微专题 利用导数研究函数的能成立问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 利用导数研究函数的能成立问题 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共38页。
微专题：利用导数研究函数的能成立问题
【考点梳理】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
①一般地，，使得有解，则只需；
②，使得有解，则只需。

【典例分析】
典例1．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.


典例2．已知函数.
（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；
（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.


典例3．设函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）




【双基达标】
4．已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
5．已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
6．已知函数，．
(1)若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间；
(2)若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
7．设函数，．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当时，．
8．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
9．已知函数，其中.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.
10．已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．


【高分突破】
11．已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.
12．已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）、，使得不等式成立，求的取值范围；
（3）不等式在上恒成立，求整数的最大值.
13．已知函数，.
(1)若，求函数的极值；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)若，正实数满足，证明：.
14．已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分．
①若对任意，不等式恒成立，求的最小整数值；
②若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
15．已知函数，，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，使成立，求m的取值范围.
（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.
16．已知函数.
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若存在，，使得不等式成立，求的取值范围.
17．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18．已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
19．设函数的极大值点为，极小值点为．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，，求实数m的取值范围．
20．已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且．
（1）求的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设，若存在实数，，使成立，求实数的取值范围．
21．已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，若有两个相异零点，，求证：．
22．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围.
23．已知函数（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在处的切线方程为，且当对于任意实数时，存在正实数，使得，求的最小正整数值.
24．设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．
25．已知.
(1)求的极值点；
(2)若不等式存在正数解，求实数的取值范围.
26．设函数
（1）求函数的极值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
27．已知函数．
(1)若存在，使≤成立，求a的取值范围；
(2)若，存在，，且当时，，求证：．

参考答案
1．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)在时，求出在1处的导数值，再按直线点斜式写出方程即可得解；
(2)在给定条件下，由不等式分离参数，再构造函数，并求出函数最值即可得解.
【详解】
（1）当时，，则，所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）若存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
存在，不等式成立，
设，，则，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
又，，，
即，故，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
结论点睛：定义在区间D上的函数f(x)，成立，等价于；成立，等价于.
2．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，得到，求导，再利用极值的定义，由函数的极小值为5求解.
（2）由，得到，，求导，分，讨论求得最大值求解.
【详解】
（1）函数的定义域为.
当时，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，
∴.
（2）当时，，，
则.
①当，即时，，
所以在上单调递增，所以；
②当，即时，设的两根分别为，，
则，，∴，，
所以在区间上，，
所以在上单调递增，所以.
综上，当时，在区间上的最大值为，
∴，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：不等式有解问题的解法：
若在区间D上有最值，则；
；
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.
3．(1)答案见解析
(2)存在，的最小值为0
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.
（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.
(1)
因为，
所以，
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得，
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；
时，的增区间为.
(2)
当时，，所以，
而，
因为均为上的增函数，
故为上的增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，
且且时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为，所以，
所以，
而整数，使得关于x的不等式有解，故，
故存在整数满足题意，且的最小值为0.
【点睛】
思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.
4．（1）极小值为，极大值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据的正负可确定单调性，由此确定极值点，代入函数解析式可得极值；
（2）将问题转化为在上的最小值小于零，利用导数可求得的正负，通过讨论是否在区间上，可得的单调性，由此确定最小值，根据最小值小于零可求得结果.
【详解】
（1）函数，定义域为，
，
当时，令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
函数的极小值为，函数的极大值为.
（2）令，
在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.
由得：，
，，又，，
当时，；当时，，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，此时不成立，
②当，即时，在上单调递减，；
由可得：，
，；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、能成立问题的求解；本题中能成立问题的解题关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，通过讨论导函数的零点是否在所给区间内，得到函数的单调性，进而确定最值.
5．(1)在单调递减；在上单调递增；
(2).
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，求，分别解不等式，即可得单增区间和单减区间即可求解；
（2）求出的解析式以及，讨论时，在上单调递减，而不符合题意，当时，对再求导可判断在上单调递增， ，再讨论和时，的单调性和最值即可求解.
(1)
函数的定义域为，
由可得，
由可得，由可得，
所以在单调递减；在上单调递增；
(2)
由题意得，且，
当时，因为时，，所以在上单调递减，
又因为，故在上不可能恒成立；
当时，令，
则，
所以在上单调递增，则，
①当，即时，在上单调递增，
所以，故在上恒成立；
②当，即时，，，
故存在在使得，
此时函数在上单调递减，又，
故在上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述，的取值范围.
6．(1)，，单调递增为，单调递减为
(2)存在，的取值范围是
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数的几何意义以及切点在曲线上列式计算即可得、的值，再令可得单调区间；
（2）先求出函数和的单调性，再根据可得实数的取值范围.
(1)
，依题意，
，得m＝－1，n＝2，
∴，令，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是，
∴函数的单调递增为，单调递减为．
(2)
当n＝2时，，
令，得，又函数的定义域是，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
即函数在上单调递减，
又，令，得0＜x＜e，∴在上单调递增．
当时，不等式有解，
等价于，即，得，．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是．
7．(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先将问题转化为恒成立，设，再利用导数求出其最大值即可得到答案.
（3）首先将问题转化为，，设，利用导数求出，即可得到答案.
(1)
，，即切线.
，，则切线方程为：.
(2)
，恒成立等价于，恒成立.
设，，
，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即.
(3)
，等价于，.
设，，，
设，，，
所以在为增函数，即，
所以，
即在为增函数，即，
即证：.
8．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求解函数的导数，根据题意代入数值计算即可得出结论；
（2）此题为不等式存在性问题，转化为在区间[1，2]上求解不等式，进而得出答案.
【详解】
解：（1）时，，，
曲线在点，（1）处的切线斜率:（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为：，
所求切线方程为：；
（2），
①当即时，，在，上为单调增函数，
此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意，
②当即时，，，的变化如下：

