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2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16小题，1-6题，每小题2分，7-16题，每小题2分，共42分）
1. 在实数﹣4、2、0、﹣1中，最小数与数积是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 4 D. ﹣8
2. 下列运算正确是（ ）
A. x•x5=x6 B. （﹣2a2）3=﹣6a6 C. （a+b）2=a2+b2 D. ﹣2（a﹣1）=﹣2a+1
3. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 25° D. 35°
4. 直线一定点（ ）．
A. (1，0) B. (1，k) C. (0，k) D. (0，－1)
5. 如果没有等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题中真命题是（ ）
A. 以40°角为内角两个等腰三角形必定相似
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
7. 小王同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方确的是（ ）
A. P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B. P为∠CAB角平分线与AB的垂直平分线的交点
C. P为AC、AB两边上的高的交点
D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
9. 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（ ）
A. π B. C. D.
10. 对于实数x，我们规定[x]表示没有大于x的整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[1﹣]=5，则x的取值可以是（ ）
A. ﹣6 B. 5 C. 0 D. ﹣8
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②co=；③tanA=；④ta=，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
12. 如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
13. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A. 汽车共行驶了120千米 B. 汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C. 汽车返回时的速度为80千米/时 D. 汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度没有变
15. 正△ABC与正六边形DEFGHI的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I顺时针旋转使得AC与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（ ）
A. AB B. BC C. AC D. 无法确定
16. 如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动．设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A. AD=10cm B. sin∠EBC=
C. 当t=15s时，△PBQ面积为30cm2 D. 当0＜t≤10时，y=t2
二、填 空 题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 计算：|﹣3|﹣（3﹣π）0+2=_____．
18. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
19. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_______
.
20. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点Bn的坐标为_____．(n为正整数)
三、解 答 题（本大题共6个小题，共66分）
21. 如图：已知线段a、b
（1）求作一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为b．（尺规作图，只保留作图痕迹）
（2）小明由此想到一个命题：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，请你判断这个命题的真假，如果是真命题请证明；如果是假命题请举出反例．
22. 某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷，统计整理并绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为_____；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1000名男生，小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1000×=90”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．
（4）若要从被的“从没有参加”课外体育锻炼的男生中随机选择10名同学组成课外小组，则从没有参加的小王被选中的概率是多少？
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：DE=BC；
（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
25. 把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略没有计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有值？如果有，求出这个值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）
26. 【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小丽给出提示是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
请根据小丽的提示进行证明．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件没有变，试猜想PD、PE、CF三者之间的数量关系并证明．
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16小题，1-6题，每小题2分，7-16题，每小题2分，共42分）
1. 在实数﹣4、2、0、﹣1中，最小数与数的积是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 4 D. ﹣8
【正确答案】D
【详解】分析：找出最小的数与的数，相乘即可．
详解：根据题意得：-4×2=-8，
故选D．
点睛：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x•x5=x6 B. （﹣2a2）3=﹣6a6 C. （a+b）2=a2+b2 D. ﹣2（a﹣1）=﹣2a+1
【正确答案】A
【详解】分析：各项计算得到结果，即可作出判断．
详解：A、原式=x6，符合题意；
B、原式=-8a6，没有符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，没有符合题意；
D、原式=-2a+2，没有符合题意，
故选A．
点睛：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 25° D. 35°
【正确答案】D
【分析】首先过A作，然后判定，根据平行线的性质可得∠3=∠1=25°，再计算出∠4的度数，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，过A作，
∵，
∴，
∴∠3=∠1=25°，
∵∠BAC=60°，
∴∠4=60°-25°=35°，
∵，
∴∠2=∠4=35°，
故选D．
此题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4. 直线一定点（ ）．
A. (1，0) B. (1，k) C. (0，k) D. (0，－1)
【正确答案】D
【详解】将x＝0代入y＝kx－1中，得y＝－1．
故选D．
5. 如果没有等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据方程组的解集的表示方法，可得答案．
【详解】∵没有等式组的解集是，
∴，
故选D．
