微专题 由an与Sn的关系求通项公式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 由an与Sn的关系求通项公式 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共28页。
微专题：由an与Sn的关系求通项公式
【考点梳理】

任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用.


【典例剖析】
典例1．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
典例2．若数列{}的前n项和为＝，=（       ）
A． B． C． D．
典例3．若数列的前项和为，且，则（       ）
A． B． C． D．
典例4．记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．


【双基达标】
5．已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
6．已知数列的前n项和为，则数列前10项和是（       ）
A． B． C． D．
7．已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（       ）
A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n
8．已知数列{an}的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T20的值为（       ）
A． B． C． D．
9．已知数列的前项和为，且，则（       ）
A． B． C．2 D．
10．已知等差数列的前项和满足：，若，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
11．数列的前项和为，若，，则等于（       ）
A． B． C． D．
12．已知数列的前项的和为，且，则（       ）
A．为等比数列 B．为摆动数列
C． D．
13．已知数列的前n项和为，满足，则（       ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
14．已知数列的前项和，则的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
16．数列{an}的前项和为，则其通项公式=（       ）
A． B． C． D．
17．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（       ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
18．已知等比数列的前项和，则的值等于（       ）
A． B． C． D．
19．定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为
A． B． C． D．
20．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（             ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
21．已知数列的前n项和，若，则数列的前n项和是（       ）
A． B． C． D．
22．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得成立的的最大值为（       ）
A．17 B．18 C．19 D．20
23．设数列的前n项和为，，，（），若，则n的值为（       ）．
A．1007 B．1006 C．2012 D．2014
24．设数列的前n项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
25．设数列的前项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，令Tm＝|am+am+1+…am+4|（m∈N*），则Tm的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．3
27．已知数列的前项和，则的值为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．10
28．已知正项数列满足，是的前项和，且，则（       ）
A． B．
C． D．
29．已知数列的前项和为，若，且，则（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、多选题
30．已知数列的前项和为，且，，若，则正整数的值可以为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
31．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（       ）
A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列
32．已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（       ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
33．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（       ）
A．数列{an}一定是等比数列 B．数列{an}可能是等差数列
C．数列{Sn}可能是等比数列 D．数列{Sn}可能是等差数列
三、填空题
34．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
35．已知数列的前项和为，且，则___________.
36．已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________．
37．如果数列的前项和为，那么数列的通项公式是__________．
38．数列的前项和为，则______.
39．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则___________.
四、解答题
40．已知数列的前n项和满足，设.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，…，，求数列的通项公式.
41．已知数列的首项为1，当时，其前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求满足的最小的值.
42．已知数列的前n项和为，，______．指出，，…，中哪一项最大，并说明理由．从①，，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
43．设数列的前项和为且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
44．已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
当时，，当时，，得到答案.
【详解】
当时，.
当时，，不符合上式；
所以数列的通项公式为.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】
解：当时，，解得，
当时，，即，
∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，
所以.
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
令可求得的值，当时， 由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出的值，即可得解.
【详解】
当时，，可得，
当时， 由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，则，
因此，.
故选：D.
4．D
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示得到，再根据计算可得.
【详解】
解：因为，且，
所以，当时，又，所以，
当时，所以，即，
所以，，又，故A、B错误；
又，所以，即，故C错误，D正确；
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
首先由，得到，两式作差即可得到，再根据等比数列求和公式求出，再根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】
解：∵，∴当时，有，两式相减得：，即，又当时，有，解得；
∴，．
∵对于任意的，，不等式恒成立，
∴，即，∴．
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
先求通项，再裂项求和即可.
【详解】
，，
，
又，所以，
，
前10项的和.
故选：C.
7．D
【解析】
【分析】
先将等式化为的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出.
【详解】
当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以.
故选：D.
8．C
【解析】
【分析】
先求出，再用裂项相消法求出T20.
【详解】
对于，
当n=1时，；
当时，；
经检验，对n=1也成立，所以.
所以，
所以.
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
由可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得，进而可求得的值.
【详解】
当时，，则．
当时，，所以，
即，所以，且，
则是以为首项，为公比的等比数列，从而，即，
故．
因为，所以，则．
故选：B.
10．C
【解析】
首先根据数列的通项与的关系，得到，，，再根据选项，代入前项和公式，计算结果.
【详解】
由得，，，.
又，
，
.
故选:C.
【点睛】
关键点睛：本题的第一个关键是根据公式，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.
11．C
【解析】
【分析】
讨论n=1和n≥2两种情况，当n≥2时，通过及等比数列的定义得到答案.
【详解】
时，,
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
12．D
【解析】
利用已知条件求出数列的通项公式，再求出的前项的和为，即可判断四个选项的正误.
【详解】
因为①，
当时，，解得：，
当时，②，
①-②得：，即，
所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，
所以，所以，
所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，
，故选项不正确，选项正确.
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.
13．A
【解析】
【分析】
由等差中项的性质及等差数列的定义写出通项公式，再由关系求的通项公式，进而求.
【详解】
由知：为等差数列，
又，，则公差，
所以，故，
则，可得，而也满足，
所以，则.
故选：A
14．B
【解析】
利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.
【详解】
，当时，，
当时，，上式也成立，
，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.
15．A
【解析】
【分析】
先求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】
依题意，
当时，，
，两式相减并化简得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，.
，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：A
16．B
【解析】
【分析】
利用的关系求数列通项即可，注意讨论、求及的关系.
【详解】
由题设，时，，则，
时，，则，
∴.
故选：B
17．D
【解析】
当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.
【详解】
当且时，由，
由可得，
整理得（且）.
则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.
A中，当时，，A选项正确；
B中，为等差数列，显然有，B选项正确；
C中，记，
，
，故为递减数列，
，C选项正确；
D中，，，.
，D选项错误.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.
18．B
【解析】
根据已知，先求，，，再根据，求.
【详解】
根据题意，等比数列的前项和，
则，
，
，
则有，解可得；
故选:B．
19．B
【解析】
【分析】
根据“快乐数”定义可得数列的前项和；利用与关系可求得数列的通项公式，从而得到，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】
设为数列的前项和
由“快乐数”定义可知：，即
当时，
当且时，
经验证可知满足       

