2022-2023学年广西壮族自治区桂林市第一中学高一上学期11月期中检测数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区桂林市第一中学高一上学期11月期中检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由集合和求交集即可.

【详解】由集合及，所以.

故选：.

2．已知偶函数，当时，则（    ）

A．1 B．2 C．-3 D．3

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性即可代入求值.

【详解】有题意得，由于是偶函数，所以，

故选：D

3．若不等式的解集为，则（　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．

【详解】不等式的解集为，则方程根为、，

则，解得，，

故选：D

4．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ）

A． B． C．1 D．或1

【答案】A

【分析】由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．

【详解】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，

故选：A

5．已知，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性，结合与对比，即可求解．

【详解】在上单调递减，

，

在上单调递增，

.

故选：B

6．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据f(x)的定义域得到f(4x)中4x的取值范围，进而求得x的范围，再结合g(x)的分母的偶次方根有意义的条件，得到其定义域.

【详解】因为函数的定义域是，

所以.

故选：D.

7．已知函数，则满足的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.

【详解】由，知是偶函数，

不等式等价为，

当时，，在区间上单调递增，

解得：.

故选：A.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.

8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数 m 的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得．

【详解】∵不等式有解，

∴，

∵，，且，

∴，

当且仅当，即，时取“＝”，

∴，

故，即，

解得或，

∴实数 m 的取值范围是．

故选：B．

二、多选题

9．下列表述正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.

【详解】解：，故A正确；

，故B正确；

，故C正确，D错误.

故选：ABC.

10．下列命题中，真命题的是（    ）

A．是的必要不充分条件

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题“，使得”的否定是“，使得”

D．命题“，使得”的否定是“，使得”

【答案】BCD

【分析】利用充分性与必要性判断AB的正确性，

根据全称命题与存在命题的关系判断CD的正确性.

【详解】对于A，当，时，，但是当时，，不一定成立，比如,故，是的充分不必要条件，故A错误；

对于B，当时可得, 当时不能得到,

“”是“”的充分不必要条件,故B正确；

对于C, 命题“，使得”的否定是“，都有”,故C正确；

对于D，命题“，”的否定是“，”，故D正确.

故选：

11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若在上有最小值，则在上有最大值1

C．若在上为增函数，则在上为减函数

D．若时，，则时，

【答案】ABD

【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．

【详解】由得，故正确；

当时，，且存在使得，

则时，，，且当有,

∴在上有最大值为1，故正确；

若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；

若时，，则时，，，故正确．

故选：．

【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．

12．已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（  ）

A．4 B．3 C． D．

【答案】CD

【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围.

【详解】由函数是上的增函数，

所以

所以，

故选：CD.

三、填空题

13．函数的图象恒过定点P，则点P的坐标为______.

【答案】

【解析】根据指数函数的性质，取指数为0时，求得x的值和f(x)的值，即得P的坐标.

【详解】当且仅当x=1时，f(x)的取值与底数a的变化无关，,∴函数f(x)过定点(1,3),

即P的坐标为,

故答案为：.

【点睛】本题考查指数型函数的图象过定点问题，属基础题，关键是掌握指数函数的性质，当指数为零时幂的值不受底数的变化的影响.

14．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为_________．

【答案】

【分析】根据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数．

【详解】由题意知集合中必须包含0，2两个元素，

但集合；

∴满足条件的集合为：，，

；

∴满足条件的集合的个数为．

故答案为：．

15．若函数是定义在上的偶函数，则______．

【答案】５

【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，进而计算即可.

【详解】函数是定义在上的偶函数，，即．

，，，

∴,∴,

故答案为：.

16．已知是上的偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是________．

【答案】

【分析】由题意可作出函数的大致走势图，再由或，结合图象即可得答案.

【详解】解：因为是偶函数，且在上是增函数，

所以在上是增减函数，

又因为，

所以，

则函数的大致走势如图所示：

所以或，

解得或，

所以不等式的解集为：.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)求集合；

(2)设集合，且，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据补集的概念可得结果；

（2）由，得，根据子集关系列式可求出结果.

【详解】（1）∵，∴．

（2）∵，∴，

∴，解得.

18．已知函数，

（1）求，，的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1），，；（2）或.

【解析】（1）本题首先可以根据题意明确函数在各段的解析式，然后代入值进行计算即可；

（2）本题可分为、、三种情况进行讨论，依次求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为函数，

所以，，

，.

（2）当时，，解得，不合题意，舍去；

当时，，即，

解得或（舍去），故此时；

当时，，即，

综上所述，或.

【点睛】本题考查分段函数值的求法以及根据分段函数值求自变量，能否明确分段函数在各段的解析式是解决本题的关键，根据分段函数值求自变量时要注意求出的自变量是否在取值范围内，考查分类讨论思想，是中档题.

19．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意易得，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；

（2）由题意易得的解集为，分类讨论与两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.

【详解】（1）根据题意，得，

由得，即，

解得：或，

故不等式的解集为或.

（2）由题意得，的解集为，

当时，不等式可化为，解得，即的解集为，不符合题意，舍去；

当时，在开口向上，且与轴没有交点时，的解集为，

所以，解得，即，

综上：，

故实数的取值范围为.

20．已知函数，且．

(1)求；

(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

(3)并求函数在上的值域．

【答案】(1)

(2)函数在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数求值，建立方程，可得答案；

（2）根据单调性的定义，利用作差法，可得答案；

（3）由（2）的单调性，可得答案.

【详解】（1）∵，且，∴．

（2）函数在上单调递增．

证明：任取，，且，

则，

∵，∴，，．

∴，即．∴函数在上单调递增．

（3）由（2）得在上单调递增，∴在上单调递增，

又，，∴在上的值域为．

21．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；

（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.

【详解】（1）因为当时，，

所以当时，，．

又为奇函数，所以（）．

∴．

（2）作出函数的图象如图所示：

要使在上单调递增，结合图象可知，解得．

所以的取值范围为．

22．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在任意的都有成立．

(1)求实数的值；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的范围．

【答案】(1)1

(2)．

【分析】(1)运用奇函数特征可求解；

(2)先得出函数的单调性，结合奇偶性得不等式在上恒成立，再转化为函数的最值求解.

【详解】（1）∵为上的奇函数，∴，即，即．经检验成立

（2），在上的减函数．

又为奇函数，故由，

可得，∴．

即在上恒成立．

令．

又在上单调递增，∴．

∴，∴实数的范围为