本题考查了没有等式组的解集，利用同大取大是解题关键．
6. 下列命题中真命题是（ ）
A. 以40°角为内角的两个等腰三角形必定相似
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
【正确答案】D
【详解】分析：根据等腰三角形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定方法一一判断即可．
详解：A、错误．40°可能是底角，也可能是顶角．
B、错误．对角线相等的平行四边形是矩形．
C、错误．等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，没有是平行四边形．
D、正确．根据AAS即可判断两个三角形全等．
故选D．
点睛：本题考查等腰三角形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
7. 小王同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：列举出所有情况，看各掷所确定的点P落在抛物线y=-x2+15上的情况数占所有情况数的多少即可．
详解：如下表
共有36种情况，点P落在双曲线y=上的有（1，4），（4，1），（2，2），所以概率是．
故选C．
点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以没有重没有漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方确的是（ ）
A. P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B. P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C. P为AC、AB两边上的高的交点
D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
【正确答案】B
【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：∵P到∠CAB的两边的距离相等，
∴P为∠CAB的角平分线上的点，
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：B．
此题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．
9. 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（ ）
A. π B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据勾股定理可计算出AB2、AC2、BC2，从而得到AB2=AC2+BC2，CA=CB，根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再根据圆周角定理可得AB是⊙O的直径，根据CA=CB，可得弧AC的长等于弧BC的长，只需求出弧AB的长，就可解决问题．
详解：根据勾股定理可得：
AB2=42+22=20，AC2=32+12=10，BC2=32+12=10，
∴AB2=AC2+BC2，CA=CB，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴弧AB的长=×π×AB=×π×2=π，
∵CA=CB，
∴弧AC的长=弧BC的长=×弧AB的长=π．
故选D．
点睛：本题以网格为背景，主要考查了弧长的计算，勾股定理及其逆定理、圆周角定理、同圆中弧与弦的关系等知识，难度没有大，但考查的知识面广，是一道好题．
10. 对于实数x，我们规定[x]表示没有大于x的整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[1﹣]=5，则x的取值可以是（ ）
A. ﹣6 B. 5 C. 0 D. ﹣8
【正确答案】D
【详解】分析根据新定义得出没有等式组，求出没有等式组的解集即可．
详解：∵[1-]=5，
∴5＜1-≤6，
解得：-7＞x≥-9，
即只有选项D符合，
故选D．
点睛：本题考查了解一元没有等式组，能得出关于x的没有等式组是解此题的关键．
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②co=；③tanA=；④ta=，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
【正确答案】D
【详解】分析：直接利用直角三角形的性质角的三角函数值得出答案．
详解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°，
∴①sinA=，正确；②co=，故此选项错误；③tanA=tan30°=，正确；④ta=tan60°=，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了直角三角形的性质和角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12. 如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【正确答案】B
【分析】证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题．
【详解】连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝3，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝3，
∴S阴＝3．
故选B．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握同底等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积=6××62×2=．
故选C．
考点：由三视图判断几何体．
14. 如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A. 汽车共行驶了120千米 B. 汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C. 汽车返回时的速度为80千米/时 D. 汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度没有变
【正确答案】C
【详解】分析：横轴代表时间，纵轴代表行驶的路程，据此判断相应的路程和时间即可．
详解：A、由图象可以看出，最远处到达距离出发地120千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为240千米，错误，没有符合题意；
B、平均速度为总路程÷总时间，总路程为240千米，总时间为4.5小时，所以平均速度为240÷4.5≈53千米/时，故错误，没有符合题意；
C、汽车返回所用的时间是1.5小时，则平均速度为：=80（千米/时），正确，符合题意；
D、汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度没有变，故错误，没有符合题意；
故选C．
点睛：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；用到的知识点为：平均速度=总路程÷总时间．
15. 正△ABC与正六边形DEFGHI的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I顺时针旋转使得AC与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（ ）
A. AB B. BC C. AC D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】分析：观察图象可知，6次一个循环，因为2015÷6=335…5，所以旋转的结果与第五次结果相同，
详解：观察图象可知，6次一个循环，
∵2015÷6=335…5，
∴旋转的结果与第五次结果相同，
∵第五次，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是AB，
∴旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是AB，
故选A．
点睛：本题考查正多边形与圆、旋转的性质等知识，解题的关键是学会从到一般的探究方法，旋转规律．利用规律解决问题．
16. 如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动．设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A. AD=10cm B. sin∠EBC=
C. 当t=15s时，△PBQ面积为30cm2 D. 当0＜t≤10时，y=t2
【正确答案】C
【详解】分析：根据图象可以得到BC和BE的长度，从而可以得到AD的长，可以判断A；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF=CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断B；
