2023年江苏省中考数学一轮复习练习卷08：二次函数

这是一份2023年江苏省中考数学一轮复习练习卷08：二次函数，共54页。
 2023年江苏省中考数学一轮复习练习卷08：二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2022•亭湖区校级二模）已知抛物线y＝kx2+2x﹣1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
2．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c=12m．其中正确的是（　　）

A．① B．② C．都对 D．都不对
3．（2022•邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022•高邮市模拟）在三个函数：①y＝kx+b（k≠0）；②y=kx(k≠0)；③y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3﹣y2＜y2﹣y1总成立的函数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒
6．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022•姜堰区二模）如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．7 D．9
8．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx，其中a﹣b＜0．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点（﹣2，0），则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点P，则必有a＜0；
③若a＞0，则方程ax2+bx＝0必有一根小于﹣1，
④若a＜0，则当﹣1≤x≤0时，必有y随x的增大而增大．正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．（2022•东台市模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②当x＜3时，y随x增大而增大；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022•东海县校级三模）在平面直角坐标系中，已知点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，且mn＜0．设t=−b2a，则t的值可以是（　　）
A．13 B．12 C．1 D．32
二．填空题（共10小题）
11．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　 　．
12．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　 　s时，小球达到最高点．
13．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：　 　．
14．（2022•沭阳县校级模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1（a为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个大于零0，那么a的取值范围是 　 　．
15．（2022•射阳县校级二模）将二次函数y＝x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣2x+4的图象，则m+n的值为 　 　．
16．（2022•天宁区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下：那么当y＞5时，x的取值范围为 　 　．
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
10
5
2
1
2
……
17．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　．

18．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　 　．
19．（2022•鼓楼区校级三模）在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”）
20．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y=−12x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 　 　．

三．解答题（共11小题）
21．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．

22．（2022•镇江）一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图象上的点B（m，54）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数y=12x+n（n＞−916，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．
①x1＝　 　，x2＝　 　（分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE＝BF；
（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．

23．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 　 　．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
24．（2022•无锡）已知二次函数y=−14x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（2022•宿迁）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

26．（2022•亭湖区校级一模）【感受新知】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“关联正方形”，例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个“关联正方形”．
（1）求一次函数y＝x+1图象的所有“关联正方形”的边长；
（2）若反比例函数的图象与一次函数图象有一个相同的“关联正方形”，则称此反比例函数为一次函数的“关联反比例函数”，一次函数y＝x+1是否存在“关联反比例函数”，若存在，求出反比例函数表达式，若不存在，请说明理由；
【灵活运用】（3）如图2，若某函数是反比例函数y=kx（k＞0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；
【深度探究】（4）如图3，若某函数是二次函数y＝ax2+c（a≠0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．


27．（2022•亭湖区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，直线y＝mx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到△MBE，求出△MBE面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△CDE相似，求k的值；
（4）点N在对称轴上，满足∠BNC＝∠ABC，求出点N的坐标．

28．（2022•江都区校级三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣．根据艾宾浩斯遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点进行复习回顾，学习效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．

（1）求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；
（3）该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

29．（2022•建湖县三模）我们规定：关于x的反比例函数y=a+bx称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）按此规定：一次函数y＝x﹣4的“次生函数”为：　 　，“再生函数”为：　 　；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、(4，−12)两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；
②若点E在直线x＝1上，且在x轴的下方，当∠CBE＝45°时，求点E的坐标．

30．（2022•亭湖区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作DE⊥x轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PC⊥PF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点P与点D重合时，求m的值；
②在①的条件下，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到△C1O1F1，点C，O，F的对应点分别是点C1，O1，F1，若△COF的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点F1的坐标；
（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围．


31．（2022•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？


答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•亭湖区校级二模）已知抛物线y＝kx2+2x﹣1与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【解答】解：根据题意得Δ＝22+4k×1＞0，
解得：k＞﹣1，
由于该函数为二次函数，
则k≠0．
∴k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
2．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c=12m．其中正确的是（　　）

