2022-2023学年四川省广安二中高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省广安二中高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为(    )

A. 不存在 B.  C.  D.

2.  在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知数据，，…是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是(    )

A. 年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B. 年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C. 年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D. 年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变

4.  如图是一个程序框图，若输入的a，b分别为8，4，则输出的n等于(    )

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

5.  与圆C：关于直线对称的圆的方程为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x，y的样本数据如表所示：根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若，则点C的轨迹为(    )

A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 直线

8.  下列叙述中正确的是(    )

A. 若a、b、，则“”的充要条件是“”
B. 集合的元素个数有两种可能性
C. 命题“或”的否定是“且”
D. 若a、b、，则“不等式对一切实数x都成立”的充分条件是“”
 

9.  设、是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则E的离心率为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知O为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线左支上任一点不同于双曲线的顶点在线段上取一点Q，使，作的平分线，交线段于点M，则(    )

A.
B. 2
C. 4
D. 1

11.  在矩形ABCD中，，，在边CD上随机取一点P，则使的最大边是AB的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  设拋物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，且，线段PQ的中点A到拋物线C的准线的距离为d，则的最小值为(    )

A.
B.
C. 3
D.

13.  从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为______.

14.  甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______.

15.  直线l：与双曲线C：的左支交于两点，则直线l的斜率k的取值范围为______.

16.  已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是______.
①曲线C关于坐标原点对称；
②y的取值范围是；
③曲线C是一个椭圆；
④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积．

17.  垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；
学校要求对不及格分以下的同学进行补考，现按分层抽样的方法在的同学抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率．

18.  已知方程表示双曲线．
求实数m的取值集合A；
关于x不等式的解集记为B，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19.  已知抛物线C：上一点到其焦点F的距离为
求抛物线C的方程；
过点F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．

20.  已知圆O：与直线相切．
若直线l：与圆O交于M，N两点，求；
已知，，设P为圆O上任意一点，证明：为定值

21.  已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切．
求椭圆C的方程；
过的直线l交椭圆C于D，E两点异于点，，直线，相交于点证明：点Q在一条平行于x轴的直线上．

22.  经过抛物线外的一点且倾斜角为的直线l与抛物线分别交于，如果，，，成等比数列，
写出直线l的参数方程
求p的值．

23.  已知函数
求不等式的解集；
记函数的最大值为若正实数a，b，c满足，求证：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：直线l过、两点，
直线AB的斜率不存在，即直线l的倾斜角为
故选：
根据已知条件，结合直线AB垂直x轴，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：在空间直角坐标系中，
点，，
则线段AB的中点坐标是
故选：
利用中点坐标公式直接求解．
本题考查线段的中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：因为数据，，，…，xn是普通职工个人的年收入，
而为世界首富的年收入
则会远大于，，，…，，
故这个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，
由于数据的集中程度也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大．
故选：
根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．
本题主要考查了一组数据的平均数及中位数，方差的特征，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
所以，
故选：
根据程序框图，分别求出，，时a，b的值，比较大小即可判断求解．
本题考查了程序框图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为
设点关于直线对称的点，
则，解得，
与圆C：关于直线对称的圆的方程为
故选：
求出已知圆的圆心坐标，进一步求得已知圆心关于直线对称的点，代入圆的标准方程得答案．
本题考查圆关于直线的对称圆的求法，着重考查点关于直线的对称点的求法，是基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：，，
根据线性回归方程必过样本的中心，
而A、B、D选项均不过，C选项过
故选：
利用公式求出，，即可得出结论．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：在平面内，A，B是两个定点，C是动点，
不妨设，，设，
因为，
所以，
解得，
所以点C的轨迹为圆．
故选：
设出A、B、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可．
本题考查轨迹方程的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．
 

8.【答案】C 

【解析】解：对于A，由，不能推出当时不能成立，由，根据不等式的性质可得，所以是的必要不充分条件，故错误；
对于B，当时，则有；当，时，；当，，时，方程，只有一个解为，所以，；当，时，；当，时，方程只有一个解，的元素只有一个；当，时，方程有两个解，的元素只有一个；
综上所述，集合的元素个数为0个、1个、2个、无数个，故错误；
对于C，命题“或”的否定是“且”，故正确；
对于D，不等式对一切实数x都成立，则有，即且，故错误．
故选：
对于A，由不等式的性质及充要条件的定义判断即可；
对于B，分情况求解方程的根的个数即可判断；
对于C，根据命题的否定即可判断；
对于D，由一元二次不等式恒成立求解即可．
本题考查了不等式的性质、充要条件的定义、分类讨论思想、一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：是底角为的等腰三角形，

为直线上一点


故选：
利用是底角为的等腰三角形，可得，根据P为直线上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：由双曲线定义可知，
由可得，
又，PM平分，
为的中点，
又O是的中点，

故选：
根据可知M为的中点，于是
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题．
 

11.【答案】D 

【解析】解：由图形的对称性和题意知，当，
即，
点P应在E，F之间时，的最大边是
由几何概型可知，在边CD上随机取一点P，
则使的最大边是AB的概率为，
故选：
由对称性知当时，E、F是P的临界位置，再根据几何概型的公式计算即可．
本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：设，，
过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如下所示：