根据题意可以分别求得在t=15s时，BQ、QP的长，从而得到△PBQ面积，可以判断C；
根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积的表达式，可以判断D．
详解：由图象可知，BC=BE=10，DE=14-10=4，
∴AD=10，故A正确；
AE=AD-DE=10-4=6cm，
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如图所示，
由图象可知，三角形PBQ的面积为40，
∴BC•EF=×10•EF=40，
解得EF=8，
∴sin∠EBC=，故B正确；
当t=15s时，点Q与点C重合，
由图象可知，DE=4，
所以点P运动到边DC上，且DP=15-10-4=1，如图所示，
∴PC=8-1=7，
∴△PBQ面积=×10×7=35（cm2），故C错误；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，
∴，即，
解得PM=t，
∴△BPQ的面积=BQ•PM=•t•t=t2，
即y=t2，故D正确；
故选C．
点睛：本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形的思想，找出所求问题需要的条件．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．
二、填 空 题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 计算：|﹣3|﹣（3﹣π）0+2=_____．
【正确答案】2+
【详解】分析：原式项利用值的意义化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用二次根式的性质化简，计算即可得到结果；
详解：原式=3-1+=2+.
故答案为2+.
点睛：先把二次根式化简为最简二次根式，再合并即可．
18. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【正确答案】5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故或5．
19. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_______
.
【正确答案】－2＜k＜．
【分析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，
联立，消掉y得，，
由解得，.
∴当时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1.
∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（）.
∴交点在线段AO上.
当抛物线点B（2，0）时，，解得k=－2.
∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜.
【详解】请在此输入详解！
20. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点Bn的坐标为_____．(n为正整数)
【正确答案】（2n﹣1，2n﹣1）
【分析】根据直线解析式先求出OA1=1，再求出个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n个正方形的边长，从而求得点Bn的坐标．
【详解】∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴OA1=1，
∴B1（1，1），
∵OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
∴B2（3，2），
同理得：A3C2=4=22，…，
∴B3（23-1，23-1），
∴Bn(2n−1，2n−1)，
故答案为Bn(2n−1，2n−1)．
本题考查了函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
三、解 答 题（本大题共6个小题，共66分）
21. 如图：已知线段a、b
（1）求作一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为b．（尺规作图，只保留作图痕迹）
（2）小明由此想到一个命题：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，请你判断这个命题的真假，如果是真命题请证明；如果是假命题请举出反例．
【正确答案】（1）见解析；（2）真命题，证明见解析．
【详解】分析：（1）分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．
（2）作出图形，连接AD，由AB=AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE=DF，得证．
详解：（1）如图所示：
（2）真命题．已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于，ED⊥AC于F，
求证：DE=DF．
证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的角平分线（三线合一的性质），
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边相等）．
点睛：本题考查了作图-复杂作图，画线段的垂直平分线、在直线上截取线段、等腰三角形的性质．同时考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断
22. 某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷，统计整理并绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为_____；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1000名男生，小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1000×=90”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．
（4）若要从被的“从没有参加”课外体育锻炼的男生中随机选择10名同学组成课外小组，则从没有参加的小王被选中的概率是多少？
【正确答案】144°
【详解】分析：（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；
（2）先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；
（3）根据喜欢乒乓球的27人都是“经常参加”的学生，“偶尔参加”的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答；
（4）求得从没有参加的总人数，根据概率公式求解可得．
详解：（l）“经常参加”所对应的圆心角的度数为360°×（1﹣15%﹣45%）=144°，
故答案为144°；
（2）经常参加人数为300×（1﹣15%﹣45%）=120人，
则“篮球”选项的人数为120﹣（27+33+20）=40．
补全条形统计图如下：
（3）这种说法没有正确．
理由如下：最喜欢乒乓球的人在“经常参加”课外的人中有27人，而在“偶尔参加”课外的人中也有可能有人喜欢乒乓球，
因此比例没有一定是，
因此这种说法是错误的．
（4）∵从没有参加的总人数为300×15%=45（人），
∴P（小王）=．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：DE=BC；
（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【正确答案】见解析
【详解】分析：（1）连接DO，先可证明EC为⊙O的切线，然后依据切线长定理可得到DE=EC，然后再证明∠1=∠B，从而得到EB=ED，从而可证明DE= BC．
（2）由四边形ODEC为正方形，可得到DE=OC=EC=OD，从而可得到AC=2OC，BC=2EC，从而得到BC=AC，故此可证明△ABC是等腰直角三角形．
详解：（1）证明：连接DO，
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O切线．
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED．
又∵∠EDO=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1+∠A=90°．
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠1=∠B，
∴EB=ED，
∴DE=BC．
（2）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ODEC为正方形，
∴OD=DE=CE=OC，∠DOC=∠ACB=90°．
