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微专题 根据前n项规律归纳数列的通项公式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练
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微专题：根据前n项规律归纳数列的通项公式【考点梳理】1、常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2). (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2). (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 2、给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝eq \f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等. 【典例剖析】典例1．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）A．9802 B．9991 C．10001 D．10202典例2．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ）A． B．C． D．典例3．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基年提出．具体操作是：取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．如图所示，图1中有个白色三角形，图2中有个白色三角形，图3中有个白色三角形，…，依此类推，可以判断图4中白色小三角形的个数为（ ）A． B． C． D．典例4．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（ ）A．193 B．192C．174 D．173【双基达标】5．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，，…的第2022项的值是（ ）A．61 B．62 C．63 D．646．已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（ ）A． B． C． D．7．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的一个通项公式为 ( )A. an＝eq \f(n－1,n＋1) B. an＝eq \f(n－1,2n＋1) C. an＝eq \f(2（n－1）,2n－1) D. an＝eq \f(2n,2n＋1)8．满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）A． B．C． D．9．大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为 A．200 B．162 C．144 D．12810．已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（ ）A．47 B．48 C．57 D．5811．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则（ ）A．361 B．374 C．385 D．39512．已知某数列的前8项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，则此数列的第16项为（ ）A．98 B．112 C．128 D．16213．观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（ ）A．230 B．20 C． D．14．已知数列中，是这个数列的（ ）A．第10项 B．第11项C．第12项 D．第13项15．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）A．4 B．6 C．32 D．12816．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ）一百零八塔全景A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状17．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）A．199 B．201 C．203 D．20518．“天支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的（ ）A．丙申年 B．丙午年 C．甲辰年 D．乙未年19．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（ ）；（ ）. A．35 B．36 C．37 D．38 20．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页，而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第行从左边数第个位置上的数值是（ ）A． B． C． D．21．数列1，，，，，，，，，，…的第2021项为（ ）A． B． C． D．22．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（ ）A．28 B．36 C．45 D．5523．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）A． B． C． D．24．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:，( )，，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（ ）A． B． C． D．25．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ）A．40个 B．45个C．50个 D．55个【高分突破】单选题26．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）A． B． C． D．27．如图，将钢琴上的个键依次记为.设.若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦.用这个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A． B． C． D．二、多选题28．南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合中所有的数从小到大排列的数列，即，，，，，…，则下列结论正确的是（ ）A．第四行的数是17，18，20，24 B．C． D．29．下列说法不正确的是（ ）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C．数列的第k项是1＋D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数30．集合．记中的最大元素为，中的元素之和为，记集合A的元素个数为，则下列结论正确的有（ ）A． B．C． D．三、填空题31．已知数列中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，为其前n项和，定义，且数列的前n项和为，若，则数列的前30项中0的个数为_______个．32．如图1是第七届国际数学数育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记的长度组成数列，则__________．