，

，


0


递减
极小值
递增

此时，，解得：
，与矛盾，不符合题意，
③当即时，，在，上为单调减函数
，解得：，又，，
综上：实数的取值范围是．
9．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接求出切线斜率，即可写出切线方程；
（2）先利用导数判断单调性，根据题意列不等式即可解出a的范围.
【详解】
由得.
（1）所以.
又因为.
故所求的切线方程为.
（2）因为
令，得，，
此时，随的变化如下：








0

0



极大值

极小值


由题意，要想存在实数，使得不等式的解集为
只需或
因为，
所以
所以的取值范围为.
10．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【解析】
【分析】
（1）写出时函数表达式，运用导数与函数单调性的知识进行求解即可；
（2）将存在性问题转化为最值问题，原题即求对任意成立的的取值范围，分类讨论的范围即可求解.
(1)
若时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由题意可知，即求成立的的取值范围，
因为，，所以，
所以（当且仅当时取等号），
即，即求对任意成立的的取值范围，
当时，，此时在上单调递增，
且有，不满足；
当时，易知，显然成立；
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【点睛】
此类题目需要综合运用导数与函数之间的关系求解，对于任意或存在性问题需要转化为最值问题进行求解.
11．(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导可得，又即可根据导函数的 正负求得单调性；
（2）由存在性问题进行参变分离可得即可.
(1)
函数的定义域是
.
当时，由，得或，
由，得，
∴在和上单调递增，在上单调递减.
(2)
至少存在一个，使得成立，即当时，
有解
∵当时，，∴有解，
令，则.
∵，
∴在上单调递减，∴，
∴，即，
∴实数a的取值范围.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了根的大小的讨论，同时考查了存在性思想，有一定的计算量，属于艰难题.
本题关键点有：
（1）求导过后注意因式分解；
（2）存在性问题，利用参变分离进行求解.
12．（1）的减区间为，增区间为；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）求得，由题意可知，在时有解，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围；
（3）由题意可知，，构造函数，其中，利用导数求出函数，又由结合可得出结果.
【详解】
（1）因为函数的定义域为，且，.
①当时，，，则， 在上是减函数；
②当时，设，则，
所以，函数在上为增函数，
所以，当时，，所以，函数在上为增函数.
综上所述，函数的减区间为，增区间为；
（2）由（1）知，函数，
、，使得不等式成立，
等价于不等式在时有解，
即不等式在时有解，
设，，
当时，，则，
而，所以恒成立，即在上 是增函数，则，
因此，实数的取值范围是；
（3），恒成立，
等价于，
令，其中，则，
，
，，，，，
在上单调递增，，
在上递增，，，
，且，因此整数的最大值为.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，.
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.
13．(1)极大值为，无极小值；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据f(1)＝0求出a的值，确定f(x)并求出，根据正负判断f(x)单调性，从而可求f(x)在定义域(0，＋¥)的极值；
(2)参变分离不等式，构造函数问题，问题转化为.利用导数研究g(x)单调性和最大值即可求出整数a的最小值；
(3)化简方程为，令，构造函数，研究的最小值，得到关于整体的不等式，解不等式即可得结论.
(1)
∵，∴，
此时，，
，，
由得，由得，
∴的单调增区间为，单调减区间为，
∴有极大值为，无极小值；
(2)
由恒成立，得在上恒成立，
问题等价于在上恒成立.
令，只要.
∵.
令，
∵，∴在上单调递减.
∵，，
∴在(0，＋¥)上存在唯一的，使得，即，
∴.
∴当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，
∴，即，
∵，∴整数的最小值为；
(3)
由题可知，.
当时，，.
∵，
∴，
∴，
令，则由得，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
解得成立.
【点睛】
本题第二问关键是讨论函数的零点和单调性和，从而参变分离后函数的最小值，解题过程中零点无法求出，属于隐零点，可以设而不求，利用隐零点将对数式转换为幂式进行计算.第三问的关键是将方程变形，把看成整体进行求解.
14．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)① 1；②.
【解析】
【分析】
(1)求函数的定义域并求出导数，解不等式和即可作答.
(2)选①，由给定不等式分离参数并构造函数，探求函数的最大值即可得解；
选②，由给定不等式变形，构造函数，借助导数分类讨论有解即可.
(1)
的定义域为，，令，得，
由，解得，由，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
选择①：
当时，恒成立，即恒成立，令，，则，
令，则，即函数单调递减，
而，，则在区间上存在一个零点，
使得，即，
当时，，则，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，
于是得有最大值，，
依题意有，又，
所以的最小整数值是1．
选择②：
不等式，即，设，依题意，存在，，
而，，
当时，在上恒成立，不满足题意，
当时，方程的判别式，
即在上恒成立，则在上单调递增，，在上恒成立，不满足题意，
当时，令，得，，
由和得，则当时，，在上单调递减，此时，
因此，当时，存在，使得不等式成立，
所以满足题意的的取值范围为．
【点睛】
关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
15．（1）f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导得，分析的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，则k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求导分析F（x）的单调性，进而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再结合f（x）在（0，）上单调递减，即可得出答案．
【详解】
解：（1），
令f′（x）＞0，得x＞，
令f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，
令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），
h′（x）＝＝，
在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）min＝h（2）＝＝，
所以1﹣lnm＞，
所以0＜m＜，
所以m的取值范围是（0，）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，
由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，
则k＞1﹣ln2，
所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，
得lnx1+＝lnx2+，
所以lnx1＝lnx2+﹣，
f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣
令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，