∵DE=BC，AC=2OC，
∴BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
【正确答案】（1）B（2，2）；（2）点P的坐标为（2，）；（3）在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为或（﹣，）．
【分析】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
【详解】（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，
∴D（4，0），
过B作BE⊥x轴于点E，如图1，
∵△OBD为等边三角形，
∴OE=OD=2，BE=OB=2，
∴B（2，2）；
（2）∵等边△OBD是轴对称图形，对称轴为l，
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，
把x=2代入y=﹣x+1，得y=，
∴点P的坐标为（2，）；
（3）设满足条件的点为Q，其坐标为（m，﹣m+1），
由题意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，
解得m=或m=﹣，
∴在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为或（﹣，）．
本题为函数的综合应用，涉及等边三角形的性质、轴对称的性质、函数图象上点的坐标特征、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中作出点B到x轴的距离是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用条件得到关于坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25. 把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略没有计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有值？如果有，求出这个值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）
【正确答案】（1）①剪掉的正方形的边长为5cm， ②当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积为648cm2；（2）剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．
【详解】分析：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（36-2x）2=676，求出即可；
②设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，则y与x的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为880cm2，得出等式方程求出即可．
详解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（36﹣2x）2=676，即36﹣2x=±26，
解得：x1=31（没有合题意，舍去），x2=5，
∴剪掉的正方形的边长为5cm．
②侧面积有值．设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，
则S与x的函数关系为：
S=（36﹣2x）×x×4=﹣8x2+144x=﹣（x﹣9）2+648，
∴x=9时，S=648．
即当剪掉正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积为648cm2；
（2）在如图的一种剪裁图中，
设剪掉的正方形的边长为acm，长为（36﹣2a）cm，宽为（18﹣a）cm，高为acm．
（36﹣2a）×36+2a（18﹣a）=880
解得：a1=﹣26（没有合题意，舍去），a2=8．
∴剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．
点睛：本题考查了二次函数的应用及二元方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解．
26. 【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小丽给出的提示是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
请根据小丽的提示进行证明．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件没有变，试猜想PD、PE、CF三者之间的数量关系并证明．
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
【正确答案】见解析；CF=PD+PE ；PG+PH的值为4．
【详解】【问题情境】
分析：【问题情境】连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
【变式探究】连接AP，由△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得：CF=PD-PE．
【结论运用】先证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，故只需求出DC即可．
详解：证明：连接AP，如图②，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴AB•CF=AB•PD+AC•PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD+PE．
【变式探究】
证明：连接AP，如图③．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，
∴AB•CF=AB•PD﹣AC•PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD﹣PE．
【结论运用】
过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．
∴DF=5．
∵∠C=90°，
∴DC==4．
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，
∴PG+PH=4，
∴PG+PH的值为4．
点睛：本题主要考查四边形的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了用面积法证明几何问题，运用已有的解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 已知数轴上C、D两点的位置如图，那么下列说法错误的是（ ）
A. D点表示的数是正数
B. C点表示的数是负数
C. D点表示数比0小
D. C点表示的数比D点表示的数小
2. 已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A. 518=2（106+x） B. 518﹣x=2×106
C 518﹣x=2（106+x） D. 518+x=2（106﹣x）
3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
4. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃没有小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）
A ① B. ② C. ③ D. ①和②
5. 下列图形：其中所有轴对称图形对称轴条数之和为（ ）
A. 13 B. 11 C. 10 D. 8
6. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A. 3:4 B. 5:8 C. 9: 16 D. 1:2
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则函数y=cx+与反比例函数y=abx-1在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
8. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
9. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是（ ）
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD：AC=AE：AB
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填 空 题：
11. 分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．
12. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是_____．
