2022-2023学年四川省遂宁中学高二（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年四川省遂宁中学高二（上）期末数学试卷（理科）

1.  已知点，点A关于原点的对称点为B，则(    )

A. 25 B. 12 C. 10 D. 5

2.  某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”(    )

A. 是对立事件 B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是对立事件 D. 不是互斥事件

3.  设直线：，：若，则a的值为(    )

A. 0或1 B. 0或 C. 1 D.

4.  已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

5.  已知直线l：，若圆上恰好存在两个点P、Q，它们到直线l的距离为1，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入，，依次输入a的值为1，2，3，则输出的(    )

A. 10
B. 11
C. 16
D. 17

7.  如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩单位，分进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是(    )

A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分
B. 该同学8次测试成绩的众数是48分
C. 该同学8次测试成绩的中位数是49分
D. 该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关

8.  平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则m、n所成角的正弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  曲线与直线有两个交点，则k的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设A，B，C，D是同一个球面上四点，是边长为3的等边三角形，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线C围成的图形的面积是；
②曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线C上任意一点，则的最小值是
其中正确结论的个数为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

13.  将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的第一个号码为03，则抽得的最大号码是______.

14.  已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______.

15.  已知直线其中a，b为非零实数与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，且，则的最小值为______

16.  在棱长为1的正方体中，点M是对角线上的动点点M与A，不重合，则下列结论正确的是______.
①存在点M，使得平面平面；
②存在点M，使得平面；
③的面积不可能等于；
④若，分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点M，使得

17.  平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，
求BC边上的高所在直线的方程；
求的面积．

18.  某种机械设备使用年限x和相应维修费用万元有如下统计数据：

已知x和y具有线性相关关系．
根据以上数据求回归直线方程；
该设备使用8年时，估计所需维修费．参考公式：，

19.  如图，在直角梯形ABCP中，，，，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将沿CD折起得到四棱锥，
为线段BC上任一点，求证：平面平面PAD；
当G为BC的中点时，求证：平面

20.  某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计已知这50人身高介于155cm到195cm之间，现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组第二组…，第八组，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5：
补全频率分布直方图；
根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；
用分层抽样的方法在身高为内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在内的概率．

21.  如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，，，且将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为
在线段BD上是否存在一点F，使得平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
 

22.  如图，已知定圆C：和定直线m：，过的一条动直线l与定直线m相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点．
当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
当时，求直线l的方程；
试问是否为定值，若是求出定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：点，点A关于原点的对称点为B，
，

故选：
先求出点B坐标，再利用两点间距离公式直接求解．
本题考查线段长的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，
即两名学生正好一名男生，一名女生，
故两事件既不是对立事件也不是互斥事件，
故选：
事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．
本题考查互斥事件、对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：直线：，：，，
，
解得或
故选：
利用直线与直线垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，，
对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则l与m平行或异面，故B错误；
对于C，若，，则l不一定垂直，故C错误；
对于D，若，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．
故选：
对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l与m平行或异面；对于C，l不一定垂直；对于D，由面面垂直的判定定理得
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：在一个圆上恰好存在两个点P、Q使得他们到直线L的距离为1
也就是说，直线直线l，
也就是说，所找的圆的圆心到直线PQ的距离小于该圆的半径
因此设直线PQ为
由两平行线间的距离公式可得或者
将两个m值分别代入直线PQ验证A、B、C、D中圆心到PQ的距离
只有D符合，
故选：
所找的圆的圆心到直线PQ的距离小于该圆的半径，由此能求出结果．
本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
 

6.【答案】B 

【解析】解：输入的，，
当输入的a为1时，，，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，，，不满足退出循环的条件；
当输入的a为3时，，，满足退出循环的条件；
故输出的S值为11，
故选：
根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由散点图得：
对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：，超过15分，故A正确；
对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；
对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：分，故C错误；
对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．
故选：
利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：如图：平面，平面，平面，
可知：，，是正三角形．m、n所成角就是
则m、n所成角的正弦值为：
故选：
画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
 

9.【答案】D 

【解析】解：由直线的方程可知，直线过点，
又曲线，整理得，，
表示的图形是以为圆心，2为半径的半圆，

当直线1与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离，
即，解得
当直线l过点时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为
故选：
首先作出曲线表示的半圆，再判断直线l是过定点的直线，利用数形结合判断k的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想应用，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，则作出如图所示的区域．
本题中，区域D的面积，
区域d的面积，

即两船中有一艘在停泊位时另一船不必须等待的概率为
故选：
先确定概率类型是几何概型中的面积类型，再设甲到x点，乙到y点，建立甲先到，乙先到满足的条件，画出并求解，可行域面积，再求出满足条件的可行域面积，由概率公式求解．
本题主要考查建模、解模能力；解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率．
 

11.【答案】C 

【解析】解：是边长为3的等边三角形，设外接圆半径为r，则，所以，
当D到底面ABC的高为h，的外心为，
因为体积的最大值为，则，所以，
当面ABC时，h最大，设外接球的球心为O，则，
由R，r，构成直角三角形可得，
所以，
即，所以，
所以外接球的表面积，
故选：
先求出底面三角形外接圆的半径r，当D与底面外接圆的圆心所在的直线与底面垂直时体积最大．求出顶点到底面的高h，再由球的半径R，r，构成直角三角形可得R的值，进而求出R的值，求出外接球的表面积．
本题考查三棱锥外接球的半径的求法及外接球的表面积公式的应用，属于中档题．
 