则，，
因为点A为线段PQ的中点，根据梯形中位线定理可得，点A到抛物线C的准线的距离为，
因为，所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立显然存在，
所以，则的最小值为
故选：
设出线段FP，FQ的长度，用余弦定理求得PQ的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而转化为m，n的关系式，再结合不等式即可求得其最小值．
本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用，属于中档题．
 

13.【答案】163 

【解析】解：组距为，
所以第五组抽取的号码是
故答案为：
根据系统抽样的知识求得正确答案．
本题主要考查了系统抽样的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个数，有种不同的结果，
则满足的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共16种，
所以他们“心有灵犀”的概率为
故答案为：
由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从1，2，3，4，5，6任取两个数，由分步计数原理知共有种不同的结果，再列举出满足的情况，结合古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：联立方程，消去y并整理得，
若直线与双曲线的左支交于不同的两点，
则方程有两个不相等的负根，
所以，
解得
故答案为：
联立直线与双曲线的方程，得到，，由题意可知有两个不相等的负根，列出不等式组求解k即可．
本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 

16.【答案】①②④ 

【解析】解：曲线C的方程为，可变为
①设点，满足，则点A关于原点对称的点为，
因为，所以点也在曲线C上，即曲线C关于坐标原点对称．故①正确；
②因为，所以，则y的取值范围是，故②正确；
③时，曲线C的方程可化为，其中，时，曲线C的方程可化为，其中，
所以曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆．故③不正确；
④当时，，设，
则，，当且仅当或时等号成立，
所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线C的上方．
根据曲线C和椭圆的对称性可得椭圆的图形在曲线C的外部四个顶点都在曲线C上，
所以曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积．故④正确．
故答案为：①②④．
①在曲线C上任取一个点，找到它关于原点对称的点，判断是否也在曲线C上即可．
②把y用x表示，借助x的范围即可得y的取值范围．
③分析曲线C的图形是两个抛物线的部分组成的即可．
④在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线C的图形的位置关系即可判断．
本题主要考查曲线与方程，涉及椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意得，解得，
平均成绩为：；
由题意知抽取的5人中，不及格有两人，记为a，b；
有 3 人，记为A，B，
随机试验的所有可能结果有：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共 10 个，
其中至少有 1 人需要补考的结果有：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC共 7 个，
所以所求概率为 

【解析】根据频率分布直方图可求出a及平均值；
由分层抽样抽出样本编号，列出所有基本事件，根据古典概型求解．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：已知方程表示双曲线，
则，
即或，
即集合或；
由题意可得，
又是的充分不必要条件，
则，
即或，
即实数a的取值范围为或 

【解析】已知方程表示双曲线，则，然后求解即可；
由题意可得，又是的充分不必要条件，则，即或，然后求解即可．
本题考查了充分必要条件，重点考查了双曲线的性质，属基础题．
 

19.【答案】解：由已知及抛物线定义可得，，抛物线C的方程为分
由可得，：，设，，
将l方程代入C方程整理得，，，
原点O到直线l的距离为，
的面积分 

【解析】利用抛物线的定义，求解p，得到抛物线方程．
求出直线方程，设出A、B坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式结合点到直线的距离，求解三角形的面积即可．
本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意知，圆心O到直线的距离
所以圆O：
又圆心O到直线l：的距离
所以，
证明：设，则，
所以为定值． 

【解析】利用直线与圆相切，列出方程求出圆的半径，即可得到圆的方程．然后利用圆心距半径半弦长的关系求解弦长．
设出P的坐标，利用距离公式化简求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
 

21.【答案】解：由题可知，，，为等腰直角三角形，则，
又直线与圆相切，所以原点O到直线的距离为1，
直线的方程为，即，
所以，而，
解得，
又，
所以椭圆C的标准方程为：；
证明：由可得，，
由过的直线l，可设其直线方程为，设，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，
直线的方程为，
直线的方程为，
设直线和的交点为，则，
把，，代入上式，得，
整理得，
故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证． 

【解析】由题意可得，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，可得b，c的值，进而求出a的值，求出椭圆的方程；
设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线，的方程，两式联立可得Q的纵坐标为定值1，可证得Q在平行于x轴的直线上．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：直线l过点且倾斜角为，
则直线l的参数方程为，为参数，
即直线l的参数方程为为参数
将直线l的参数方程代入，
化为，
由根与系数的关系，得到，，
，
根据参数的意义可得，
，
代入可得，
化为，解得 

【解析】直线l过点且倾斜角为，可得直线l的参数方程为为参数，化简即可得出结论．
将直线l的参数方程代入，得到根据已知可得，把根与系数的关系代入即可得出结论．
本题考查了直线的参数方程、抛物线的标准方程及其性质、方程思想方法、等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，可化为，即，结合知此时无解；
当时，可化为，即，结合得；
当时，可化为，即，结合得
综上，，故不等式的解集为：；
，当时等号成立，故的最大值，
于是，故由柯西不等式可得： 

【解析】根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的取值范围，可得不等式的解集；
由绝对值三角不等式求出的最大值为M，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．
本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．