A．① B．② C．都对 D．都不对
【解答】解：由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论①正确；
把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b=−12m，
∵b＝2a，
∴a=−14m，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c=34m，
∴b+c=−12m+34m=14m，
故结论②不正确．
故选：A．
3．（2022•邳州市校级模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当a＞0时，
一次函数过一二三象限，
抛物线开口向上，对称轴x=−12a＜0，故B、C不符合题意，
当a＜0时，
一次函数过二三四象限，
抛物线开口向下，对称轴x=−12a＞0，故A不符合题意．
故选：D．
4．（2022•高邮市模拟）在三个函数：①y＝kx+b（k≠0）；②y=kx(k≠0)；③y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3﹣y2＜y2﹣y1总成立的函数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：如图，当点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3）在同一直线上时，过点P1作P1A⊥x轴于点A，过点P2作P2B⊥x轴于点B，过点P3作P3C⊥x轴于点C．

∵n+1=n+n+22，
∴AB＝BC，
∵AP1∥BP2∥CP3，
∴P1P2＝P2P3，
∴y2=y1+y32，
∴2y2＝y1+y3，
∴y3﹣y2＝y2﹣y1，
∴一次函数不满足条件，
对于反比例函数k＞0时，如图，观察图象可知，y2＜12（y1+y3），