33．已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为__．34．如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标分别对应数列的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则______．35．数列，，，，的第14项是_________．36．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为______.四、解答题37．如果，，，那么就称表示x的整数部分，表示x的小数部分.已知数列满足，，求的值.38．古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.39．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元．(1)求a1、a2；(2)设， 证明数列{bn}为等比数列，并求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2=0.3 ）；(3)若，求数列的前n项和Sn．40．已知数列满足,且，求：（1）数列的前3项； （2）数列的通项公式.参考答案1．C【解析】【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，所以第100个数为，故选：C2．C【解析】利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.3．C【解析】【分析】作出图形，观察可得出结论.【详解】作出如图如下图所示，观察可知，白色小三角形的个数为．故选：C．4．A【解析】【分析】根据题意，分析可得第行的第一个数字为，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、，则第行的第一个数字为，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；故选：A．5．D【解析】【分析】根据数列中数字出现规律，到数字n共有项，进而判断和对应项数刚好包含2022即可.【详解】由题设，数字n出现次数为n，所以数列到数字n共有项，当时，，当时，，所以第2022项的值是64.故选：D6．A【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为，所以．故选：A7．D【解析】根据题意，数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…，an＝eq \f(2n,2n＋1). 故选D. 8．C【解析】【分析】由题意可得，分别计算阴影及扇形面积由几何概型求解即可.【详解】由题，，，，，则阴影部分面积为，扇形的面积为，所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为.故选：C9．B【解析】【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可.【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数即，故选B．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．10．C【解析】【分析】将数列的项分组，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式，求得，结合，即可求得答案.【详解】将数列分组为（），（，），（，，），（，，，），…，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，则 ，此时数列共有项数为 ，即得，解得 由于 ，而，故 ，又,故符合条件的m,的最小值为11，则满足且的n的最小值为 ，故选：C【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.11．B【解析】【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以故选：B12．C【解析】【分析】根据数列的前8项的特点求解.【详解】由题意得，奇数项依次为，，，…，偶数项依次为，，，…，所以第16项为.故选：C.13．C【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环，由此可以判断第20项.【详解】观察数列得出规律，数列中的项中，指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，且指数、对数、余弦值以3为循环，，可得第20项为.故选：C.【点睛】本题考查通过观察数列规律求指定项，属于基础题.14．A【解析】【分析】根据题意，令，求得，即可得到答案.【详解】由题意，数列通项公式为，令，解得，即是这个数列的第10项.故选：A.15．B【解析】【分析】根据科拉茨的猜想从反推的所有可能取值.【详解】所以不同值的个数为.故选：B16．C【解析】【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.【详解】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．故选：C17．B【解析】【分析】本题可通过图示关系找到第个图形和火柴棒数量之间的数列关系式，从而求出第100个图形所用火柴棒数【详解】由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第个图形所需要的火柴棒数量为，则，套用关系式可以算出，第个图形所用火柴棒数量为故选：B18．A【解析】【分析】按照题中规律依次从2021年倒推，列举到2016年，即可得到答案.【详解】依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年.故选：A.【点睛】关键点点睛:本题的解题关键在于根据题意理解“干支纪年法”的定义，根据规律突破难点即可.19．C【解析】【分析】结合图形中的规律直接求出和，进而总结出递推公式时，，利用累加法即可求出结果.【详解】由图中规律可知：，所以，，，，因此当时，，所以，经检验当时，符合，所以，故选：C.20．A【解析】【分析】首先确定第行的第一个数是，第九行的第一个数是，再确定第10行、第9行的第二个数，再确定第行的第三个数.【详解】从上往下，第几行的第一个数是几分之一，所以第行的第一个数是，第九行的第一个数是，第八行第一个数是．从第二行开始每一行的第二个数和第一个数的和是上面的第一个数，所以第行的第二个数是，第九行的第二个数是．从第三行开始，第二个数和第三个数的和是上一行的第二个数，所以第行的第三个数是.所以排在第行从左边数第个位置上的数是.故选：A【点睛】方法点睛：对于类似这种数学归纳的题目，一般要通过不完全归纳观察归纳数列的规律，再利用规律解题.21．B【解析】【分析】观察可知数列构成为，1个1,3个，5个，…，个…，计算可得,结合选项进行判断即可得出结果.【详解】观察可知数列构成为，1个1,3个，5个，…，个，…注意到，而，，故选：B.22．B【解析】【分析】根据数列的前几项求出三角数列以及正方形数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，三角数列的通项为，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，所以在三角数列中，第二个正方形数是36.故选：B..23．C【解析】【分析】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，从而可求出“角”和“徵”对应的琴弦长度之比.