凰·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．
44．（2021·湖南天心·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为_____．
45．（2021·湖南荷塘·八年级期末）如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是_____．
三、解答题
46．（2021·湖南新田·八年级期末）已知：如图，于点，，．
（1）求证：
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
47．（2021·湖南宁乡·八年级期末）如图1，在边长为的等边∆中，点是边上一个动点，过点作⊥于点．
（1）求证：；
（2）如图2，过点向引垂线交于点，当时，试判断点在上的位置，并说明理由；
（3）如图3，延长至，使，连接交于点，随着点的移动，请判断线段的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
48．（2021·湖南鹤城·八年级期末）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？
49．（2021·湖南洪江·八年级期末）一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
50．（2021·湖南长沙·八年级期末）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
51．（2021·湖南永兴·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF．
52．（2021·湖南零陵·八年级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠DCE．
53．（2021·湖南长沙·八年级期末）笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A． B．其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH测得BC=5千米，CH=4干米，BH=3千米，
(1)问CH是否为从旅游地C到河的最近的路线?请通过计算加以说明；
(2)求原来路线AC的长.
54．（2021·湖南耒阳·八年级期末）某中学有一块四边形的空地，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？
55．（2021·湖南长沙·八年级期末）利用所学的知识计算：
（1）已知，且，，求的值；
（2）已知a、b、c为Rt△ABC的三边长，若，求Rt△ABC的周长．
56．（2021·湖南耒阳·八年级期末）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
57．（2021·湖南娄星·八年级期末）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位）
58．（2021·湖南宁乡·八年级期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）三角形ABC的面积为________；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
59．（2021·湖南澧县·八年级期末）已知：如图，，交于点，，，．
求证：．
60．（2021·湖南祁阳·八年级期末）已知：如图AB，CD相交于点O，AC＝BD，求证：∠CAD＝∠BDA．
61．（2021·湖南古丈·八年级期末）如图，是一个边长为的等边三角形，是的高，求的长．
62．（2021·湖南荷塘·八年级期末）如图，在和中，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
63．（2021·湖南雨花·八年级期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
64．（2021·湖南娄星·八年级期末）如图，已知∠B=∠ADC=90°，DC=7，AB=20，BC=15，求AD的长．
65．（2021·湖南·北京师范大学株洲附属学校八年级期末）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）出发几秒后，是等腰直角三角形？请说明理由；
（2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案）；
（3）另有一点Q，从点B开始，按B→C的路径运动，且速度为每秒0.5cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成的两部分长度是2倍关系？
66．（2021·湖南娄底·八年级期末）如图17－Z－11，小红同学要测量A，C两地的距离，但A，C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A，C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A，C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°.请你帮助小红同学求出A，C两地之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：≈4.6)
图17－Z－11
67．（2021·湖南永定·八年级期末）如图，在一棵大树AB的10m高的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子从点D处上爬到树顶点A处，利用拉在点A处的滑绳AC，滑到点C处，另一只猴子从点D处滑到地面点B处，再由点B跑到点C，已知两只猴子所经过的路程都是15m，那么这棵树有多高？
68．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，已知A、B两艘船同时从港口Q出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口2h后相距多远？
参考答案：
1．C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC，在Rt△ABC中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB，再用线段的差求AD．
【详解】
解：Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD是斜边上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
2．A
【分析】
由垂直平分线的性质，得AE=BE，然后求出∠AEC=30°，则求出AE=4，由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．
3．D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
解：直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
4．A
【分析】
根据直角三角形的性质可得∠3的度数，由两直线平行，同位角相等可得∠4的度数，根据邻补角互补可得∠2的度数．
【详解】
解：∵∠1=36°，
∴∠3=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠3=54°，
∴∠2=180°-54°=126°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，直角三角形两锐角互余．
5．C
【分析】
根据直角三角形的性质解答即可.
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°
故选C.
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质.
6．C
【分析】
根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
7．C
【分析】
在直角三角形ABC中，由∠A的度数求出∠B的度数，在直角三角形BCD中，可得出∠BCD度数为30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到BC＝2BD，由BD的长求出BC的长，在直角三角形ABC中，同理得到AB＝2BC，由BC的长即可求出AB的长．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1cm，
∴BC＝2BD＝2cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2cm，
∴AB＝2BC＝4cm．
故选：C．
【点睛】
此题考查了含30°角的直角三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解本题的关键．
8．C
【分析】
连接CD，根据直角三角形的性质得到CD=AD，根据等腰三角形的三线合一得到AE=CE，根据三角形的面积公式计算，得到答
【详解】
解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∵DE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△ADE的面积=△CDE的面积，
同理可得：△BDF的面积=△CDF的面积，
∴四边形DECF的面积=×三角形ABC的面积=2，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
9．A
【分析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
10．A
【分析】
根据勾股定理可以得到AD和BD的长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求.