∴2y2＜y1+y3，
∴y3﹣y2＞y2﹣y1，
∴反比例函数不满足条件，
对于抛物线a＜0，如图，观察图象可知，y2＞12（y1+y3），

∴2y2＞y1+y3，
∴y3﹣y2＜y2﹣y1，
∴当a＜0时，二次函数满足条件．
故选：B．
5．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒
【解答】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x=6+132=9.5，
∴炮弹所在高度最高是9.5秒，
∴在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒．
故选：B．
6．（2022•苏州二模）已知二次函数y＝a（x﹣2）2+2a（x﹣2）（a为常数，a＜0），则该函数图象的顶点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：当y＝0时，a（x﹣2）2+2a（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+2）＝0，
x﹣2＝0或x﹣2+2＝0，
解得x1＝2，x2＝0，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴顶点的纵坐标大于0，
∴该函数图象的顶点位于第一象限．
故选：A．
7．（2022•姜堰区二模）如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．7 D．9
【解答】解：令x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴a＝2或a＝﹣1，
∴（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为1．
故选：B．
8．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx，其中a﹣b＜0．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点（﹣2，0），则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点P，则必有a＜0；
③若a＞0，则方程ax2+bx＝0必有一根小于﹣1，
④若a＜0，则当﹣1≤x≤0时，必有y随x的增大而增大．正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：将点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx，
可得4a﹣2b＝0，
即b＝2a，
∵a﹣b＜0，
∴a﹣2a＝﹣a＜0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，有最小值．
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过第四象限的点P，
设P（x，y），
∴当x＞0时，y＜0，
即y＝ax2+bx＝x（ax+b）＜0，
∴ax+b＜0，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∴ax+a＜0，即a（x+1）＜0，
∵x＞0，
∴a＜0，
故②正确；
方程ax2+bx＝0可转化为x（ax+b）＝0，
∴x＝0或ax+b＝0，
在ax+b＝0中，
∵a≠0，
∴x=−ba，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∵a＞0，
∴ba＞1，
则x＜﹣1，
∴若a＞0，则方程ax2+bx＝0必有一根小于﹣1，
故③正确；
若a＜0，
则二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，对称轴为x=−b2a，
∵a﹣b＜0，
∴a＜b，
∴ba＜1，
∴−b2a＞−12，
∴当−12＜−b2a＜0时，有−b2a＜x＜0，y随x的增大而减小，
故④错误．
故选：A．
9．（2022•东台市模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
﹣1
m
3
…
以下结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②当x＜3时，y随x增大而增大；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
3=a−b+c0=c−1=a+b+c，
解得a=1b=−2c=0，
∴y＝x2﹣2x．
①∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故①错误，不符合题意．
②∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故②错误，不符合题意．
③∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故③正确，符合题意．
④∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故④错误，不符合题意．
故选：A．
10．（2022•东海县校级三模）在平面直角坐标系中，已知点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，且mn＜0．设t=−b2a，则t的值可以是（　　）
A．13 B．12 C．1 D．32
【解答】解：∵（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx上，
∴a+b=m9a+3b=n，
A、当t=−b2a=13时，b=−23a，
∴m＝a+（−23a）=13a，n＝9a+3×（−23a）＝7a，
此时m、n同号，与mn＜0矛盾，故A不符合题意；
B、当t=−b2a=12时，b＝﹣a，
∴m＝a+（﹣a）＝0，n＝9a+3•（﹣a）＝6a，
此时mn＝0，与mn＜0矛盾，故B不符合题意；
C、当t=−b2a=1时，b＝﹣2a，
∴m＝a+（﹣2a）＝﹣a，n＝9a+3•（﹣2a）＝3a，
此时m、n异号，mn＜0，故C符合题意；
D、当t=−b2a=32时，b＝﹣3a，
∴m＝a+（﹣3a）＝﹣2a，n＝9a+3•（﹣3a）＝0，
此时mn＝0，与mn＜0矛盾，故D不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　4　．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
12．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　2　s时，小球达到最高点．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
13．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：　m＞3　．
【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
14．（2022•沭阳县校级模拟）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+1（a为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个大于零0，那么a的取值范围是 　﹣4＜a＜2且a≠0，a≠﹣2　．
【解答】解：由题意得y＝﹣（x﹣a）2+1＞0，
∴（x﹣a）2＜1
∴x−a＜1x−a＞−1，
∴a﹣1＜x＜a+1，
当x＝﹣3时，则﹣4＜a＜﹣2，
当x＝﹣1时，则﹣2＜a＜0，
当x＝1时，则0＜a＜2，
∴m的取值范围是﹣4＜a＜2且a≠0，a≠﹣2，
故答案为：﹣4＜a＜2且a≠0，a≠﹣2．
15．（2022•射阳县校级二模）将二次函数y＝x2+2x+n的图象先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣2x+4的图象，则m+n的值为 　4　．
【解答】解：∵将二次函数y＝x2+2x+n＝（x+1）2+n﹣1的图像先向右平移2个单位，再向上平移m（m＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣2x+4，
∴y＝x2﹣2x+4＝（x+1﹣2）2+m+n﹣1，
∴x2﹣2x+4＝x2﹣2x+m+n，
∴m+n＝4，
故答案为：4．
16．（2022•天宁区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下：那么当y＞5时，x的取值范围为 　x＜0或x＞4　．
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
10
5
2
1
2
……
【解答】解：根据表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c对应抛物线图像的对称轴为直线x＝2，开口向上，
∵当x＝0时，y＝5，
∴当x＝2×2﹣0＝4时，y＝5，
∴当y＞5时，x＜0或x＞4，
故答案为：x＜0或x＞4．
17．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　4.5　．

【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x=b−22，
∴E（b−22，2），
∴AE=b−22，
∴BF＝AE=b−22，
∴EF＝4﹣2×b−22=6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH=12EF•OG=12（6﹣b）•b=−12（b﹣3）2+4.5，
∵−12＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
18．（2022•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　①②③　．
【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1−m2m=m−12m，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；
∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x=m−12m=12−12m，抛物线开口向下，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．
即x＜12−12m时，y随x的增大而增大．
而12＜12−12m，
∴当x＜12时，y随x的增大而增大，故④错误．
故答案为：①②③．
19．（2022•鼓楼区校级三模）在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而 　增大　．（填“增大”或“减小”）
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
20．（2022•鼓楼区校级二模）小淇利用绘图软件画出函数y=−12x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是﹣3；
④当x＞1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是 　②③④　．

【解答】解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，
∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；
④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．
三．解答题（共11小题）
21．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．

【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=0b=3，
解得k=−1b=3，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM=12MN，
∴|t2﹣3t|=12|2﹣2t|，
解得t＝1+2或t＝1−2或t＝2+3或t＝2−3，
∴P点横坐标为1+2或1−2或2+3或2−3；
（3）∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴AQAP=AGBA，
∴34=AG4，
∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+34AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴b=−32k+b=3，
解得k=3b=−3，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组y=−x+2y=3x−3，
解得x=54y=34，
∴Q（54，34），
∴DQ=5104．