【详解】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，，，，五根琴弦的长度从大到小依次为，，，，，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为．故选：C.24．C【解析】【分析】通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果.【详解】从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为故选:C.25．B【解析】【分析】由条件求出前三项交点的个数，猜想数列的通项公式并计算数值.【详解】交点个数依次构成数列，即，，，，由此猜想an＝，所以a9＝＝45.故选：B26．D【解析】【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.27．C【解析】【分析】列举出能够构成原位大三和弦和原位小三和弦的所有可能的结果，加和即可得到结果.【详解】记对应的值记为，则原位大三和弦所有可能的结果有：，，，，，共个；原位小三和弦所有可能的结果有：，，，，，共个；则可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为.故选：C.28．ABD【解析】【分析】根据集合元素性质，结合数列中的项进行判断即可.【详解】利用来表示每一项，由题可知：第一行：3（0，1）；第二行：5（0，2），6（1，2）；第三行：9（0，3），10（1，3），12（2，3）；第四行：17（0，4），18（1，4），20（2，4），24（3，4），故A正确.表示第行的第项，则，故B正确.由表示第行的第1项，则，故C错误.又表示第14行的第9项，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：运用集合元素的属性特征是解题的关键.29．ABD【解析】【分析】由数列与数集的区别判断选项A；由数列的有序性判断选项B；由数列的通项判断选项C；由数列的定义域判断选项D.【详解】数列与数集是不同的，故选项A错误；由数列的有序性知选项B错误；由数列通项知：当时为第k项，故选项C正确；数列的定义域不一定为正整数集，故选项D错误．故选：ABD30．BCD【解析】【分析】求得，从而确定正确答案.【详解】对于集合，元素如下：所以，，，所以A错误，BC正确.对于集合，元素如下：所以，D选项正确.故选：BCD31．7【解析】【分析】由，设前30项中有个1，则有个，有个0，再根据求得值后可得结论．【详解】设前30项中有个1，因为，则有个，其余的都是0，所以，解得，因此0的个数是29－2×11＝7个．故答案为：7．32．【解析】【分析】由勾股定理依次求解即可.【详解】由题意知：.故答案为：.33．【解析】【分析】通过观察数列可知绝对值成等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，即可求解.【详解】由已知条件得数列的每一项的绝对值成首项为，公差为的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，进而可推断出通项公式为，则；故答案为：.34．119【解析】【分析】根据所给数据，归纳数列变化规律求解即可.【详解】由已知，可得，，，，，，∴，．又，，，，，，∴，，∴．故答案为：11935．【解析】【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：不妨设数列为，则，，，，由此归纳得到的一个通项公式为，所以；故答案为：36．【解析】【分析】根据得出规律，进而预计第10年树的分枝数.【详解】因为，所以第到第年树的分枝数分别为：故答案为：37．【解析】【分析】根据， ，，递推出数列的规律求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，，…,所以当n为奇数时， ；当n为偶数时，，所以，所以.38．，【解析】【分析】根据题意，分析总结可得，利用累加法，结合等差数列求和公式，即可求得表达式，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得：，所以累加可得，当n=1时，满足上式，所以，所以39．(1)万元， 万元；(2)证明见解析，至少12年；(3).【解析】【分析】（1）根据已知条件求得.（2）利用凑配法证得是等比数列，并求得，由求得经过年后达到或超过翻两番.（3）利用错位相减求和法求得.(1)第年后，资金为万元，第年后，资金为万元.(2)第年后，资金为，，所以数列，即数列是首项为，公比为的等比数列.所以，，，两边取以为底的对数得，，即至少要年.(3)，，，两式相减得，所以.40．（1）， ，；（2）.【解析】【分析】（1）将代入递推关系中，可求得，将代入递推关系，可求得.（2）设，根据递推关系可得 ，从而可得数列是以2为公比的等比数列，从而求出的通项公式.【详解】（1）,且， （2）由题可令： 又， 故数列是以2为公比的等比数列，且首项-5 【点睛】本题考查根据递推关系求数列的项和求通项公式，考查待定系数法，等比数列的通项公式的应用，属于中档题. 2的元素000000000010.03125000100.0625001000.125010000.25100000.5000110.09375001010.15625010010.28125100010.53125001100.1875010100.3125100100.5625011000.375101000.625110000.75001110.21875010110.34375100110.59375011010.40625101010.65625110010.78125011100.4375101100.6875110100.8125111000.875011110.46875101110.71875110110.84375111010.90625111100.9375111110.96875的元素00000001000000.50100000.250010000.1250001000.06250000100.031250000010.0156251100000.751010000.6251001000.56251000100.531251000010.5156250110000.3750101000.31250100100.281250100010.2656250011000.18750010100.156250010010.1406250001100.093750001010.0781250000110.0468751110000.8751101000.81251100100.781251100010.7656251011000.68751010100.656251010010.6406251001100.593751001010.5781251000110.5468750111000.43750110100.406250110010.3906250101100.343750101010.3281250100110.2968750011100.218750011010.2031250010110.1718750001110.1093750011110.2343750101110.3593750110110.4218750111010.4531250111100.468751001110.6093751010110.6718751011010.7031251011100.718751100110.7968751101010.8281251101100.843751110010.8906251110100.906251111000.93750111110.4843751011110.7343751101110.8593751110110.9218751111010.9531251111100.968751111110.984375