【详解】
根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．
【点睛】
主要考查了勾股定理解直角三角形.
11．B
【详解】
试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可：
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B．
考点：勾股定理的逆定理．
12．D
【分析】
利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．
【详解】
由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝．
故选D．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
13．B
【分析】
先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【详解】
解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
14．D
【分析】
根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.
【详解】
解：由勾股定理，
A、没有确定直角和斜边，故A 错误；
B、没有确定斜边，故B错误；
C、斜边为，则，故C错误；
D、，则与为直角边，为斜边，则，故D正确；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.
15．D
【分析】
利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】
解：A、∵两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，
∴ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，
∴4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，
∴ab+ b2+ a2+ ab=（a+b）2，
∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，
根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．
16．C
【分析】
首先根据勾股定理求得AB的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【详解】
解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．
∵点M是AB的中点，
∴MC＝AB＝1km．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
17．C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，错误；
B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，错误；
C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，错误；
故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
18．A
【详解】
∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．
19．C
【详解】
试题分析：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE的面积等于,故答案选C．
考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．
20．B
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】
第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
21．B
【详解】
试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．
考点：作图—基本作图．
22．B
【分析】
到三角形三边都相等的点应该在三角形三个内角的角平分线上，可得出答案．
【详解】
解：设这个点为点P，
∵点P到AB、AC两边的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，
同理可得点P在∠ABC、∠ACB的平分线上，
∴点P为三个内角的角平分线的交点，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
23．A
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值，最小值为BH的长，进而即可求解．
【详解】
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
则BM′＋M′N′= BM′+ M′H=BH，
∴BH是点B到直线AC上各个点的最短距离，
∴的最小值= BH，
∵的平分线交于点，且，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADB=90°，AD=AD，
∴∆BAD≅∆CAD，
∴AC=AB=8，
∴AC∙BH=，
∴BH=4，即的最小值是4．
故选A．
【点睛】
本题考查的是最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，化两条线段的和的最小值为一条垂线段的长．
24．A
【分析】
根据角平分线的性质即可求得．
【详解】
解：∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE=BD=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
25．B
【分析】
由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
【详解】
解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DC
又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键．
26．C
【分析】
根据角平分线的性质解答．
【详解】
解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
27．135°##135度
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【详解】
解：如图：
∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
【点睛】
本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
28．2+2
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，∠B=∠BAE=30°，得到∠CAE=90°，可得AE+EC=BC=2，求得AE、EC的长，再求得AC的长，即可得到结论．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，∠B=∠C=30°，
∴BE=AE，∠B=∠BAE=30°，
∴∠CAE=180°-∠B-∠BAE-∠C =90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，
∴EC=2AE，
∴AE+EC=BE+EC=BC=2，即3AE=2，
∴AE=，EC=，
∴AC=，
∴∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故答案为：2+2．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
29．54°
【分析】
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质求解．
【详解】
解：∵Rt△DAB，∠DAB=90°，∠D=36°，O为DB中点，
∴AO=BO=DO
∴∠D=∠DAO=36°
∴∠BAO=∠DAB-∠DAO=90°-36°=54°
故答案为：54°．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．
30．2
【详解】
分析：
由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm可得BC=4cm，∠B=60°，结合CD是AB边上的高可得∠BDC=90°，∠BCD=30°，由此可得BD=2cm.
详解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=4cm，∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=2cm.
故答案为：2.
点睛：熟记：“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”是解答本题的关键.
31．60
【分析】
在Rt△ABC中，根据AB＝2AC，可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝2AC，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，理解其性质是解题的关键．
32．400
【分析】
画出图形，由含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：如图所示：
由题意得：AB=200米，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB=400（米），
故答案为：400．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
33．
【分析】
先利用勾股定理求出OB的长度，再根据OA=OB即可得到OA的长度，从而得到A对应的数.
【详解】
由勾股定理得
∵
∴
∴数轴上点对应的数是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查勾股定理及数轴上的点所对应的实数，掌握勾股定理是解题的关键.
34．2.
【分析】
根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】
Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
35．13
【分析】
设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】
解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
36．2．
【分析】
由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，
∵每一个直角三角形的面积为:ab=×4=2,
∴4ab+ =16，
∴=16-8=8，
∴a-b=2，
故答案为:2．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型．
37．x2−（x−3）2＝82
【分析】
设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】
解：设绳索长为x尺，根据题意得：
x2−（x−3）2＝82，
故答案为：x2−（x−3）2＝82．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．
38．4
【分析】
连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE，再根据勾股定理列式求解即可．
【详解】
解：连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=5，CE=3，
∴AC==4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
39．8或15
【分析】
分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=15cm．
【详解】
解：①当P运动到AP=BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP=AC=15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8或15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．
40．6
【分析】
利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
【详解】
∵∠C=90，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB的距离，
∵BD:DC=5:3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm.