22．（2022•镇江）一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y=12x+1图象上的点B（m，54）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，一次函数y=12x+n（n＞−916，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．
①x1＝　−3−9+16n4　，x2＝　−3+9+16n4　（分别用含n的代数式表示）；
②证明：AE＝BF；
（3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y=12x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．
①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；
②若A′M+3B′N＝2，求t的值．

【解答】（1）解：∵直线y=12x+1与x轴交于点A，
令y＝0，得12x+1＝0，
解得：x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵直线y=12x+1经过点B（m，54），
∴12m+1=54，
解得：m=12，
∴B（12，54），
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣2，0），O（0，0），B（12，54），
设y＝ax（x+2），则54=a×12×（12+2），
解得：a＝1，
∴y＝x（x+2）＝x2+2x，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+2x；
（2）①解：由题意得：x2+2x=12x+n（n＞−916），
解得：x1=−3−9+16n4，x2=−3+9+16n4，
故答案为：−3−9+16n4，−3+9+16n4；
②证明：当n＞1时，CD位于AB的上方，
∵A（﹣2，0），B（12，54），
∴AE＝﹣2−−3−9+16n4=−5+9+16n4，BF=−3+9+16n4−12=−5+9+16n4，
∴AE＝BF，
当−916＜n＜1时，CD位于AB的下方，
∵A（﹣2，0），B（12，54），
∴AE=−3−9+16n4−（﹣2）=5−9+16n4，BF=12−−3+9+16n4=5−9+16n4，
∴AE＝BF，
∴当n＞−916且n≠1时，AE＝BF；
（3）①设P、Q平移前的对应点分别为P′、Q′，则P′Q′∥PQ，
∴P′Q′∥AB，
∵平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，
由（2）②及平移的性质可知：A′M＝B′N；
②∵A′M+3B′N＝2，
∴A′M＝B′N=12，
∵平移前二次函数y＝x2+2x的图象的顶点为（﹣1，﹣1），平移后二次函数y＝（x﹣t）2+2的图象的顶点为（t，2），
∴新二次函数的图象是由原二次函数的图象向右平移（t+1）个单位，向上平移3个单位得到的，
∴B（12，54）的对应点为B′（t+32，174），
∵B′N=12，
∴点Q的横坐标为t+1，代入y=12x+1，得y=12（t+1）+1=12t+32，
∴Q（t+1，12t+32），
将点Q的坐标代入y＝（x﹣t）2+2中，得12t+32=（t+1﹣t）2+2，
解得：t＝3．
23．（2022•盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 　（﹣3，4）或（3，4）　．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±52−42=±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±n2−(n−1)2=±2n−1，
∴该点的坐标为（−2n−1，n﹣1）或（2n−1，n﹣1）．
∵（±2n−1）2＝2n﹣1，n﹣1=2n−1−12，
∴该点在二次函数y=12（x2﹣1）=12x2−12的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±2n−1，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，12m），
∴(±2n−1−0)2+(n−1−12m)2=12m，
∴m=n2n−1=(n−1+1)2n−1=(n−1)2+2(n−1)+1n−1=n﹣1+2+1n−1．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．

24．（2022•无锡）已知二次函数y=−14x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），图象与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图象上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD＝90°．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
（3）点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：将点B（0，3）代入y=−14x2+bx+c，
可得c＝3，
∵二次函数y=−14x2+bx+c图象的对称轴与x轴交于点A（1，0），
∴−b2×(−14)=1，
解得：b=12，
∴二次函数的解析式为y=−14x2+12x+3；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，

∵∠CAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAO，
∵∠BOA＝∠DEA＝90°，
∴△ADE∽△BAO，
∴BOAE=AODE，即BO•DE＝OA•AE，
设D点坐标为（t，−14t2+12t+3），
∴OE＝t，DE=−14t2+12t+3，AE＝t﹣1，
∴3（−14t2+12t+3）＝t﹣1，
解得：t=−103（舍去），t＝4，
当t＝4时，y=−14t2+12t+3＝1，
∴AE＝3，DE＝1，
在Rt△ADE中，AD=AE2+DE2=10，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=10，
在Rt△ACD中，tan∠CDA=ABAD=1；
（3）存在，理由如下：
①如图，与（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠C′D′A＝1，