数列的前项和为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到；从而利用与的关系求解出数列的通项公式.
20．A
【解析】
【分析】
由与的关系化简即可求出及，可得，分析单调性即可求解.
【详解】
∵,
∴,则,即,
∴.
易知,
∵,

当时, ,
∴当时, ,
当时,,
又,
∴当时, 有最小值.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了数列与的关系，数列的单调性，属于中档题.
21．C
【解析】
【分析】
先利用，求出，从而可求出，进而可求出数列的前n项和
【详解】
当时，，
当时，，满足上式，
所以，
所以 ，
所以数列的前n项和是
故选：C
22．C
【解析】
【分析】
根据求通项公式，注意讨论、并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.
【详解】
当时，；当时，；而也符合，
∴，.又，
∴，要使，
即，得且，则的最大值为19.
故选：C.
23．A
【解析】
【分析】
根据数列与的关系证得数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
利用等差数列的前n项和公式求出题中的式子，化简计算即可.
【详解】
，
，
整理可得，，
两边同时除以可得，又
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，



，
由题意可得，，
解得．
故选：A．
24．C
【解析】
【分析】
根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可
【详解】
当时，，解得.
当时，，
所，即，
所以，即，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，
从而，故.
故选：C
25．C
【解析】
【分析】
根据题目所给递推关系，利用，求得为等比数列，首项为3公比为2，即可得解.
【详解】
由 ①，
当时，可得，
当时，②，
作差可得：，
所以，
所以为等比数列，首项为3公比为2，
所以.
故选：C
26．C
【解析】
【分析】
先求出等差数列的通项公式，再根据等差数列的性质，即可分析到的最小值．
【详解】
解：由等差数列的前n项和，当时，当时，
所以
当，也成立，所以．
根据等差数列的性质可得，当且仅当时取等号．
故选：C．
27．C
【解析】
利用计算．
【详解】
由已知．
故选：C．
28．A
【解析】
【分析】
由题得，，两式作差化简得数列是一个以为首项，以为公差的等差数列，求出即得解.
【详解】
由题得，，
两式相减得，
所以，
所以，
所以，
因为数列是正项数列，所以，
所以，
所以，
所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.
令得，解之得，
所以.
故选：A
【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
29．D
【解析】
先利用结合已知条件得，即数列是每项均为的常数列，即可求出，代入已知条件结合等差数列求和公式即可求得.
【详解】
，，
，变形得
所以数列是每项均为的常数列，，即
又

解得：
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用数列递推关系求数列通项公式，及等差数列求和，题目涉及，利用将已知条件转化为，从而得到数列是每项均为的常数列是解题的关键，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于中档题.
30．CD
【解析】
【分析】
由题意，项和转换可得，裂项相消可得
，令，解不等式即可
【详解】
由已知可得，
当时，，即，
∴，