微专题：根据前n项规律归纳数列的通项公式【考点梳理】1、常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2). (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2). (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 2、给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝eq \f(1＋（－1）n＋1,2)或an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2)))，甚至分段形式an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n是奇数，,0，n是偶数))等. 【典例剖析】典例1．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）A．9802 B．9991 C．10001 D．10202典例2．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ）A． B．C． D．典例3．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基年提出．具体操作是：取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．如图所示，图1中有个白色三角形，图2中有个白色三角形，图3中有个白色三角形，…，依此类推，可以判断图4中白色小三角形的个数为（ ）A． B． C． D．典例4．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（ ）A．193 B．192C．174 D．173【双基达标】5．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，，…的第2022项的值是（ ）A．61 B．62 C．63 D．646．已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（ ）A． B． C． D．7．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的一个通项公式为 ( )A. an＝eq \f(n－1,n＋1) B. an＝eq \f(n－1,2n＋1) C. an＝eq \f(2（n－1）,2n－1) D. an＝eq \f(2n,2n＋1)8．满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（ ）A． B．C． D．9．大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为 A．200 B．162 C．144 D．12810．已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满足且的n的最小值为（ ）A．47 B．48 C．57 D．5811．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则（ ）A．361 B．374 C．385 D．39512．已知某数列的前8项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，则此数列的第16项为（ ）A．98 B．112 C．128 D．16213．观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（ ）A．230 B．20 C． D．14．已知数列中，是这个数列的（ ）A．第10项 B．第11项C．第12项 D．第13项15．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（ ）A．4 B．6 C．32 D．12816．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ）一百零八塔全景A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状17．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）A．199 B．201 C．203 D．20518．“天支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支纪年法”中的（ ）A．丙申年 B．丙午年 C．甲辰年 D．乙未年19．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则（ ）；（ ）. A．35 B．36 C．37 D．38 20．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页，而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第行从左边数第个位置上的数值是（ ）A． B． C． D．21．数列1，，，，，，，，，，…的第2021项为（ ）A． B． C． D．22．古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，所以都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（ ）A．28 B．36 C．45 D．5523．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）A． B． C． D．24．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:，( )，，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（ ）A． B． C． D．25．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是（ ）A．40个 B．45个C．50个 D．55个【高分突破】单选题26．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（ ）A． B． C． D．27．如图，将钢琴上的个键依次记为.设.若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦.用这个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A． B． C． D．二、多选题28．南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合中所有的数从小到大排列的数列，即，，，，，…，则下列结论正确的是（ ）A．第四行的数是17，18，20，24 B．C． D．29．下列说法不正确的是（ ）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C．数列的第k项是1＋D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数30．集合．记中的最大元素为，中的元素之和为，记集合A的元素个数为，则下列结论正确的有（ ）A． B．C． D．三、填空题31．已知数列中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，为其前n项和，定义，且数列的前n项和为，若，则数列的前30项中0的个数为_______个．32．如图1是第七届国际数学数育大会的会徽，它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记的长度组成数列，则__________．