∵点D的坐标为（4，1），
∴此时，点C′的坐标为（﹣2，1），
当点C′、D关于对称轴对称时，此时AC′与AD长度相等，即tan∠C′D′A＝1，
②当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，

∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAE＝45°，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设点C的坐标为（m，−14m2+12m+3），
∴CE=−14m2+12m+3，AE＝1﹣m，
∴−14m2+12m+3＝1﹣m，
解得m＝3+17（舍去）或m＝3−17，
此时点C的坐标为（3−17，17−2）；
③当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，

∵∠CAD＝90°，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAF＝45°，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF，
设点C的坐标为（m，−14m2+12m+3），
∴CF=14m2−12m﹣3，AF＝1﹣m，
∴14m2−12m﹣3＝1﹣m，
解得m＝﹣1+17（舍去）或m＝﹣1−17，
此时点C的坐标为（﹣1−17，−17−2）；
综上，点C的坐标为（﹣2，1）或（3−17，17−2）或（﹣1−17，−17−2）．
25．（2022•宿迁）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求DBBA的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

【解答】（1）解：∵二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，
∴二次函数的解析式为：y=12（x﹣0）（x﹣4）=12x2﹣2x；
（2）①证明：如图1，

由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA'B=CDBD，
∵AB＝A'B，
∴BDAB=CDOC，
∴BDAB的最小值就是CDOC的最小值，
y=12x2﹣2x=12（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝22，
∴当CD⊥OA时，CD最小，BDAB的值最小，
当CD＝2时，BDAB的最小值为222=22；
（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴S△OCDS△A'BD=（OCA'B）2＝8，
∴OCA'B=22，
∵OC＝22，
∴A'B＝AB＝1，
∴BF＝2﹣1＝1，
如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，

由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠BAH，
tan∠BCF＝tan∠GAA'，
∴BFCF=A'GAG=12，
设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，
在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，
∴a2+（2a﹣1）2＝12，
∴a1＝0（舍），a2=45，
∴BG＝2a﹣1=85−1=35，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴A'GOQ=BGOB，即45OQ=353，
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴m=43k+m=0，
解得：k=−43m=4，
∴直线A'B的解析式为：y=−43x+4，
∴−43x+4=12x2﹣2x，
3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x=2±2193，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是2±2193．
（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，

∵△OCD∽△A′BD，
∴OCA'B=CDBD=ODA'D=22，
∵OC＝22，
∴A'B＝AB＝1，
设BD＝t，则CD＝22t，
∴A'D＝22−22t，OD＝22A'D＝8﹣8t，
∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，
∴8﹣8t+t＝3，
∴t=57，
∴A'D＝22−1027=427，
∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，
∴△A'BD≌△ABM（ASA），
∴AM＝A'D=427，
∵△AHM是等腰直角三角形，
∴AH＝MH=47，
∴M（247，−47），
易得BM的解析式为：y=−43x+4，
∴−43x+4=12x2﹣2x，
解得：3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x=2±2193，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是2±2193．
26．（2022•亭湖区校级一模）【感受新知】已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“关联正方形”，例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y＝x+1图象的其中一个“关联正方形”．
（1）求一次函数y＝x+1图象的所有“关联正方形”的边长；
（2）若反比例函数的图象与一次函数图象有一个相同的“关联正方形”，则称此反比例函数为一次函数的“关联反比例函数”，一次函数y＝x+1是否存在“关联反比例函数”，若存在，求出反比例函数表达式，若不存在，请说明理由；
【灵活运用】（3）如图2，若某函数是反比例函数y=kx（k＞0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；
【深度探究】（4）如图3，若某函数是二次函数y＝ax2+c（a≠0），它的图象的“关联正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．


【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1，
∴直线与x轴的交点为（﹣1，0），与y轴的交点为（0，1），
（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：
正方形ABCD的边长为2．
（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：