，
令，得，
即
解得（舍去）或，
∴结合选项，知正整数的值可以为8或9．
故选：CD
31．BC
【解析】
【分析】
由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于选项A：因为，，
当时，，
所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；
对于选项B：因为，，
当时，，当时，，符合上式，
所以，则数列成等比数列，故B正确；
对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；
对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误.
故选：BC.
32．ACD
【解析】
【分析】
对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可
【详解】
当时，，∴，∴A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；
∵，
∴数列为递减数列，∴C正确；
∵，∴，两式相减得，
∴，
∴．∴D正确．
故选：ACD．
33．BD
【解析】
结合已知可得an＝2an﹣1，n＞1，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．
【详解】
Sn＝2（an﹣a），
当n＞1时可得，Sn﹣1＝2（an﹣1﹣a），
两式相减可得，an＝2an﹣1，n＞1，
又n＝1时，S1＝2（a1﹣a）可得，a1＝2a，
若a＝0时，数列{an}不是等比数列，而是等差数列，其各项都为0，和也为等差数列
当a≠0时，数列{an}是等比数列，不是等差数列，而非常数的等比数列的前n项和不是等比，
故选：BD
【点睛】
本题考查了项和转换、等差等比数列的判定，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
34．
【解析】
【分析】
利用通项和前n项和的关系可求的通项公式.
【详解】
，整理得到，
故答案为：.
35．51
【解析】
【分析】
根据题意，可知当时，，当时，根据求出
，再检验，从而得出通项公式，即可求出的结果.
【详解】
解：由题可知，当时，，
当时，，
可知时上式成立，所以，
则，，，
所以.
故答案为：51.
36．
【解析】
【分析】
由，可得，即可得到是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求出，再根据计算可得；
【详解】
解：数列的前n项和为，且满足，
整理得：，
故（常数），
所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列；
所以，
整理得，
当时，故，
显然不符合，
所以．
故答案为：．
37．
【解析】
【分析】
利用的关系，讨论、求的关系式，结合等比数列的定义写出的通项公式.
【详解】
当时，，
当时，，即，
故数列为等比数列，则．
故答案为：
38．12
【解析】
【分析】
根据数列的前项和与数列的通项的关系求解.
【详解】
由数列的前项和与数列的通项的关系可得，
又，所以，，
所以，
故答案为：12.
39．
【解析】
【分析】
直接利用递推公式求出.
【详解】
∵，
∴当n=1时，，∴，
当n=2时，，∴，
当n=3时，，∴.
故答案为：
40．（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意，① ，当时，，② ，① -② 得，数列是等差数列即得证，即得数列的通项公式；
（2）由题得，再利用等差数列求和得解.
【详解】
（1）由题意，①
令，得，所以.
当时，，②
① -② 得，
所以，即.
因为，所以，
所以数列是公差为1的等差数列.
又，所以.
又，所以.
（2）由题意，得
.
又，，，…，是首项为，公差为1的等差数列，
且共有项，
所以.
41．（1）；（2）20.
【解析】
（1）利用之间的关系，将递推公式转化为之间的关系，构造数列，求得，进而求得；
（2）由（1）中所求，解得，利用裂项求和法求得，解不等式即可求得结果.
【详解】
（1）在数列中，，
当时，，即，
所以，化简得.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，解得.
当时，.
当时不满足，
所以.
（2）由（1）知，
所以.
.
若，即，解得.
所以满足的最小的值为20.
【点睛】
本题考查利用求数列的通项公式，裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.
42．选择见解析；最大；理由见解析．
【解析】
【分析】
当时，由已知条件可得，化简可得，则是以为首项，为公差的等差数列，从而可得，再由，可求出，则为公差为2的等差数列，若选①，由，，可得，从而可求得最大，若选②，由，可得，从而可求得答案
【详解】
因为，
所以当时，，
即，即，即．
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，成立，
当时，，
满足，所以，，
故，所以为等差数列．
若选①，因为，，则，可得，
，可得，所以，
所以，，故最大．
若选②，因为，
所以，解得，
故，故，，故最大．
43．（1）， （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用公式得到，得到答案.
（2），利用裂项相消法得到，得到证明.
【详解】
（1）由可得，
则，可得，
而，故，时满足，故，.
(2)，
=
=，
而，故.
.
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
44．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由及可得，由等差数列的定义即可证得数列是等差数列；
（2）由（1）可得，从而有，从而由已知可得时，，进而可得时，，检验即可得答案.
【详解】
解：（1）证明：，.
，
是等差数列.
（2）由（1）可得，.
时，；
时，.
而，，，均不满足上式.
（）.