＝，
因为x＞，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在（，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（）＝
所以f（x1）＜f（1﹣x2），
因为0＜x1＜＜x2，
所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，
所以0＜1﹣x2＜，
因为f（x）在（0，）上单调递减，
所以x1＞1﹣x2，
所以x1+x2＞1，得证．
【点睛】
关键点点睛：
1.对于若，，使成立，转化为是关键；
2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；
3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.
16．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程.
（2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，来求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
则，，，
所以曲线在点，处的切线方程为，即；
（2）由题意知，存在，，使得不等式成立，
即存在，，使得成立，
令，，，
则，，，
①当时，，所以函数在，上单调递减，
所以（2）成立，解得，所以.
②当时，令，解得；令，解得.
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
又，所以（2），解得，与矛盾，舍去.
③当时，，所以函数在，上单调递增，所以，不符合题意，舍去.
综上所述，的取值范围为.
17．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：当时，，可知的定义域为，
则，
可知当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数，
，
令，即，解得：或（舍去），
当，即时，，在上单调递减，
，得，
又，所以；
当时，即时，，在上单调递增，
，得，不合题意；
当，即时，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，
即，不符合题意；
综上得，实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：
（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.
18．（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【解析】
【分析】
（1）求导得，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．
【详解】
（1），
由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
，
函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
则若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，
即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，
令g（x）＝，x＞1，
g′（x）＝
＝ ，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）•，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，
又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
又，
所以a＜1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
19．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，确定的零点，得的正负，确定的单调性，得极大值点，由已知可得参数范围；
（2）利用三次多项式的图象的对称性，函数图象关于对称，又，因此，这样有，求得的最小值（引入新函数，由导数可得最小值），可得参数范围．
【详解】
解：
（1）
①当即时，，单调递增，与题设矛盾，则．
②当即时，在，上
在，上单调递增，
在上，单调递减，所以，由，解得，
③当即时，在，上，单调递增，
在上，单调递减，所以，由，解得．
综上所述，a的取值范围是．
（2）因为，
所以图象关于对称，而，所以，
又因为使，即使，
令，．
所以，可得在上单调递减，单调递增，
所以，则，
综上，m的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题时注意极值点的定义，极值点两侧函数需一增一减．第（2）不等式恒成立问题的关键是确定函数图象的对称中心，利用对称性化简，然后求新函数的最值．
20．（1）；（2）极大值为，无极小值；（3）
【解析】
【分析】
（1）先根据题意得，进而得切线斜率，故，再根据求得，进而得解析式；
（2）由（1），求导得，进而根据导数与极值的关系即可得答案；
（3）将不等式整理变形得：存在实数使成立，进而转化为，再研究函数的单调性得时，函数为减函数，
时，函数为增函数，再分，，三种情况讨论求解即可得答案.
【详解】
解：（1）令解得，故点，
对函数求导得，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为：，即：，
又因为，故，
所以的解析式.
（2）由（1）知，函数定义域为，
所以，
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（3）因为
，
故不等式等价于，
因为 ，故存在实数使成立，