设正方形边长为a，则BC+OB＝OC＝1，即2a+22a＝1，
解得：a=23，此时正方形的边长为23．
∴所求“伴侣正方形”的边长为2或23；

（2）由（1）知，见上图，点A的坐标为（0，13），
则点A向左向上平移13个单位得到点D，则点D（−13，23），
设关联反比例函数的表达式为：y=kx，
则k=−13×23=−29，
当C、D在坐标轴上时，不存在反比例函数；
故反比例函数的表达式为：y=−29x；

（3）存在，理由：
如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，

∵∠FBC+∠FCB＝90°，∠FBC+∠ABO＝90°，
∴∠FCB＝∠ABO，
∵∠FBC＝∠OAB＝90°，
∴△FBC≌△OAB（AAS）
同理可得：△ADE≌△BAO≌△CBF（AAS）．
∵点D的坐标为（2，m），m＜2，
∴DE＝OA＝BF＝m，
∴OB＝AE＝CF＝2﹣m．
∴OF＝BF+OB＝2，
∴点C的坐标为（2﹣m，2）．
∴2m＝2（2﹣m），解得m＝1．
∴反比例函数的解析式为y=2x；

（4）①当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，

当点C（3，4）时，
过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，交MC于点G，
由（2）知，MC＝GD＝a，CG＝DN＝b，
由上图可知，a＝3且a+b＝4，
则b＝1，即点D（4，1），
将点C、D的坐标代入抛物线表达式得：16a+c=19a+c=4，
解得：a=−37c=557，
故抛物线的表达式为：y=−37x2+557；
当点D坐标为（3，4）时，不存在；
②当点A在x轴的正半轴、点B在y轴的负半轴时，
同理可得，点D的坐标为（3，4），则点C（﹣1，3），
同理可得：抛物线的表达式为：y=18x2+238；
③当点A在x轴的负半轴、B在y轴的正半轴时，
则当点C（3，4）时，点D（7，﹣3），
同理可得，抛物线的表达式为：y=−740x2+22340；
④当点A在x轴的负半轴、B在y轴的负半轴时，
点C（3，4）时，点D（﹣4，7），
同理可得，抛物线的表达式为：y=37x2+17；
综上，抛物线的表达式为：y=−37x2+557或y=18x2+238或y=−740x2+22340或y=37x2+17．


27．（2022•亭湖区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，直线y＝mx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到△MBE，求出△MBE面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△CDE相似，求k的值；
（4）点N在对称轴上，满足∠BNC＝∠ABC，求出点N的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∵OC＝2OA，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
将点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a−2b+c=016a+4b+c=0c=4，
解得a=−12b=1c=4，
∴y=−12x2+x+4；
∵直线BC的解析式为y＝mx+n，
∴4m+n=0n=4，
解得m=−1n=4，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵y=−12x2+x+4=−12（x﹣1）2+92，
∴D（1，92），E（1，3），
过点M作MN∥y轴交BC于点N，
设M（t，−12t2+t+4），则N（t，﹣t+4），
∴MN=−12t2+t+4+t﹣4=−12t2+2t，
∴S△MBE=12×3×（−12t2+2t）=−34（t﹣2）2+3，
∴当t＝2时，△MBE的面积有最大值3，
此时M（2，4）；
（3）∵D（1，92），E（1，3），C（0，4），
∴CD=52，CE=2，DE=32，
设H（s，﹣s+4），
∵∠OBE＝45°，
∴∠CED＝∠BOC，
当△CED∽△OBH时，CEOB=CDOH，
∴24=52OH，
∴OH=10，
∴s2+（s﹣4）2＝10，
解得s＝1或s＝3，
∴H（1，3）或（3，1），
∵H点在y＝kx上，
∴k＝3或k=13；
当△CED∽△HBO时，CDHO=EDBO，
∴52HO=324，
解得HO=453，
∴s2+（s﹣4）2=809，
解得s=43或s=83，
∴H（43，83）或（83，43），
∴k＝2或k=12；
综上所述：k的值为3或13或2或12；
（4）∵∠ABC＝45°，∠BNC＝∠ABC，
∴∠BNC＝45°，
∵∠BOC＝90°，
作△BOC的外接圆，直径为BC，圆心为G（2，2），
∴N点为圆G与直线x＝1的交点，
∵BC＝42，
∴NG＝22，
设N（1，p），
∴1+(2−p)2=22，
解得p=7+2或p=−7+2，
∴N（1，7+2）或（1，−7+2）．