13. 直线A(0，2)和B(3，0)两点，那么这个函数关系式是_________．
14. 一木杆离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高______米．
15. 如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
三、计算题：
16. 解没有等式组：．
四、解 答 题：
17. 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”，将问卷整理后绘制成如图所示的没有完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
18. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（没有要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会没有会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又没有出边界，求h的取值范围．
19. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．
20. 两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片没有动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示．
利用图证明且；
当与在同一直线上（如图）时，求的长和的正弦值．
21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B没有重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 已知数轴上C、D两点的位置如图，那么下列说法错误的是（ ）
A. D点表示的数是正数
B. C点表示的数是负数
C. D点表示的数比0小
D. C点表示数比D点表示的数小
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、∵点 D 在原点的右侧，∴D 点表示的数是正数，故本选项正确；
B、∵点 C 在原点的左侧，∴C 点表示的数是负数，故本选项正确；
C、∵D 点表示的数是正数，∴D 点表示的数比 0 大，故本选项错误；
D、∵C 点在 D 点的左侧，∴C 点表示的数比 D 点表示的数小，故本选项正确．
故选 C．
2. 已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A. 518=2（106+x） B. 518﹣x=2×106
C. 518﹣x=2（106+x） D. 518+x=2（106﹣x）
【正确答案】C
【分析】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，
根据题意可得：518﹣x=2（106+x），
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出一元方程，正确得出等量关系是解题关键．
3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
【正确答案】C
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
4. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃没有小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①和②
【正确答案】C
【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等可得出答案．
【详解】解：块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均没有能配一块与原来完全一样的；第三块没有仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度没有大，但形式较颖，要善于将所学知识与实际问题相，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
5. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A. 13 B. 11 C. 10 D. 8
【正确答案】B
【详解】解：个图形是轴对称图形，有1条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
6. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A 3:4 B. 5:8 C. 9: 16 D. 1:2
【正确答案】B
【分析】利用割补法求出阴影部分面积，即可求出阴影面积与正方形ABCD面积之比．
【详解】解：阴影部分面积为，正方形ABCD面积为16，
∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.
故选B
在网格问题中，一般求图形面积可以采用割补法进行.
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则函数y=cx+与反比例函数y=abx-1在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
详解】试题解析：
∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴函数的图象第二、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限.
故选C.
8. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
【正确答案】D
【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．
【详解】如图，
AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．
故选D．
9. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是（ ）
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD：AC=AE：AB
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵∠A=∠A，
∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．
故选C．
考点：相似三角形的判定．
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC，
∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=，
∵AB
∴图象是D．
故选：D．
二、填 空 题：
11. 分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．
【正确答案】2（x﹣1）2
【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】解：2x2-4x+2，
=2（x2-2x+1），
=2（x-1）2．
故答案：2（x﹣1）2
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，难度没有大．
12. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是_____．
【正确答案】
【详解】解：根据题意可得，掷骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，所以朝上一面的点数为偶数的概率是．
故．
本题考查概率公式．
13. 直线A(0，2)和B(3，0)两点，那么这个函数关系式是_________．
【正确答案】y=﹣x+2．
【分析】直线y=kx+bA（0，2）和B（3，0）两点，代入可求出函数关系式．
【详解】解：根据函数解析式的特点，
可得出方程组，解得，
那么这个函数关系式是y=x+2．
14. 一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高______米．
【正确答案】8
【分析】由题意得在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：作图如下，
∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 5，
∴折断前高度为5+3=8(米)．
故8．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理在实际生活中的运用．
15. 如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
【正确答案】.