33．已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为__．34．如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标分别对应数列的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则______．35．数列，，，，的第14项是_________．36．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为______.四、解答题37．如果，，，那么就称表示x的整数部分，表示x的小数部分.已知数列满足，，求的值.38．古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.39．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元．(1)求a1、a2；(2)设， 证明数列{bn}为等比数列，并求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2=0.3 ）；(3)若，求数列的前n项和Sn．40．已知数列满足,且，求：（1）数列的前3项； （2）数列的通项公式.参考答案1．C【解析】【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，所以第100个数为，故选：C2．C【解析】利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.3．C【解析】【分析】作出图形，观察可得出结论.【详解】作出如图如下图所示，观察可知，白色小三角形的个数为．故选：C．4．A【解析】【分析】根据题意，分析可得第行的第一个数字为，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、，则第行的第一个数字为，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；故选：A．5．D【解析】【分析】根据数列中数字出现规律，到数字n共有项，进而判断和对应项数刚好包含2022即可.【详解】由题设，数字n出现次数为n，所以数列到数字n共有项，当时，，当时，，所以第2022项的值是64.故选：D6．A【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为，所以．故选：A7．D【解析】根据题意，数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…，an＝eq \f(2n,2n＋1). 故选D. 8．C【解析】【分析】由题意可得，分别计算阴影及扇形面积由几何概型求解即可.【详解】由题，，，，，则阴影部分面积为，扇形的面积为，所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为.故选：C9．B【解析】【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第18项即可.【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数即，故选B．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键．10．C【解析】【分析】将数列的项分组，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，由此列式，求得，结合，即可求得答案.【详解】将数列分组为（），（，），（，，），（，，，），…，设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上，则 ，此时数列共有项数为 ，即得，解得 由于 ，而，故 ，又,故符合条件的m,的最小值为11，则满足且的n的最小值为 ，故选：C【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.11．B【解析】【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以故选：B12．C【解析】【分析】根据数列的前8项的特点求解.【详解】由题意得，奇数项依次为，，，…，偶数项依次为，，，…，所以第16项为.故选：C.13．C【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环，由此可以判断第20项.【详解】观察数列得出规律，数列中的项中，指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，且指数、对数、余弦值以3为循环，，可得第20项为.故选：C.【点睛】本题考查通过观察数列规律求指定项，属于基础题.14．A【解析】【分析】根据题意，令，求得，即可得到答案.【详解】由题意，数列通项公式为，令，解得，即是这个数列的第10项.故选：A.15．B【解析】【分析】根据科拉茨的猜想从反推的所有可能取值.【详解】所以不同值的个数为.故选：B16．C【解析】【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.【详解】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．故选：C17．B【解析】【分析】本题可通过图示关系找到第个图形和火柴棒数量之间的数列关系式，从而求出第100个图形所用火柴棒数【详解】由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第个图形所需要的火柴棒数量为，则，套用关系式可以算出，第个图形所用火柴棒数量为故选：B18．A【解析】【分析】按照题中规律依次从2021年倒推，列举到2016年，即可得到答案.【详解】依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年.故选：A.【点睛】关键点点睛:本题的解题关键在于根据题意理解“干支纪年法”的定义，根据规律突破难点即可.19．C【解析】【分析】结合图形中的规律直接求出和，进而总结出递推公式时，，利用累加法即可求出结果.【详解】由图中规律可知：，所以，，，，因此当时，，所以，经检验当时，符合，所以，故选：C.20．A【解析】【分析】首先确定第行的第一个数是，第九行的第一个数是，再确定第10行、第9行的第二个数，再确定第行的第三个数.【详解】从上往下，第几行的第一个数是几分之一，所以第行的第一个数是，第九行的第一个数是，第八行第一个数是．从第二行开始每一行的第二个数和第一个数的和是上面的第一个数，所以第行的第二个数是，第九行的第二个数是．从第三行开始，第二个数和第三个数的和是上一行的第二个数，所以第行的第三个数是.所以排在第行从左边数第个位置上的数是.故选：A【点睛】方法点睛：对于类似这种数学归纳的题目，一般要通过不完全归纳观察归纳数列的规律，再利用规律解题.21．B【解析】【分析】观察可知数列构成为，1个1,3个，5个，…，个…，计算可得,结合选项进行判断即可得出结果.【详解】观察可知数列构成为，1个1,3个，5个，…，个，…注意到，而，，故选：B.22．B【解析】【分析】根据数列的前几项求出三角数列以及正方形数列的通项公式即可求解.【详解】由题意可得，三角数列的通项为，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，所以在三角数列中，第二个正方形数是36.故选：B..23．C【解析】【分析】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，从而可求出“角”和“徵”对应的琴弦长度之比.