28．（2022•江都区校级三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣．根据艾宾浩斯遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点进行复习回顾，学习效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．

（1）求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；
（3）该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

【解答】解：（1）由图象可知，学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数为正比例函数，直线过点（2，4），
设y＝kx，把（2，4）代入，4＝2k，
解得：k＝2，
∴y＝2x；
∵他利用30分钟时间进行自主学习，图乙的时间为：0≤x≤15，
∴自变量x的取值范围是：15＜x≤30；
（2）由图象可知：
①当0≤x≤5时，图象为抛物线，过原点，顶点坐标为：A（5，25），
设y＝a（x﹣5）2+25，
把（0，0）代入，得25a+25＝0，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x，
②当5＜x≤15时，y＝25，
∴y=−x2+10x(0≤x≤5)25(5＜x≤15)；
（3）设该同学用于复习的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习收益总量为z，
则他用于学习的时间为（30﹣x）分钟，
当0≤x≤5时，z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）＝﹣x2+8x+60＝﹣（x﹣4）2+76，
∴当x＝4时，学习收益总量最大，z＝76，
当5＜x≤15时，z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85，
∴z随x的增大而减小，
∴当x＝5时，学习收益总量最大，z＝75，
综合所述，当x＝4时，学习收益总量最大，z＝76，
此时学习时间为：30﹣4＝26（分钟），
即该学生用于学习的的时间为26分钟，用于复习的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
29．（2022•建湖县三模）我们规定：关于x的反比例函数y=a+bx称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）按此规定：一次函数y＝x﹣4的“次生函数”为：　y=−3x　，“再生函数”为：　y＝x2﹣4x+3　；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在x轴上，求顶点坐标；
（3）若一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、(4，−12)两点，其“再生函数”与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点D（1，3），求∠CBD的正切值；
②若点E在直线x＝1上，且在x轴的下方，当∠CBE＝45°时，求点E的坐标．

【解答】解：（1）一次函数y＝x﹣4中，a＝1，b＝﹣4，
∴一次函数y＝x﹣4的“次生函数”为：y=1−4x=−3x，
“再生函数”为：y＝x2﹣4x﹣（1﹣4）＝x2﹣4x+3，
故答案为：y=−3x，y＝x2﹣4x+3；
（2）解：一次函数y＝x+b的“再生函数”为：y＝x2+bx﹣（1+b），
∵顶点在x轴上，
∴Δ＝b2﹣4[﹣（1+b）]＝0，
解得：b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标为（1，0）；
（3）①一次函数y＝ax+b与其“次生函数”交于点（1，﹣2）、(4，−12)，
∴a+b=−24a+b=−12，解得：a=12b=−52，
∴其“再生函数”为：y=12x2−52x−(12−52)=12x2−52x+2，
当y＝0时，12x2−52x+2=0，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴A（1，0），B（4，0），
如图1，

当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵D（1，3），∴CD2＝12+（3﹣2）2＝2，BD2＝（4﹣1）2+32＝18，BC2＝42+22＝20，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴∠CDB＝90°，
∴tan∠CBD=CDBD=232=13；
②如图2，过点C作CF⊥BC于C，交BE的延长线于F，过点F作FM∥y轴，过点C作MN∥x轴，过点B作BN⊥MN于N，