12.【答案】C 

【解析】解：曲线C：可知曲线关于原点，x，y轴对称，
当，时，可得，可得，所以可得是以为圆心，为半径的半圆，
由此可作出曲线C的图象，如图所示，
所以曲线C围成的图形的面积是，故命题①正确；
曲线上任意两点间距离的最大值为，故命题②错误；
设圆心C到直线的距离为，
故曲线上任意一点到直线l的距离的最小值为最小值为，
故的最小值是，故命题③正确．
故选：
由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当，时，可得，可得，所以可得是以为圆心，为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．
本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．
 

13.【答案】51 

【解析】解：根据系统抽样方法知，抽样间隔为，
因为抽得的第一个号码为03，所以抽得的最大号码是
故答案为：
求出抽样间隔，根据抽得的第一个号码数求出抽得的最大号码是什么．
本题考查了系统抽样的应用问题，是基础题．
 

14.【答案】4 

【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
由可得，则表示直线在y轴上的截距，截距越小，z越大
由可得，此时z最大为4，
故答案为：
根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解．
本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想．
 

15.【答案】8 

【解析】解：因为直线与圆相交于A，B两点，且，
所以圆心到直线的距离，
即，
则，
当且仅当且时取等号，此时取得最小值
故答案为：8
由已知结合点到直线的距离公式可得，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档试题．
 

16.【答案】①②④ 

【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，可得，，，，
连接，设平面与对角线交于M，
由，，可得平面，
存在点M，使得平面平面，故①正确；
由，，可得平面平面，
设平面与对角线交于M，可得平面，故②正确；
设，，可得，，
可得的面积为，
可得时，的面积等于，故③错误；
设在平面与平面的正投影分别为，，
由，可得，可得，
由，可得，可得，
由，可得或，故④正确．
故答案为：①②④．
以为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，可得，，，，连接，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理可判断①；由面面平行的性质定理可判断②；由三角形的面积公式，计算可判断③；由正投影为三角形可得三角形的面积，解方程可判断④．
本题考查空间直线与直线，平面与平面的位置关系，考查三角形的投影的面积等，主要考查空间想象能力．属于难题．
 

17.【答案】解：直线BC的斜率，
则BC边上高的斜率，
则过A的高的直线方程为，
即
的方程为，

点A到直线的距离，
，
则三角形的面积 

【解析】求出直线BC的斜率，结合直线垂直的性质求出高线的斜率即可
求出点到直线的距离，以及底BC的距离，结合三角形的面积公式进行计算即可
本题主要考查三角形高线的计算，以及三角形的面积的求解，结合距离公式以及直线垂直的斜率关系是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：由表格数据知：，
，
，
，
，
，
线性回归方程为：
将代入回归直线方程可得：，
即该设备使用8年时，估计所需维修费为万元． 

【解析】利用公式求出，，即可得出结论；将代入回归方程即可求解．
本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
 

19.【答案】证明：中，E、F分别是PD、PC的中点，，
，，
平面PAD，
平面PAD，
平面EFG，
平面平面PAD；
为BC的中点，F为PD的中点，

平面PAB，平面PAB，
平面PAB，
由知，
，
平面PAB，平面PAB，
平面PAB，

平面平面PAB
平面PAB
平面 

【解析】证明，平面PAD，可得平面PAD，利用面面垂直的判定，即可证明结论；
证明平面PAB，平面PAB，可得平面平面PAB，从而可证平面
本题考查面面垂直，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直，线面平行的判定定理，属于中档题．
 

20.【答案】解：第6组和第7组的频率和为
，
且第6组和第7组人数的比为5：2，
第6组的频率为，纵坐标为；
第7组的频率为，纵坐标为；
补全频率分布直方图如图所示；
设身高的中位数是x，则

，
解得，
估计这50位男生身高的中位数为；
由第4、5组的频率之比为2：3，
按分层抽样用方法，
第4组应抽取2人，记为A、B；
第5组应抽取3人，记为c、d、e，
则所有可能的情况有：
AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；
满足2位男生身高都在内的基本事件为cd、ce、de共3种，
故所求的概率为 

【解析】计算第6组和第7组的频率，求出，
补全频率分布直方图即可；
利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；
按分层抽样方法求出第4、5组应抽取的人数，
用列举法求出基本事件数，计算所求的概率．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数列举法求概率的问题，是基础题．
 

21.【答案】解：平面四边形ABCP中，D为PA的中点，，，且，
将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E，
由题知，，，，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示．

结合已知可得，，，，
则PB中点平面DB，，故可设，
则，平面PBC，，
又，所以，解得，即，
故点F存在，使得平面PBC，E为线段BD上靠近点D的一个四等分点，即DF：：
由得是平面PBC的一个法向量，又，
则得，
记直线AB与平面PBC所成角为，则，
故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 

【解析】由题知，，，，则以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
求出平面PBC的一个法向量，，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的定义及其正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：证明：因为直线m：且l与m垂直，
所以直线l的斜率为3，所以直线l的方程为，
将圆心代入方程，方程成立，所以直线l过圆心C；
由于，M是PQ中点，由垂径定理得，
①当直线l斜率不存在时，易知直线l的方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心C到直线l的距离为，解得，
直线l的方程为，即；
综上：直线l的方程为或；
①当l与x轴垂直时，易得，，又，
则，，此时；
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为，
代入圆的方程化简得，
设，，，
则，，
即，，
又由得，
则，
由图可知，；
综上：为定值 

【解析】根据l与m垂直写出直线l的方程；将圆心代入方程易知l过圆心C；
分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，易求；当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为，由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离，从而解得斜率k来得出直线l的方程；
当l与x轴垂直时，计算，进行验证；当l的斜率存在时，设直线l的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求M的坐标，再用两根直线方程联立，求N的坐标，计算，即可得解．
本题考查了直线与圆的位置关系的综合应用，属于中档题．