初中数学中考复习 专题3 抛物线上的特殊平行四边形问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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专题三：抛物线上的特殊平行四边形问题探究
专题导入
导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：




导例 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．


图1 图2
思路点拨
1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．
2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．
3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q的上下位置关系，分两种情况列方程．
答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得．所以抛物线的解析式为．
(2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么．所以
．
因此当时，S取得最大值，最大值为4．
(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4．
设点Q的坐标为，点P的坐标为．
①当点P在点Q上方时，．解得．
此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）．
②当点Q在点P上方时，．
解得或（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）．


图3 图4 图5
典例
类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题
例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．









类型二：菱形的存在性问题
例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；
(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）

【分析】 （1）把已知点坐标代入解析式；
（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；
（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．
②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．









类型三：正方形的存在性问题
例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．

【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；
（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，
同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．






专题突破
1、如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。















2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．














3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．






4.如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．





5.已知抛物线y＝x2﹣2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x﹣a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；
（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
（3）在抛物线y＝x2﹣2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．
















参考答案
例1.（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．
（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．
把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．
把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．
因此DE=2．
因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此．
当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．
②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此

．
m的变化范围是0≤m≤3．


图2 图3
例2.解：（1）将A（﹣4，0）代入y＝x+c
∴c＝4
将A（﹣4，0）和c＝4代入y＝﹣x2+bx+c
∴b＝﹣3
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣3x+4
（2）做点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，连OC′，交直线l于点E．
连CE，此时CE+OE的值最小．
∵抛物线对称轴位置线x＝﹣
∴CC′＝3
由勾股定理OC′＝5
∴CE+OE的最小值为5
（3）①当△CNP∽△AMP时，

∠CNP＝90°，则NC关于抛物线对称轴对称
∴NC＝NP＝3∴△CPN的面积为

当△CNP∽△MAP时
由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP＝90°
过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为（a，0）
∴EP＝EC＝﹣a，
则N为（a，﹣a2﹣3a+4），MP＝﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a）＝﹣a2﹣a+4
∴P（a，﹣a2﹣a+4）
代入y＝x+4
解得a＝﹣2
∴△CPN的面积为4
故答案为：或4
②存在
设M坐标为（a，0）
则N为（a，﹣a2﹣3a+4）
则P点坐标为（a，）
把点P坐标代入y＝x+4
解得a1＝﹣4（舍去），a2＝﹣1
当PF＝FM时，点D在PM垂直平分线上，则D（，）
当PM＝PF时，由菱形性质点D坐标为（﹣1+，）（﹣1﹣，﹣）
当MP＝MF时，M、D关于直线y＝x+4对称，点D坐标为（﹣4，3）．

例3 (1)将A(－4，0)代入y＝x＋c，得c＝4，
将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，得b＝－3．
∴抛物线解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小．∵抛物线对称轴直线x＝－，∴CC′＝3.
在Rt△CC′C中，由勾股定理，可得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值为5.

(3)存在．设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，－a2－3a＋4)，P点坐标为(a，).
把点P坐标代入y＝x＋4，得＝a+4，解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1.
当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D(，)；
当PM＝PF时，由菱形性质得点D坐标为(－1＋，)或(－1－，－)；
当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为(－4，3)．[来源:Zxxk.Com]
例2 解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，
∴△PFD∽△OBD，
∴，
∵OB为定值，
∴当PF取最大值时，有最大值，
设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵且对称轴是直线x＝﹣2，
∴当x＝﹣2时，PF有最大值，
此时PF＝2，；
（3）∵点C（2，0），
∴CO＝2，
（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得，，x＝﹣1+（舍去）．
∴，
如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，
同理可得点P的纵坐标为2，
此时P2点坐标为（﹣1+，2）
（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，

同理可证得△EPS≌△CPK，
∴PS＝PK，
∴P点的横纵坐标互为相反数，
∴，
解得x＝2（舍去），x＝﹣2，
∴，
如图5，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，

同理可证得△PEN≌△PCM，
∴PN＝PM，
∴P点的横纵坐标相等，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综合以上可得P点坐标为，，．
专题训练
1.（1）∵直线经过点,∴
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的解析式为
（2）∵点的横坐标为且在抛物线上
∴
∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形
① 当时，
∴，解得：
即当或时，四边形是平行四边形
② 当时，
，解得：（舍去）
即当时，四边形是平行四边形
2解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴OC＝3，
∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B（﹣1，0），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的对称轴直线为x＝1，由（1）知，C（0，﹣3），
∵A（2，﹣3），
∴点A，C关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
∴直线AB与对称轴直线x＝1的交点为点P，
设直线AB的解析式为y＝kx+c，
∵点A（2，﹣3），B（﹣1，0）在直线AB上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，
令x＝1，则y＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；

（3）设点N（1，n），M（m，m2﹣2m﹣3），
∵A（2，﹣3），B（﹣1，0），
①当AB与MN为对角线时，AB与MN互相平分，
∴（2﹣1）＝（m+1），
∴m＝0，
∴M（0，﹣3）；
②当AN与BM为对角线时，AN与BM互相平分，
∴（1+2）＝（m﹣1），
∴m＝4，
∴M（4，5），
③当AM与BN为对角线时，AM与BN互相平分，（m+2）＝（1﹣1），
∴m＝﹣2，
∴M（﹣2，5），
即：满足条件的点M坐标为（0，﹣3）或M（4，5）或（﹣2，5）．
3．（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴0＝﹣k+b，即k＝b．∴直线l：y＝kx+k．
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0．
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4．
∴﹣3﹣＝﹣1×4．∴k＝a．∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（4）以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴D（4，5a）．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m）．
AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），

∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a）．
∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°．∴AD2+PD2＝AP2．
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝．∵a＜0，∴a＝﹣．∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），

∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a）．
∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°．∴AP2+PD2＝AD2．
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣ ．∴P（1，﹣4），
综上所述，点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
4.【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设
将C（0，3）代入上式，得
∴， 即
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令=0, 得
解之得,
∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0)
②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴∴
∵D2在上, P2在上,
∴设D2(,), P2(,)∴()+()=0
, ∴, (舍)
∴当=2时, ==－1 ∴P2的坐标为P2(2,－1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,－1)
(3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,－1), ∴可令F(,1)∴
解之得: , ∴F点有两点,
即F1(,1),F2(,1)
5.解：（1）M（1，a﹣1），N（a，﹣a）；

（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
∴N′（﹣a，﹣a）．
将N′的坐标代入y＝x2﹣2x+a得：
﹣a＝a2+a+a，
∴a1＝0（不合题意，舍去），．
∴N（﹣3，），
∴点N到y轴的距离为3．
∵A（0，﹣），N'（3，），
∴直线AN'的解析式为，它与x轴的交点为D（）
∴点D到y轴的距离为．
∴S四边形ADCN＝S△ACN+S△ACD＝××3+××＝；

（3）存在，理由如下：
①当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PNAC，
则把N向上平移﹣2a个单位得到P，坐标为（a，﹣a），代入抛物线的解析式，
得：﹣a＝a2﹣a+a，
解得a1＝0（不舍题意，舍去），a2＝﹣，
则P（﹣，）；
②当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
则OA＝OC，OP＝ON．
则P与N关于原点对称，
则P（﹣a，a）；
将P点坐标代入抛物线解析式得：a＝a2+a+a，
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝﹣，
则P（，﹣）．
故存在这样的点P（﹣，）或P（，﹣），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．