2022-2023学年广西桂林市中山中学高一上学期11月期中考试数学试题(解析版)
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一、单选题
1.下列关系中,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】理解数集符号,根据元素和集合的关系逐一判断即可.
【详解】对于选项A, 表示正整数集, -2不是正整数, 所以A错误;
对于B, 表示整数集, 不是整数, 所以B错误;
对于C, 表示有理数集, 不是有理数, 所以 C正确;
对于D, 表示自然数集, 5是一个元素,不是集合,所以 D 错误.
故选:C
2.已知集合,那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据并集的定义直接求出即可.
【详解】,
。
故选:C.
3.全称命题“,x2+2x+3≥0”的否定是( )
A.,x2+2x+3<0 B.,x2+2x+3≥0
C.,x2+2x+3≤0 D.,x2+2x+3<0
【答案】D
【分析】根据含全称量词的命题的否定直接求解即可.
【详解】由含量词命题的否定知,
命题“,”的否定是“,”
故选:D
4.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据函数要有意义,则需满足根号下方的式子大于或等于0,解不等式即可.
【详解】根据函数要有意义,则,即,
所以函数的定义域为:.
故选:A.
5.“”是“”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意由得出或,然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】由得或,
所以由可以得到,但由不一定得到,
所以是的充分不必要条件.
故选:A.
6.已知函数,则( )
A. B.3 C.1 D.19
【答案】B
【分析】根据已知函数解析式可先求,然后代入可求.
【详解】由,则.
故选:B
7.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在函数中,令,求出的值,代入计算即可求得的值.
【详解】在函数中,令,可得,
所以,.
故选:D.
8.设函数是定义在R上的奇函数,且,则( )
A.1 B.0 C. D.
【答案】C
【解析】由函数是定义在R上的奇函数可知,由可求,即可求得出结果.
【详解】函数是定义在R上的奇函数,
.
,
,即.
.
故选:.
【点睛】本题考查由奇函数的性质求函数值的方法,难度较易.
9.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同,则这两个函数相同,进而判断答案.
【详解】对A,的定义域为R,的定义域为,则A错误;
对B,和的定义域均为R,且,则B正确;
对C,的定义域为,的定义域为R,则C错误;
对D,的定义域为,的定义域为R,则D错误.
故选:B.
10.已知幂函数是增函数,则( )
A.1 B. C.1或 D.2或
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.
【详解】幂函数是增函数,
所以,解得,或,
当时,则是增函数,
当时,不是增函数,∴.
故选:A.
11.已知,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由幂函数的性质,可得,解不等式组可得答案
【详解】解:因为,
所以,
解得,
故选:B
12.若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将不等式等价转化为,利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.
【详解】由题意可知:不等式恒成立等价转化为,
因为,所以,
则
(当且仅当,也即时等号成立),
所以,
故选:.
13.若函数是偶函数,则的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用函数是偶函数,可得,解出.再利用二次函数的单调性即可得出单调区间.
【详解】解:函数是偶函数,
,
,
化为,
对于任意实数恒成立,
,
解得;
,
利用二次函数的单调性,
可得其单调递增区间为.
故选:B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用,熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键.
二、多选题
14.若,则下列不等式中,正确的有( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】利用不等式的基本性质即可得出.
【详解】,
,C错误;
,所以,D正确,
而,
所以B错误,A正确,
故选:AD
【点睛】本题主要考查了不等关系的命题判定,考查了不等式的性质,属于中档题.
15.若函数在上为减函数,且,则实数的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】AB
【分析】根据题意, 由不等式的性质可得 , 解可得 的取值范围, 分析选项可得答案.
【详解】根据题意, 函数在上为减函数, 且 ,
则有 , 解得 ,
所以选项A ,B正确, 选项C ,D错误.
故选: A B.
三、填空题
16.若a>0,则的最小值是___________.
【答案】2
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】解:∵a>0,
∴(当且仅当a=1时取“=”).
故答案为:2
17.设是定义在上的偶函数,当时,,则________
【答案】
【解析】由偶函数的性质运算即可得解.