∵∠CBF＝45°，
∴△CBF是等腰直角三角形，
∴BC＝CF，
∵∠BCN+∠FCM＝∠FCM+∠CFM，
∴∠BCN＝∠CFM，
∵∠N＝∠M＝90°，
∴△BNC≌△CMF（AAS），
∴BN＝CM＝2，CN＝FM＝4，
∴F（﹣2，﹣2），
∵B（4，0），
设直线BF的解析式为：y＝kx+n，
∴4k+n=0−2k+n=−2，解得：k=13n=−43，
∴BF的解析式：y=13x−43，
∵点E在直线x＝1上，
∴点E的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣1，
∴E（1，﹣1）．
30．（2022•亭湖区校级一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作DE⊥x轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PC⊥PF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点P与点D重合时，求m的值；
②在①的条件下，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到△C1O1F1，点C，O，F的对应点分别是点C1，O1，F1，若△COF的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点F1的坐标；
（3）当点P在线段DE上运动时，求m的变化范围．


【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx﹣3中得：
4a−2b−3=036a+6b−3=0，解得：a=14b=−1，
∴该抛物线的解析式为：y=14x2﹣x﹣3；
（2）①∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，﹣4），
当点P与点D重合时，如图所示：过点D作GD∥x轴，过F点作y轴平行线交GD延长线于点H，
由题意易得：CG＝1，GD＝2，FH＝4，而PC⊥PF，即∠CDF＝90°，
∵∠CGD＝∠DHF＝90°，∠CDG＝∠DFH，
∴△CGD∽△DHF，
∴CGDH=GDHF即，1DH=24，
∴DH＝2，
而四边形EDFH为矩形，
∴EF＝DH＝2，
∴OF＝4，即F（4，0），
∴m＝4；
②按题意，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°得到△C'O'F'，如图所示：

显然此时C'、O'、F'三点都不在抛物线上，故需要将△C'O'F'平移才能得到两个顶点恰好落在抛物线上，根据C'、O'、F'三点特点，可设：
O1（x，y），则C1（x+3，y），F1（x，y+4），
①′当O1C1经平移后在抛物线上，把O1（x，y），C1（x+3，y）代入y=14x2﹣x﹣3中：
y=14x2−x−3y=14(x+3)2−(x+3)−3，
解得：x=12，
故F1（12，916），
②′当F1C1经平移后在抛物线上，把F1（x，y+4），C1（x+3，y）代入y=14x2﹣x﹣3中：
y+4=14x2−x−3y=14(x+3)2−(x+3)−3，
解得：x=−136，
故F1（−136，49144），
③′当O1F1经平移后在抛物线上，因为O1、F1在竖直方向，故不成立．
综上所述：F1（12，916）或（−136，49144），
（3）∵D（2，﹣4），E（2，0），C（0，﹣3），点P为线段DE上一动点，F（m，0）为x轴上一点，且PC⊥PF，
如（2）①中当点P与点D重合时，m＝4，取得最大，随着P向E移动，m随之变化，设存在一点P使m最小，如图所示：

设OF＝m，则FE＝2﹣m；设EP＝y，则PQ＝3﹣y，
根据△FEP∽△PQC得：
FEPQ=EPQC即：2−m3−y=y2，
可得关系式：m=12（y−32）2+78，
∵12＞0，当y=32时，m取得最小值78，
综上所述：78≤m≤4．
31．（2022•泉山区校级三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．

（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
把x＝5时，y＝30，x＝15时，y＝10代入，
得5k+b=3015k+b=10，
解得：k=−2b=40，
∴y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+40（5≤z≤15）；
（2）由题意知，当5≤x≤10时，P＝60，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣60＝﹣2x2+50x﹣26＝﹣2（x−252）2+1052，
∵﹣2＜0，5≤x≤10，
∴在5≤x≤10内，W随x的增大而增大，
∴当x＝10时，W增大，最大值为40；
当10≤x≤15时，P=14x2﹣4x+m．
把x＝10时，P＝60代入P=14x2﹣4x+m得，
60=14×102﹣4×10+m，
解得：m＝75，
∴P=14x2﹣4x+75，
∴W＝（x﹣5）y﹣P＝（x﹣5）（﹣2x+40）﹣（14x2﹣4x+75）=−94x2+54x﹣275=−94（x﹣12）2+49，
∵−94＜0，10≤x≤15，
∴当x＝12时，W有最大值，最大值为49；
综上可得：当x＝12时，年利润W最大，最大值为49．