2022-2023 数学京改版中考精讲精练 考点02代数式及整式的运算

考点02代数式及整式的运算

考点总结

1．同底数幂乘法

同底数幂相乘，底数  不变  ，指数  相加  ，即（m，n都是正整数）．

推导过程：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

2．同底数幂的除法

同底数幂相除，底数  不变  ，指数  相减  ，即（m，n都是正整数，并且）．

推导过程：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

3．幂的乘方

幂的乘方，底数  不变  ，指数  相乘  ，即（m，n都是正整数）．

推导过程：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

4．积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式  分别乘方  ，再把  所得的幂相乘  ，即（n为正整数）

推导过程：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，

5．单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把它们的  系数  、  同底数幂  分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

注：单项式与单项式的乘积仍是单项式．

6．单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的  每一项  ，再  把所得的积相加  ，即．

7．多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的  每一项  ，再  把所得的积相加  ，即．

8．平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于  这两个数的平方差  ，即：．

9．完全平方公式

两个数的和的平方，等于它们的  平方和  ，加上它们的  积的2倍  ，

即：．

两个数的差的平方，等于它们的  平方和  ，减去它们的  积的2倍  ，

即：．

10．因式分解的定义

把一个多项式化成  几个整式的积的形式  ，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

11．因式分解

（1）公因式：多项式各项都含有的  公共因式  ，叫做这个多项式的公因式．

（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成  公因式与另一个因式的乘积的形式  ，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

（3）平方差公式：

（4）完全平方公式：

真题演练

一、单选题

1．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用合并同类项法则、分式的运算法则、二次根式的运算法则分别计算各项后即可解答．

【详解】

选项A、2a+3a＝5a，故此选项正确；

选项B、 和不是同类项，不能合并，故此选项错误；

选项C、，故此选项错误；

选项D、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误．

故选A．

2．若＝2，＝3，则的值为（   ）

A．6 B．5 C．3 D．2

【答案】A

【分析】

根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解．

【详解】

解：∵，

∴．

故选A．

3．下列式子中，运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据每个选项涉及到的计算原则去运算即可．

【详解】

A：，选项错误；

B：，选项错误；

C：，选项错误；

D：，选项正确．

故选：D

4．二维码是一种编码方式，它是用某种特定的几何图形按一定规律在平面（二维方向上）分布，采用黑白相间的图形记录数据符号信息的．某社区为方便管理，仿照二维码编码的方式为居民设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，白色正方形表示数字0，黑色正方形表示数字1，将第行第列表示的数记为（其中，都是不大于4的正整数），例如，图中，．对第行使用公式进行计算，所得结果，，，分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图中，，，说明该居民住在9层，2号房间，即902号．有下面结论：①；②图中代表的居民居住在11号楼；③，其中正确的是（    ）

A．③ B．①② C．①③ D．①②③

【答案】B

【分析】

①表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0；②根据题意，求楼号，把代入公式即可；③根据题意，把代入公式即可．

【详解】

解：①表示的是将第2行第3列是白色正方形，所以表示的数是0，即，故①正确；

②图中代表的居民的楼号

，

图中代表的居民居住在11号楼；故②正确；

③，

故③错误，

综上，①②是正确的．

故选：B．

5．单项式﹣xy2的系数是（ ）

A．1 B．﹣1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

试题分析：利用单项式系数的定义求解即可．

解：单项式﹣xy2的系数是﹣1，

故选B．

6．下列运算的结果为a6的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

分别根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算作出判断：

【详解】

A．，故本选项错误；

B．，故本选项错误；

C．，故本选项正确；

D．，故本选项错误．

故选C．

7．若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（　　）

A．m＝2，n＝1 B．m＝3，n＝1 C．m＝3，n＝0 D．m＝1，n＝3

【答案】B

【分析】

根据同类项的定义“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得答案．

【详解】

解：因为﹣2x6y与5x2myn是同类项，

所以2m＝6，n＝1，

解得m＝3，n＝1，

故选：B．

8．将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．

【详解】

解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，

=（a+b）2-4ab，

=a2+2ab+b2-4ab，

=（a-b）2

故选：D．

9．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据幂的运算性质与非零数的0次幂的意义，即可作出正确判断．

【详解】

A、，故错误；

B、，故错误；

C、，故正确；

D、，故错误．

故选：C．

10．下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据幂的运算公式，进行运算，确认结果即可．

【详解】

A项，，故错误；

B项，，故错误；

C项，，故错误；

D项，，正确；

故选：D．

二、填空题

11．某中学要举行校庆活动，现计划在学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：如图1，阴影部分舞台的面积记为如图2，阴影部分舞台的面积记为具体数据如图所示，则______．（“”，“”或“”）

【答案】

【分析】

根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：方案一：如图1，，

方案二：如图2，，

，

．

故答案为：．

12．从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有则的最大值______________．

【答案】5

【分析】

找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出S的最大值．

【详解】

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5个不同的值．

又∵对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，

∴S的最大值为5，

故答案为：5．

13．若的小数部分为，整数部分为，则的值为_____________．

【答案】

【分析】

根据，可得a、b的值，代入代数式中利用平方差公式计算即可得答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，，

∴

14．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_________．

【答案】9

【分析】

设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．

【详解】

解：设直角三角形另一直角边为a，则，

故答案为：9．

15．下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程．根据下图，写出一个正确的等式：__________．

【答案】

【分析】

裁剪前，第二图的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，裁剪拼凑后面积等于长×宽，它们面积相等，据此可列出等式．

【详解】

解：如下图的面积在裁剪前＝，

裁剪拼凑后＝，

裁剪前后面积相等，故：

故答案为：．

三、解答题

16．已知，求代数式的值．

【答案】1

【分析】

先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．

【详解】

解：

=

=，

∵，

∴，

代入原式得：原式=．

17．已知，求代数式的值

【答案】9

【分析】

根据完全平方公式展开所求代数式，把已知式子代入求解即可；

【详解】

解：，

，

，

，

，

原式．

18．已知，求代数式的值．

【答案】

【分析】

化简代数式，再整体代入即可．

【详解】

解：，

=，

=，

∵，

∴，

故代数式的值为．