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初中数学中考复习 专题15 分式（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题15 分式（原卷版），共9页。试卷主要包含了分式，分式有意义的条件，约分，通分，分式的基本性质，最简分式等内容，欢迎下载使用。
知识点1：分式
1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fractin)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于0
3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
5.分式的基本性质:
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=（AC）/（BC）， A/B=（A÷C）/（B÷C） （A,B,C为整式，且C≠0）
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
知识点2：分式的运算
1.同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：（a/b ）（c/d）=ac/bd
4.分式的除法法则:
1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:（a/b）÷（c/d）=（a/b）（d/c）
知识点3：分式方程
1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
3.重点在分式方程解实际应用问题。
一、记忆理解分式单元重难点思维导图
二、中考分式单元考题类型总结
1.分式概念考法
（1）考查分式的定义；
（2）考查分式有意义的条件；
（3）考查分式的值为0的条件；
（4）考查分式的值为正负的条件。
2.分式的基本性质考法
（1）化分数系数、小数系数为整数的问题；
（2）分数的系数变号问题；
（3）化简求值问题。
3.分式的运算考法
（1）通分；
（2）约分；
（3）分式的混合运算；
（4）分式化简求值；
（5）求待定字母的值。
4.分式方程类型题考法
（1）用常规方法解分式方程；
（2）增根类问题；
（3）列分式方程解应用题
1）营销类应用性问题；
2）工程类应用型问题；
3）行程中应用型问题；
4）轮船顺水逆水应用性问题；
5）浓度应用性问题；
6）货物运输应用性问题；
7）其他类应用性问题。
【例题1】（2020•台州）计算1x-13x的结果是 ．
【例题2】（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 ．
【例题3】（2020•乐山）已知y=2x，且x≠y，求（1x-y+1x+y）÷x2yx2-y2的值．
【例题4】（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）=6210xB．6210x-1=3
C．3x﹣1=6210xD．6210x=3
【例题5】（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
《分式》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020•哈尔滨）方程2x+5=1x-2的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝5C．x＝7D．x＝9
2．（2020•成都）已知x＝2是分式方程kx+x-3x-1=1的解，那么实数k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2020•甘孜州）分式方程3x-1-1＝0的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
4．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程xx-3-4=k3-x的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12B．k≥﹣12C．k＞﹣12D．k＜﹣12
5．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-2=m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
6．（2020•泸州）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程xx-2-4=k2-x的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．﹣8＜k＜0B．k＞﹣8且k≠﹣2C．k＞﹣8 且k≠2D．k＜4且k≠﹣2
8．（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（ ）
A．400x-30=500xB．400x=500x+30
C．400x=500x-30D．400x+30=500x
9．（2020•牡丹江）若关于x的方程mx+1-2x=0的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＜2且m≠0C．m＞2D．m＞2且m≠4
10．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组3x-12≤x+3，x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y-ay-2+3y-4y-2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．﹣14C．28D．﹣56
二、填空题（每空3分，共33分）
11．（2020•湖州）化简：x+1x2+2x+1= ．
12.（2020•遂宁）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．这个值可能是_______.
13.（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 ．
14．（2020•广元）关于x的分式方程m2x-1+2＝0的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（2020•南京）方程xx-1=x-1x+2的解是 ．
16．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 ．
17．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ．
18．（2020•内江）若数a使关于x的分式方程x+2x-1+a1-x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组y-34-y+13≥-13122(y-a)＜0的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为 ．
19．（2020•陕西）分式方程：x-2x-3x-2=1．的解为_______。
20．（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，则该地4G下载速度是每秒______兆,5G的下载速度是每秒______兆.
三、解答题（8个小题，共57分）
21．（6分）（2020•甘孜州）化简：（3a-2-1a+2）•（a2﹣4）．
22.（6分）（2020•遂宁）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
23．（6分）（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1-7x-9x）÷x2-9x．
24．（6分）（2020•衢州）先化简，再求值：aa2-2a+1÷1a-1，其中a＝3．
25．（6分）（2020•湘潭）解分式方程：3x-1+2=xx-1．
26．（9分）（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
27．（9分）（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？
28．（9分）（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
知识点1：分式
1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fractin)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2.分式有意义的条件：分母不等于0
3.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。
4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
5.分式的基本性质:
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B=（AC）/（BC）， A/B=（A÷C）/（B÷C） （A,B,C为整式，且C≠0）
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.
