初中数学中考复习 专题11 连锁轨迹—动点在直线（线段）上产生的动点轨迹类问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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专题十一：连锁轨迹——动点在直线（线段）上产生的动点轨迹类问
题探究
专题导例
已知，如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，M是DE上一动点，点M从点D开始沿DE向终点E运动，在运动过程中AM的中点移动的路径长为　 　．

【分析】取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形中位线定理计算即可．
如果： 动点的初始位置 ‚动点的中途位置 ƒ动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是 ．
导例答案
解：取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB＝，
∵P、Q分别是AD、AE的中点，
∴PQ＝DE＝，
∴AM的中点移动的路径长为，
故答案为：．

典例剖析
类型一：动点产生的路径与最值问题
例1．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D为BC边上一动点，点O是正方形ADEF的中心，当点D沿BC边从点B运动到点C时，点O运动的路径长为　 　．

【分析】以点B为原点建立如图所示坐标系，作EG⊥x轴，证△ABD≌△DGE得AB＝DG＝4、BD＝EG＝a，从而得E（4+a，a），根据线段的中点坐标知O（，），从而知点O在直线y＝x上，由0≤a≤4知点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，根据两点间的距离公式可得答案．
类型二：动点产生的路径长问题
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．
（1）当AD＝4时，求EF的长度；
（2）求△DEF的面积的最大值；
（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为　 　．

【分析】（1）由勾股定理可求AB＝10，通过证明△AED∽△ABC，可得＝，可求AE＝5，CE＝3，通过△CEF∽△ACB，可得＝，即可求EF的长度；
（2）设AD＝x，由相似三角形的性质可可得DE＝•BC＝x，EF＝•AB＝10﹣x，由三角形的面积公式可得S△DEF＝ DE•EF＝﹣ x2+x＝﹣（x﹣）2+6，由二次函数的性质可求△DEF的面积的最大值；
（3）以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t），由中点坐标公式可求点O坐标，由t的取值范围可求点O的运动路径的长度．
专题突破
1．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝，M是边BC上的一个动点，连接AM，P为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长为（　　）

A．1+ B．1﹣π C．+ D．
2. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（　　）

A．（8﹣π）cm2 B．4cm2 C．（3+π）cm2 D．8cm2
3.已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为　 　

4.如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝3，P为斜边AB上一动点，D为BC延长线上一点，以点D为直角顶点作直角△PQD，并且使∠DPQ＝30°，则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长为　 　．

5.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE：ED＝1：2．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为　 　．

6．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝　 　；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

8．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x 秒．
（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；
（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．

9．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）直线AB的表达式为　 　；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连接EG、FG．
（1）求证：△AME≌△DMF；
（2）在点E的运动过程中，探究：
①△EGF的形状是否发生变化？若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；
②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）
（3）设AE＝x，△EGF的面积为S．
①当S＝6时，求x的值；
②直接写出点E的运动过程中S的变化范围．

11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．
（1）如图1，当E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF＝AD，求证：CE平分∠BCF．
（2）如图2，若点Q是AD的中点，连接EQ并延长交射线CD于点G，过Q作EG的垂线交射线BC于点P，连接PE、PG．
①设AE＝x时，△PEG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
②若点M是PQ的中点，请直接写出点M的运动的路线的长．

12．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线l∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a＝时，求点Q的坐标．
（2）当PA+PO最小时，求a．

专题十一答案：轨迹之点在直线（线段）上运动问题探究
例1．解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
过点E作EG⊥x轴于点G，连接AE，

根据题意知，点A（0，4）、C（4，0），
∵∠ABD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，
∴∠ADB+∠EDG＝∠ADB+∠DAB＝90°，
∴∠DAB＝∠EDG，
在△ABD和△DGE中，
∵，
∴△ABD≌△DGE（AAS），
∴AB＝DG＝4，BD＝EG，
设BD＝EG＝a，
则BG＝BD+DG＝4+a，
∴点E（4+a，a），
∵点O为正方形ADEF的中心，即点O为AE的中点，
∴点O（，），即O（，），
则无论a为任意实数，点O的横纵坐标相等，即点O在直线y＝x上，
∵0≤a≤4，
∴2≤≤4，即点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，
则点O的运动路径长为＝2，
故答案为：2．
例2．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＝＝10．
∵DE⊥AB，
∴∠EDA＝90°．
∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，
∴△AED∽△ABC，
∴＝．
∴AE＝•AB＝5．
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．
∵DE⊥AB，
∴∠DEF＝90°．
∵∠EDA＝∠DEF＝90°，
∴EF∥AB．
∴△CEF∽△ACB，
∴＝．
∴EF＝•AB＝．
（2）设AD＝x．
∵△AED∽△ABC，
∴＝＝．
∴DE＝•BC＝x，AE＝•AB＝x．
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣x．
∵△CEF∽△ACB，
∴＝．
∴EF＝•AB＝10﹣x．
∴S△DEF＝ DE•EF＝﹣ x2+x＝﹣（x﹣）2+6．
∴当x＝时，S△DEF取最大值为6．
因此，△DEF的面积的最大值为6．
（3）如图，以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，