故答案为6.
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质.
41．3
【分析】
直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
42．①②④
【分析】
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】
解：平分，
，
，，
，
，
，
，
①平分正确；
无法证明，
③平分错误；
，，
，
，，
，，
，
④正确；
，，
，
②正确．
故答案是：①②④．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，解题的关键是利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．
43．2
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
44．3．
【分析】
根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，
∵CB＝8，BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，
∵∠C＝90°，
∴EC⊥AC，
∴点E到AB的距离为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了作图-基本做图，解决本题的关键是掌握基本的作图方法和理解角平分线的性质．
45．9
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE、OF，根据三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积，
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，
＝×18×1，
＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
46．（1）证明见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）根据HL即可证得；
（2）根据（1）中全等可得，易证，即可证得．
【详解】
证明（1）∵，
∴
（2）位置关系：
【点睛】
本题考查全等三角形证明方法，掌握HL是解题的关键．
47．（1）见解析；（2）点在的中点处，见解析；（3）不变，
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和含有30°的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）连接，先根据角平分线的性质得出平分∠，再根据等边三角形的性质即可；
（3）过点作∥交于点，根据平行线的性质和等边三角形的性质和判定得出，从而得出，再利用AAS证明∆≌∆，继而得出EH的长；
【详解】
证明：（1）∵△是等边三角形，∴∠°
∵⊥，∴∠°，∠°，
∴
解：（2）点在的中点处
如图：连接，∵⊥⊥
∴点在∠的平分线上，∴平分∠
∵∆是等边三角形，∴为边上的中线，
∴点在的中点处；
（3）的长度不发生变化，且，
理由如下：
如图：过点作∥交于点．
∴∠
∵∆是等边三角形，
∴°
°
∴∆是等边三角形．∴
∵∴
在∆和∆中
∴∆≌∆
∴
又∵∆是等边三角形，⊥，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、含有30°的直角三角形的性质等知识，适当添加辅助线熟练掌握相关的知识是解题的关键．
48．5米
【详解】
解：竹竿长x米，则门高（x-1）米，
根据题意得：，
解得：x=5
答：竹竿高5米．
49．（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了．
【分析】
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）先求出BD，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）由题意可知：，；，
在中，由勾股定理得：
，
∴
，
因此，这个梯子的顶端距地面有高．
（2）由图可知：AD=4m，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴
，
∴．
答：梯子的底部在水平方向滑动了．
【点睛】
此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．
50．（1）；（2）；（3）10，
【分析】
（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】
本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
51．见解析
【分析】
根据角平分线的性质可得DE＝DF，∠DEB＝∠DFC，进而证明 Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证明BE＝CF．
【详解】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质与定义，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
52．见解析
【分析】
根据HL证明Rt△ABC≌△Rt△CDE，可得结论．
【详解】
解：证明：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠BAC=∠DCE．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用HL证明三角形全等．
53．（1）CH是从旅游地C到河的最近的路线，见解析；（2）千米
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=（2.4）2+（1.8）2= BC2=25
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路.
（2）设AC=x
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-3）2+42
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
54．7200
【分析】
先利用勾股定理求出BD的长，然后利用勾股定理的逆定理证明三角形BDC是直角三角形，然后求出四边形ABCD的面积，最后进行求解即可得到答案.
【详解】
解：连接，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴是直角三角形．
∴，，
∴四边形的面积为6+30=．
∴投入资金为：元
答：学校需要投入7200元资金买草皮
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
55．（1）1；（2）12或
【分析】
(1)根据完全平方公式变形解答；
(2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c，即可得到周长．
【详解】
（1）∵，，
∴，
∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；
（2）
∴a-3=0，b-4=0，
∴a=3，b=4，
当a与b都是直角边时，c=，∴Rt△ABC的周长=3+4+5=12；
当a为直角边，b为斜边时，c=，∴Rt△ABC的周长=．
【点睛】
此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．
56．（1）（2）详见解析
【分析】
(1)根据勾股定理可以求得AC、CE的长；
（2）利用勾股定理的逆定理可以证明∠ACE＝90°．
【详解】
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝．
∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，
∴CE＝＝＝=2，
（2）证明：∵AC＝，CE＝2，AE＝，
∴AC2+CE2=65= AE2
∴∠ACE＝90°．
【点睛】
本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键．
57．长约为．
【分析】
如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】