知识点2：分式的运算
1.同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：（a/b ）（c/d）=ac/bd
4.分式的除法法则:
1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:（a/b）÷（c/d）=（a/b）（d/c）
知识点3：分式方程
1.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
3.重点在分式方程解实际应用问题。
一、记忆理解分式单元重难点思维导图
二、中考分式单元考题类型总结
1.分式概念考法
（1）考查分式的定义；
（2）考查分式有意义的条件；
（3）考查分式的值为0的条件；
（4）考查分式的值为正负的条件。
2.分式的基本性质考法
（1）化分数系数、小数系数为整数的问题；
（2）分数的系数变号问题；
（3）化简求值问题。
3.分式的运算考法
（1）通分；
（2）约分；
（3）分式的混合运算；
（4）分式化简求值；
（5）求待定字母的值。
4.分式方程类型题考法
（1）用常规方法解分式方程；
（2）增根类问题；
（3）列分式方程解应用题
1）营销类应用性问题；
2）工程类应用型问题；
3）行程中应用型问题；
4）轮船顺水逆水应用性问题；
5）浓度应用性问题；
6）货物运输应用性问题；
7）其他类应用性问题。
【例题1】（2020•台州）计算1x-13x的结果是 ．
【例题2】（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 ．
【例题3】（2020•乐山）已知y=2x，且x≠y，求（1x-y+1x+y）÷x2yx2-y2的值．
【例题4】（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）=6210xB．6210x-1=3
C．3x﹣1=6210xD．6210x=3
【例题5】（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
《分式》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分，答题时间90分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020•哈尔滨）方程2x+5=1x-2的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝5C．x＝7D．x＝9
2．（2020•成都）已知x＝2是分式方程kx+x-3x-1=1的解，那么实数k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2020•甘孜州）分式方程3x-1-1＝0的解为（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
4．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程xx-3-4=k3-x的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣12B．k≥﹣12C．k＞﹣12D．k＜﹣12
5．（2020•齐齐哈尔）若关于x的分式方程3xx-2=m2-x+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
6．（2020•泸州）已知关于x的分式方程mx-1+2=-31-x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程xx-2-4=k2-x的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．﹣8＜k＜0B．k＞﹣8且k≠﹣2C．k＞﹣8 且k≠2D．k＜4且k≠﹣2
8．（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（ ）
A．400x-30=500xB．400x=500x+30
C．400x=500x-30D．400x+30=500x
9．（2020•牡丹江）若关于x的方程mx+1-2x=0的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m＜2且m≠0C．m＞2D．m＞2且m≠4
10．（2020•重庆）若关于x的一元一次不等式组3x-12≤x+3，x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y-ay-2+3y-4y-2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．﹣14C．28D．﹣56
二、填空题（每空3分，共33分）
11．（2020•湖州）化简：x+1x2+2x+1= ．
12.（2020•遂宁）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．这个值可能是_______.
13.（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 ．
14．（2020•广元）关于x的分式方程m2x-1+2＝0的解为正数，则m的取值范围是 ．
15．（2020•南京）方程xx-1=x-1x+2的解是 ．
16．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 ．
17．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ．
18．（2020•内江）若数a使关于x的分式方程x+2x-1+a1-x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组y-34-y+13≥-13122(y-a)＜0的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为 ．
19．（2020•陕西）分式方程：x-2x-3x-2=1．的解为_______。
20．（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，则该地4G下载速度是每秒______兆,5G的下载速度是每秒______兆.
三、解答题（8个小题，共57分）
21．（6分）（2020•甘孜州）化简：（3a-2-1a+2）•（a2﹣4）．
22.（6分）（2020•遂宁）先化简，（x2+4x+4x2-4-x﹣2）÷x+2x-2，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
23．（6分）（2020•常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（x+1-7x-9x）÷x2-9x．
24．（6分）（2020•衢州）先化简，再求值：aa2-2a+1÷1a-1，其中a＝3．
25．（6分）（2020•湘潭）解分式方程：3x-1+2=xx-1．
26．（9分）（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
27．（9分）（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：
（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？
28．（9分）（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．
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