设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t）
∵点O是DF的中点，
∴点O（5+t，t）
∴点O在直线y＝上运动，
∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E，
∴0≤t≤
∴当t＝0时，点O坐标为（5，0）
当t＝时，点O坐标为（，）
∴点O的运动路径的长度＝＝
故答案为：
专题突破答案
1.解：如图作AH⊥BC于H．

在Rt△ABH中，∵AB＝，∠B＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△ACH中，∵AH＝1，∠C＝60°，
∴CH＝＝，
∴BC＝1+
当点M与B重合时，点P与AB中点E重合，当点M与C重合时，点P与F重合，
∴点P的运动轨迹是△ABC的中位线EF，
∴EF＝BC＝+．
故选：C．
2. 解：如图，∵P是EF的中点，
∴BP＝EF＝×2＝1（cm），
∵AB＝2，
∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：
又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，
∴4×2﹣π•12＝8﹣π（cm2）．
故选：A．

3.解：如图，分别延长AE、BF交于点M，
∵∠A＝∠DPF＝60°，
∴AM∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BM∥PE，
∴四边形PEMF为平行四边形，
∴EF与MP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G正好为PM的中点，
即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，
∴G的运行轨迹为△MCD的中位线HI，
∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，
∴G点移动的路径长度为4．
故答案为：4

4.解：如图，过点D作DK⊥AD，使得∠DAK＝30°，连接AK，KQ．

∵∠ADK＝90°，∠DAK＝30°，
∴＝，
∵∠PDQ＝90°，∠DPQ＝30°，
∴＝，
∴＝，
∵∠ADK＝∠PDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠KDQ，
∴△ADP∽△KDQ，
∴＝＝，∠DAP＝∠DKQ，
∴当则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的轨迹是线段KQ，
∵点P的运动路径是3，
∴点Q的运动路径是3÷＝．
故答案为．
5.解：如图，

当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．
在Rt△AEB中，AE＝2，AB＝4，
∴BE＝＝2，
∵△AEB∽△EBG，
∴＝，
∴BG＝＝10，
∵BK＝AE＝2，
∴KG＝BG﹣BK＝8，
∴HN＝KG＝4，
∴点M的运动路径的长为 4．
故答案为 4．
6．解：(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.
又∵∠A＝∠A，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝.
即当x＝时，PQ∥BC.
(2)能相似．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况：
①△APQ∽△CQB，可得＝，
即＝，
解得x＝.
经检验，x＝是上述方程的解．
∴当AP＝4x＝cm时，△APQ∽△CQB；
②△APQ∽△CBQ，可得＝，
即＝，
解得x＝5或x＝－10(舍去)．
经检验，x＝5是上述方程的解．
∴当AP＝4x＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.
综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．
7.（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP
∴，即，
解得：AE＝；
故答案为：；
（2）①证明：如图3，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQ＝PE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQ＝PE，
∴OQ＝AQ，
∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）
②解：连接OA、AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：
则MN∥AE，
∵ME＝MP，
∴AN＝PN，
∴MN＝AE，
设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE＝x﹣x2＝﹣（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大＝×1＝，
即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．



8．（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG （SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠DCG+∠DCB＝180°，
∴点G在直线BC上；
（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：
则AC∥EK∥AD，
∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，
∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，
∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，
∴△ADE∽△BEH，
∴＝，即＝，
∴BH＝，
S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；
②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；
（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：
点F运动的路径为BF；
同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；
∵BD＝＝＝2，
∴BF+FG＝2BD＝4，
∴点F运动的路径长为4．


9．解：（1）∵y＝﹣x+b经过A（0，1），
∴b＝1，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+1；
故答案为：y＝﹣x+1；
（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1，∵x＝1时，y＝﹣x+1＝，P在点D的上方，
∴PD＝n﹣，SPD•AM＝，
由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S△BPD＝PD×2＝n﹣，
∴S△PAB＝S△APD+S△BPD＝n﹣+n﹣＝n﹣1；
（3）当S△ABP＝2时，n﹣1＝2，解得n＝2，
∴点P（1，2）．
∵E（1，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°．
第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，
过点C作CN⊥直线x＝1于点N．
∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，
∴∠NPC＝∠EPB＝45°，
在△CNP与△BEP中，，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，
∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，
∴C（3，4）．
第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点M．
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBM＝∠PBE＝45°，
在△CBP与△PBE中，
，
∴△CBM≌△PBE．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，
∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，
∴C（5，2）．
第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝EB，
∴∠CPB＝∠EBP＝45°，
在△PCB和△PEB中，
，
∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，
∴C（3，2）．
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．