【详解】因为是定义在上的偶函数且当时,,
所以.
故答案为:.
18.已知函数,的值域为______.
【答案】
【分析】根据二次函数单调性和值域的关系直接求解.
【详解】,
函数的对称轴为,
,
当时,函数取得最小值为,
当时,函数取得最大值为,
故函数的值域为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查函数值域的求解,根据二次函数单调性和值域的关系是解决本题的关键,属于基础题.
19.已知,且,则______.
【答案】-13
【分析】设,易证其为奇函数,由已知可得,进而可得,而,代入可得答案.
【详解】设,函数定义域为R,则有,
故函数为奇函数,
由可得,
故.
故答案为:-13.
20.若实数a,b满足,则的最小值是___________.
【答案】
【分析】由条件得,代入得,进而由基本不等式可得解.
【详解】由可得:,
所以.
当且仅当时,等号成立.
故答案为:.
四、解答题
21.已知,,.
(1)当a=1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)解不等式,求出,进而求出交集;
(2)根据条件得到,比较端点,列出不等式组,求出实数a的取值范围.
【详解】(1),解得,故,
当时,,
所以;
(2)因为,所以,
因为,所以,
所以,
解得:,
所以实数a的取值范围为
22.解下列不等式:
(1)x2-5x-6>0;
(2)(2-x)(x+3)<0.
【答案】(1){x|x<-1或x>6};(2){x|x<-3或x>2}.
【分析】(1)先求对应的一元二次方程的根,再根据二次函数图像确定不等式解集;
(2)先求对应的一元二次方程的根,再根据二次函数图像确定不等式解集
【详解】(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.
原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.
方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.
原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.
23.已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明.
【答案】(1){x|x≠±1};(2)偶函数,证明见解析.
【解析】(1)定义域是使解析式有意义的自变量的集合,本题中,只要分母不为0即可;
(2)由于定义域关于原点对称,因此再计算与比较其关系,即可证明.
【详解】(1)解1﹣x2≠0得,x≠±1,
∴f(x)的定义域为{x|x≠±1},
(2)f(x)为偶函数,
证明:由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1},定义域关于原点对称,
又,
∴f(x)为偶函数.
24.已知函数且.
(1)求的值;
(2)判断在上的单调性,并给予证明.
【答案】(1);
(2)在上是减函数,证明见解析.
【分析】(1)将x=4代入函数解析式解得参数即可求得答案;
(2)由函数单调性的定义即可证明问题.
【详解】(1)∵,∴,.
(2)在上是减函数.
证明:设任意,且,则,
∵,∴,∴,即,
故在上是减函数.
25.已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式;
(2)若在上不是单调函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据幂函数的定义和函数的奇偶性求出的值, 求出函数的解析式即可;
(2) 求出函数的对称轴, 根据函数的单调性求出的范围即可.
【详解】(1)由题意 ,
解得: 或 3 ,
若 是偶函数,则,
故 ;
(2),
的对称轴是 ,
若 在上不是单调函数,
则 , 解得: .
所以实数的取值范围为.
26.如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园.设菜园的长为米,宽为米.
(1)若菜园面积为36平方米,则,为何值时,所用篱笆总长最小?
(2)若使用的篱笆总长为30米,求的最小值.
【答案】(1)菜园的长为,宽为时,所用篱笆总长最小
(2)
【分析】(1)利用基本不等式求解和的最小值;(2)利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】(1)由题意得,,所用篱笆总长为.
因为,
当且仅当时,即,时等号成立.
所以菜园的长为,宽为时,所用篱笆总长最小.
(2)由题意得,,
,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值是.
27.已知函数,
(1)若函数在区间上是单调函数,求实数的取值范围;
(2)对于任意实数及任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据二次函数的单调性进行求解即可;
(2)根据函数单调性的性质,结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】(1)二次函数的对称轴为:,
由题意知,,或,
由,可解得,或,即;
(2)因为在上单调递增,所以,依题意有,不等式对于任意恒成立,
有,化简得,,所以.
实数的取值范围为.
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