【详解】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，，，，五根琴弦的长度从大到小依次为，，，，，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为．故选：C.24．C【解析】【分析】通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果.【详解】从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为故选:C.25．B【解析】【分析】由条件求出前三项交点的个数，猜想数列的通项公式并计算数值.【详解】交点个数依次构成数列，即，，，，由此猜想an＝，所以a9＝＝45.故选：B26．D【解析】【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.27．C【解析】【分析】列举出能够构成原位大三和弦和原位小三和弦的所有可能的结果，加和即可得到结果.【详解】记对应的值记为，则原位大三和弦所有可能的结果有：，，，，，共个；原位小三和弦所有可能的结果有：，，，，，共个；则可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为.故选：C.28．ABD【解析】【分析】根据集合元素性质，结合数列中的项进行判断即可.【详解】利用来表示每一项，由题可知：第一行：3（0，1）；第二行：5（0，2），6（1，2）；第三行：9（0，3），10（1，3），12（2，3）；第四行：17（0，4），18（1，4），20（2，4），24（3，4），故A正确.表示第行的第项，则，故B正确.由表示第行的第1项，则，故C错误.又表示第14行的第9项，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：运用集合元素的属性特征是解题的关键.29．ABD【解析】【分析】由数列与数集的区别判断选项A；由数列的有序性判断选项B；由数列的通项判断选项C；由数列的定义域判断选项D.【详解】数列与数集是不同的，故选项A错误；由数列的有序性知选项B错误；由数列通项知：当时为第k项，故选项C正确；数列的定义域不一定为正整数集，故选项D错误．故选：ABD30．BCD【解析】【分析】求得，从而确定正确答案.【详解】对于集合，元素如下：所以，，，所以A错误，BC正确.对于集合，元素如下：所以，D选项正确.故选：BCD31．7【解析】【分析】由，设前30项中有个1，则有个，有个0，再根据求得值后可得结论．【详解】设前30项中有个1，因为，则有个，其余的都是0，所以，解得，因此0的个数是29－2×11＝7个．故答案为：7．32．【解析】【分析】由勾股定理依次求解即可.【详解】由题意知：.故答案为：.33．【解析】【分析】通过观察数列可知绝对值成等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，即可求解.【详解】由已知条件得数列的每一项的绝对值成首项为，公差为的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，进而可推断出通项公式为，则；故答案为：.34．119【解析】【分析】根据所给数据，归纳数列变化规律求解即可.【详解】由已知，可得，，，，，，∴，．又，，，，，，∴，，∴．故答案为：11935．【解析】【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：不妨设数列为，则，，，，由此归纳得到的一个通项公式为，所以；故答案为：36．【解析】【分析】根据得出规律，进而预计第10年树的分枝数.【详解】因为，所以第到第年树的分枝数分别为：故答案为：37．【解析】【分析】根据， ，，递推出数列的规律求解.【详解】因为，，所以，所以，所以，，…,所以当n为奇数时， ；当n为偶数时，，所以，所以.38．，【解析】【分析】根据题意，分析总结可得，利用累加法，结合等差数列求和公式，即可求得表达式，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得：，所以累加可得，当n=1时，满足上式，所以，所以39．(1)万元， 万元；(2)证明见解析，至少12年；(3).【解析】【分析】（1）根据已知条件求得.（2）利用凑配法证得是等比数列，并求得，由求得经过年后达到或超过翻两番.（3）利用错位相减求和法求得.(1)第年后，资金为万元，第年后，资金为万元.(2)第年后，资金为，，所以数列，即数列是首项为，公比为的等比数列.所以，，，两边取以为底的对数得，，即至少要年.(3)，，，两式相减得，所以.40．（1）， ，；（2）.【解析】【分析】（1）将代入递推关系中，可求得，将代入递推关系，可求得.（2）设，根据递推关系可得 ，从而可得数列是以2为公比的等比数列，从而求出的通项公式.【详解】（1）,且， （2）由题可令： 又， 故数列是以2为公比的等比数列，且首项-5 【点睛】本题考查根据递推关系求数列的项和求通项公式，考查待定系数法，等比数列的通项公式的应用，属于中档题. 2的元素000000000010.03125000100.0625001000.125010000.25100000.5000110.09375001010.15625010010.28125100010.53125001100.1875010100.3125100100.5625011000.375101000.625110000.75001110.21875010110.34375100110.59375011010.40625101010.65625110010.78125011100.4375101100.6875110100.8125111000.875011110.46875101110.71875110110.84375111010.90625111100.9375111110.96875的元素00000001000000.50100000.250010000.1250001000.06250000100.031250000010.0156251100000.751010000.6251001000.56251000100.531251000010.5156250110000.3750101000.31250100100.281250100010.2656250011000.18750010100.156250010010.1406250001100.093750001010.0781250000110.0468751110000.8751101000.81251100100.781251100010.7656251011000.68751010100.656251010010.6406251001100.593751001010.5781251000110.5468750111000.43750110100.406250110010.3906250101100.343750101010.3281250100110.2968750011100.218750011010.2031250010110.1718750001110.1093750011110.2343750101110.3593750110110.4218750111010.4531250111100.468751001110.6093751010110.6718751011010.7031251011100.718751100110.7968751101010.8281251101100.843751110010.8906251110100.906251111000.93750111110.4843751011110.7343751101110.8593751110110.9218751111010.9531251111100.968751111110.984375
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