10．解：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠A＝∠FDM＝90°，∠AEM＝∠DFM，
又∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∴△AME≌△DMF（AAS）；
（2）①△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形，理由如下：
如图1，过点M作MN⊥BC于点N，
则∠NMD＝∠FMG＝90°，MN＝AB＝AD＝MD，
∴∠NMD﹣∠MDG＝∠FMG﹣∠MDG，
即∠FMD＝∠GMN，
又∵∠MNG＝∠MDF＝90°，
∴△MNG≌△MDF（ASA），
∴MG＝MF，
∴∠MGF＝45°，
∵MG垂直平分EF，
∴GF＝GE，
∴∠EGM＝∠MGF＝45°，
∴∠EGF＝90°，
∴△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形；
②如图2，由题意知，MG的运动路线是从MN开始，至MC结束，
∴点H的运动路程是如图所示的HO，
∵H是MN的中点，O是MC的中点，
∴HO＝NC＝1，
∴线段MG的中点H运动的路程最长为1；
（3）①由（1）和（2）知，△AME≌△DMF≌△NMG，
∴AE＝NG＝x，BE＝2﹣x，
∴EG2＝BE2+BG2＝（2﹣x）2+（2+x）2＝8+2x2，
∴S△EGF＝EG2＝（8+2x2）＝x2+4，
∴当S＝6时，x＝（取正值）；
②由题意知，0≤x≤2，
∴当x＝0时，S有最小值4；当x＝2时，S有最大值8，
故S的取值范围为：4≤S≤8．


11．解：（1）过点E作EG⊥CF于G，连接EF，

∵AF＝AD，E是AB的中点，AB＝AD＝4，
∴AF＝1，FD＝3，AE＝BE＝2，
∴CF＝＝＝5，
∵S△EFC＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5，
∴S△EFC＝×CF×EG＝5，
∴EG＝2＝BE，且EG⊥CF，EB⊥BC，
∴CE平分∠BCF；
（2）设CP＝a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GDQ＝∠BAQ＝90°，
∵点Q是AD的中点，
∴DQ＝AQ，
∵∠DQG＝∠AQB，
∴△GDQ≌△BAQ（ASA），
∴DG＝AB＝4，
∴CG＝CD+DG＝4+x，
在Rt△BPE中，PE2＝BE2+BP2＝（4﹣x）2+（4+a）2，
在Rt△GCP中，GP2＝CP2+CG2＝（4+x）2+a2，
∵PE＝PG，
∴a＝2x﹣2，PQ2＝PE2﹣QE2＝4x2+16，
∴PQ＝，
∴S＝y＝××＝2x2+8（其中0≤x≤4）
（3）如图，MM′即为M点运动的距离；

当点E与点A重合时，∵PQ⊥EQ，∠BAQ＝∠ABP＝90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴BP＝AQ＝2，
当点E与点B重合时，由（2）可得P'E'＝P'G，DG＝AB＝4，
∴CG＝8，
∵P'G2＝P'C2+CG2，
∴P'E'2＝（P'E'﹣4）2+64，
∴P'E'＝10，
∴P'P＝8，
∵点M，点M'分别是QP，QP'的中点，
∴MM'＝PP'＝4，
∴点M的运动的路线的长为4．
12．解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，
∴∠EPF＝∠PEO＝90°．
∵∠APQ＝90°，
∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∴△PEA≌△PFQ．
∴PE＝PF，EA＝QF．
∵a＝，
∴P（，3）．
∴OE＝BP＝，PE＝3．
∵A（2，0），
∴OA＝2，
∴EA＝0.5．
∴PF＝3，QF＝0.5．
∴点Q的坐标为（4.5，3.5）．
（2）如图2，作O点关于直线l的对称点O′，连接AO′，交直线l于点P，此时OP＝O′P，
∴PA+PO＝PA+PO′，
∴AO′是PA+PO的最小值，
∵点B的坐标为（0，3）．
∴点O′（0，6），．
设直线AO′为y＝kx+6，
代入A（2，0）得，0＝2k+6，
解得k＝﹣3，
∴直线AO′为y＝﹣3x+6，
把y＝3代入得，3＝﹣3x+6，
解得x＝1，
∴P（1，3），
∴当PA+PO最小时，a＝1．