如图，过点作于点，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
答：长约为．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
58．（1）见详解；（2）3；（3）PB+PC的长最短为
【分析】
（1）先分别作出△ABC的对称点，然后依次连接即为所求；
（2）在网格中利用割补法进行求解△ABC的面积即可；
（3）要使PB+PC的长为最短，只需连接BC′，因为根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得，然后利用勾股定理可求最短距离．
【详解】
解：（1）分别作B、C关于直线l的对称点，如图所示：
（2）由网格图可得：
；
故答案为3；
（3）由（1）可得：点C与点关于直线对称，连接PC、，如图所示：
∴，
∵，
∴要使BP+PC为最短，则需B、P、三点共线即可，即为的长，
∴，
即PB+PC的长最短为．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形的性质、勾股定理及三角不等关系，熟练掌握轴对称图形的性质、勾股定理及三角不等关系是解题的关键．
59．见解析
【分析】
连接，HL证明即可
【详解】
如图，连接，
，，
在与中
【点睛】
本题考查了HL证明三角形全等，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
60．见解析
【分析】
由题目条件可证△ACD≌△DBA，由全等三角形的性质推∠CAD=∠BDA．
【详解】
解：证明：∵∠C=∠B=90°
在△ACD与△DBA中，
，
∴△ACD≌△DBA（HL）．
∴∠CAD=∠BDA．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，在证明题中注意图形中隐含的条件，如本题中的公共边．
61．
【分析】
根据等边三角形的“三线合一”性质和勾股定理即可解答．
【详解】
解：是一个边长为的等边三角形，是的高，
．
在中，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等边三角形的“三线合一”性质是解答的关键．
62．（1）见解析；（2）是等腰三角形，证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件，用HL直接证明Rt△ABC≌Rt△DCB即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠ACB＝∠DBC，即可证明△OBC是等腰三角形．
【详解】
证明：（1）在和中，
，为公共边，
∴
（2）是等腰三角形
∵
∴
∴
∴是等腰三角形
【点睛】
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题关键．
63．（1）见解析；（2）CE=1
【分析】
（1）连接PA、PB，根据角平分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AEP≌Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】
（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
64．24
【分析】
连接AC，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：连接AC，
在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，
∴．
又∵在Rt△ADC中，DC=7，
∴AD=．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理，作辅助线构造直角三角形并运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．
65．（1）出发9秒后，是等腰直角三角形；（2）当t=6.6秒或9秒或6秒或5.5秒时，△BCP为等腰三角形；（3）当t为5.6秒或8.8秒时，直线PQ把的周长分成的两部分长度是2倍关系．
【分析】
（1）由题意得出BC=CP，即可得出结果；
（2）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC；即可得出答案．
（3）若直线PQ把△ABC的周长分成的两部分之间是1：2，则一部分为8，另一部分为16，分两种情况，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如下图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得
，
当△BCP为等腰直角三角形时，
CP=BC=6cm，
即AP=AC-CP=2cm，
∴（秒），
故出发9秒后，是等腰直角三角形；
（2）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，点P在AC上，由（1）可知t=9（秒）；
如果CP=CB，点P在AB上，如下图，
作CD⊥AB，则,
即，解得CD=4.8cm，
∴cm，
∵CP=CB,CD⊥AB，
∴PD=BD=3.6cm，
（秒），
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，此时（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时
（秒）；
综上可知，当t=6.6秒或9秒或6秒或5.5秒时，△BCP为等腰三角形；
（3）秒，，
故12秒时，两点停止运动，
，
①当P在AB上时，若，
即，解得t=5.6（秒），
①当P在AC上时，若，
即，解得t=8.8（秒），
综上所示，当t为5.6秒或8.8秒时，直线PQ把的周长分成的两部分长度是2倍关系．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长的计算．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
66．92米
【详解】
试题分析：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，利用特殊构造的Rt△BCD，求出BD,CD,AD，最后利用勾股定理求出AC.
试题解析：
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，
∴BD＝BC＝×20＝10(米)，
∴CD＝＝10 (米)，
AD＝AB＋BD＝80＋10＝90(米)．
在Rt△ACD中，AC＝＝≈92(米)．
答：A，C两地之间的距离约为92米
点睛：（1）勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.这就是勾股定理.
（2）勾股定理逆定理
在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形. 这就是勾股定理的逆定理.
（3）勾股定理的应用一定要在直角三角形中，如果没有直角三角形，需要构造直角三角形，才可以使用.
67．
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程后即可确定x的值．
【详解】
解：设树高AB为x m.
由题意知BC=15-10=5(m)，AD=(x-10)m，AC=15-AD=15-x+10=(25-x)m.
在 Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即x2+52=(25-x)2，解得x=12.
答：这棵树有12 m高．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
68．它们离开港口2h后相距100km．
【分析】
由题意知两条船的航向构成了直角，再根据路程＝速度×时间，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵A、B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行；船B以30km/h的速度向北航行，
∴∠AOB＝90°，它们离开港口2h后，AO＝40×2＝80km，BO＝30×2＝60km，
∴AB＝＝100km，
答：它们离开港口2h后相距100km．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出AO，BO的长是解题关键．
相关资料
更多