所以只需成立即可.
所以，
因为时，，故
所以当时，，函数为减函数，
时，，函数为增函数
所以
（i）当时，
在恒成立，故函数在单调递增，
故，所以，解得；
（ii）当时，
时，，函数为减函数，时，，函数为增函数，故，，
所以，当时，，即，
令，，，故在单调递减，，故在单调递增，
所以在上也单调递增，，
与矛盾，无解
当时，，即，所以，
令，，令得，
故当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
由于，
故函数在的函数值恒大于，
故当时，，与矛盾，无解；
（iii）当时，时，，函数为减函数，故，所以，解得；
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数使成立，进而只需成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.
21．（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）当，时，求得导函数，利用导函数与单调性的关系进行求解；
（2）利用导数与极值的关系转化为方程有两个不相等的正实数根，利用二次函数的图象和性质及韦达定理求得的取值范围，不等式有解，转化为，利用韦达定理的结论可以整理为关于实数的函数，进而利用导数进行研究求得其最大值即得的取值范围;
（3）设的两个相异零点为，，设，将要证不等式，转化为，进一步可转化为，设上式转化为，然后构造函数，利用导数研究单调性进而证明即可.
【详解】
解：（1）当，时，，
∴，
∵，令，则或，
令，则，
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）证明：由题可得，
∵函数有两个不同的极值点，，
∴方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得．
∵不等式有解，∴．
∴
．
设，，
故在上单调递增，故，
∴．故实数的取值范围为．
（3），设的两个相异零点为，，
设，欲证，需证．
∵，，
∴，，
∴，．
要证，即证，
即，即，
设上式转化为，
设，∴，
∴在上单调递增，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题，利用导数证明不等式恒成立问题，属于较难试题.关键是转化思想和构造函数思想，数量掌握并使用导数研究函数的单调性是关键能力要求.第(2)小题中，利用极值的条件将关于极值点的表达式转化为a的函数，第（3）小题中，将双变量问题转化为单变量函数问题是要注意体会和掌握的重要方法.
22．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论．
（2）将问题转化为g（x1）小于等于f（x2）的最大值问题，利用参数分离法进行求解即可．
(1)
函数的定义域为，
，
①当时，由得，即的单调递增区间是；
由得，即单调递减区间是.
②当时，由得，即的单调递增区间是）；
由得，即单调递减区间是.
(2)
当时，由（1）知，函数在上道减，
所以，所以
对任意，存在，使
即等价为恒成立即可，即.∴，
设，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴
∴
23．(1)答案见解析
(2)3
【解析】
【分析】
（1）求导后，分和两种情况讨论，但需注意定义域；
（2）先根据题意，求出实数，再由，得到，构造新函数后，得，结合，得到的取值范围即可.
(1)
解：函数的定义域为，且.
当时，，则函数在上单调递增；
当时，令，解得，
所以，当时，，时，.
则函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)
解：由（1）知，
因为函数在处的切线方程为，
所以，解得.
所以，
因为对于任意实数时，存在正实数，使得，
所以，，可得
即，
设，令函数，则，
当时，单调递减；
当时，，单调递增，故，
则，故.
设函数，
因为，可知函数在上单调递减，
故，
解得或(舍去)，
故的最小正整数值为3.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用．
24．(1)详见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论.
（2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.
(1)
因为函数，
所以函数定义域为： ，且
①当时，，令，令,
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，因为，所以当时，
，令，令或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，，
所以当时，在上单调递减；
当时，，令，令
或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
③当时，令，令，
所以当时在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）知当时，在上单调递增，
所以，所以原问题，
使得成立，使得成立.                            
设，则，
所以上单调递减，所以.
所以即.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数．
25．(1)极大值点为，极小值点为
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可得出函数的极大值点与极小值点；
（2）分析可知，存在，使得，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
（1）解：函数的定义域为，，令可得或，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增

所以，函数的极大值点为，极小值点为.
（2）解：由题意可知，存在，使得，即，令，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则，所以，.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
26．（1）极小值为，无极大值；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求导函数，然后利用导数判断函数单调性即可得函数极值；
（2）原问题等价于在上有解，即，构造函数即可求解.
【详解】
解:（1）由于函数的定义域为
易知在上单调递增，且有，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的极小值为，无极大值．
（2）由题意，，即在上有解．
记，则，
若，当时总有，所以在上单调递增，
所以，
要使在上有解，只需，所以．
若，当时，，
若原不等式在上有解，则，即，即，与已知矛盾．
综上，的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是，①将原问题等价转化为；
②记，对分和两种情况讨论，且时，利用放缩法处理，从而导出矛盾.
27．(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)参变分离不等式≤，构造函数，求h(x)的最小值即可得a的取值范围；
(2)整理化简可得，构造函数并判断单调性，从而可利用将等式中替换掉，问题即可转化为证明，令即可进一步转化为证明即可．
(1)
由，得，，即，
令， ，则，
设，，则，
在上单调递增，，
在上，，单调递增，
，
取值范围是；
(2)
不妨设，
，(*)，
，
令，故，故函数在上单调递增．
，从而，
由(*)得，
，
下面证明：，
令，则.即证明：，则只要证明，
设，在恒成立，
在单调递减，故，
，
．
【点睛】
本题第二问关键是构造函数，将转化为，构造，将问题转化为即可．