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【详解】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
三、计算题：
16. 解没有等式组：．
【正确答案】没有等式组无解．
【详解】试题分析：分别求出每一个没有等式的解集，根据口诀：小小无解了确定没有等式组的解集．
试题解析：解没有等式2x+3＜9﹣x，得：x＜2，
解没有等式2x﹣5＞10﹣3x，得：x＞3，
∴没有等式组无解．
四、解 答 题：
17. 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”，将问卷整理后绘制成如图所示的没有完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
【正确答案】(1)补图见解析；（2）560；（3）．
【详解】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：2000××=560（人），
则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=．
18. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（没有要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会没有会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又没有出边界，求h的取值范围．
【正确答案】（1）y= (x－6)2+2.6
（2）球能越过网；球会过界
（3）h≥
【详解】试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若没有出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
解得：，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又没有出边界，h的取值范围是：h≥．
考点：二次函数的应用
19. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．
【正确答案】滴水湖的半径为1442.5米．
【详解】试题分析：解：设圆心为点，连结，，交线段于点．
∵，∴弧，∴，
且．
由题意，，设米，
在中，，即，∴
答：滴水湖的半径为452米．
考点：圆
点评：本题难度中等．主要考查学生对圆与弦的学习．
20. 两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片没有动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示．
利用图证明且；
当与在同一直线上（如图）时，求的长和的正弦值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）7，．
【分析】(1)图形旋转以后明确没有变化的边长，证明，得出AC=BD，
延长BD交AC于E，证明∠AEB=90，从而得到.
(2) 如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=
即可解决问题
【详解】证明：如图中，延长交于，交于．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
解：如图中，设，
∵、在同一直线上，，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.
21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B没有重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【正确答案】（1）AB=9，OC="9" （2）s=m2（0＜m＜9）（3）
【详解】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）．
∴AB=9，OC=9．
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：．
∴s=m2（0＜m＜9）．
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+．
∴△CDE的面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．
又，
过E作EF⊥BC于F，
则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：．
∴．
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=．
（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长．
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B没有重合，可确定m的取值范围．
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的面积以及此时m的值．
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16小题，1-6题，每小题2分，7-16题，每小题2分，共42分）
1. 在实数﹣4、2、0、﹣1中，最小数与数积是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 4 D. ﹣8
2. 下列运算正确是（ ）
A. x•x5=x6 B. （﹣2a2）3=﹣6a6 C. （a+b）2=a2+b2 D. ﹣2（a﹣1）=﹣2a+1
3. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 25° D. 35°
4. 直线一定点（ ）．
A. (1，0) B. (1，k) C. (0，k) D. (0，－1)
5. 如果没有等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题中真命题是（ ）
A. 以40°角为内角两个等腰三角形必定相似
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
7. 小王同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方确的是（ ）
A. P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B. P为∠CAB角平分线与AB的垂直平分线的交点
C. P为AC、AB两边上的高的交点
D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
9. 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（ ）
A. π B. C. D.
10. 对于实数x，我们规定[x]表示没有大于x的整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[1﹣]=5，则x的取值可以是（ ）
A. ﹣6 B. 5 C. 0 D. ﹣8
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②co=；③tanA=；④ta=，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
12. 如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
13. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A. 汽车共行驶了120千米 B. 汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C. 汽车返回时的速度为80千米/时 D. 汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度没有变
15. 正△ABC与正六边形DEFGHI的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I顺时针旋转使得AC与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（ ）
A. AB B. BC C. AC D. 无法确定
16. 如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动．设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A. AD=10cm B. sin∠EBC=
C. 当t=15s时，△PBQ面积为30cm2 D. 当0＜t≤10时，y=t2
二、填 空 题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 计算：|﹣3|﹣（3﹣π）0+2=_____．
18. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
19. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_______
.
20. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点Bn的坐标为_____．(n为正整数)
三、解 答 题（本大题共6个小题，共66分）
21. 如图：已知线段a、b
（1）求作一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为b．（尺规作图，只保留作图痕迹）
（2）小明由此想到一个命题：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，请你判断这个命题的真假，如果是真命题请证明；如果是假命题请举出反例．
22. 某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷，统计整理并绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为_____；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1000名男生，小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1000×=90”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．
（4）若要从被的“从没有参加”课外体育锻炼的男生中随机选择10名同学组成课外小组，则从没有参加的小王被选中的概率是多少？
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：DE=BC；
（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
25. 把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略没有计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有值？如果有，求出这个值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）
26. 【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小丽给出提示是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
请根据小丽的提示进行证明．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件没有变，试猜想PD、PE、CF三者之间的数量关系并证明．
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共16小题，1-6题，每小题2分，7-16题，每小题2分，共42分）
1. 在实数﹣4、2、0、﹣1中，最小数与数的积是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. 4 D. ﹣8
【正确答案】D
【详解】分析：找出最小的数与的数，相乘即可．
详解：根据题意得：-4×2=-8，
故选D．
点睛：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. x•x5=x6 B. （﹣2a2）3=﹣6a6 C. （a+b）2=a2+b2 D. ﹣2（a﹣1）=﹣2a+1
【正确答案】A
【详解】分析：各项计算得到结果，即可作出判断．
详解：A、原式=x6，符合题意；
B、原式=-8a6，没有符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，没有符合题意；
D、原式=-2a+2，没有符合题意，
故选A．
点睛：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 10° B. 20° C. 25° D. 35°
【正确答案】D
【分析】首先过A作，然后判定，根据平行线的性质可得∠3=∠1=25°，再计算出∠4的度数，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，过A作，
∵，
∴，
∴∠3=∠1=25°，
∵∠BAC=60°，
∴∠4=60°-25°=35°，
∵，
∴∠2=∠4=35°，
故选D．
此题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4. 直线一定点（ ）．
A. (1，0) B. (1，k) C. (0，k) D. (0，－1)
【正确答案】D
【详解】将x＝0代入y＝kx－1中，得y＝－1．
故选D．
5. 如果没有等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据方程组的解集的表示方法，可得答案．
【详解】∵没有等式组的解集是，
∴，
故选D．
本题考查了没有等式组的解集，利用同大取大是解题关键．
6. 下列命题中真命题是（ ）
A. 以40°角为内角的两个等腰三角形必定相似
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
【正确答案】D
【详解】分析：根据等腰三角形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定方法一一判断即可．
详解：A、错误．40°可能是底角，也可能是顶角．
B、错误．对角线相等的平行四边形是矩形．
C、错误．等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，没有是平行四边形．
D、正确．根据AAS即可判断两个三角形全等．
故选D．
点睛：本题考查等腰三角形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
7. 小王同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：列举出所有情况，看各掷所确定的点P落在抛物线y=-x2+15上的情况数占所有情况数的多少即可．
详解：如下表
共有36种情况，点P落在双曲线y=上的有（1，4），（4，1），（2，2），所以概率是．
故选C．
点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以没有重没有漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠CAB的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方确的是（ ）
A. P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B. P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C. P为AC、AB两边上的高的交点
D. P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
【正确答案】B
【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的判定定理解答即可．
【详解】解：∵P到∠CAB的两边的距离相等，
∴P为∠CAB的角平分线上的点，
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠CAB的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：B．
此题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．
9. 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆⊙O，则弧AC的长等于（ ）
A. π B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：根据勾股定理可计算出AB2、AC2、BC2，从而得到AB2=AC2+BC2，CA=CB，根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再根据圆周角定理可得AB是⊙O的直径，根据CA=CB，可得弧AC的长等于弧BC的长，只需求出弧AB的长，就可解决问题．
详解：根据勾股定理可得：
AB2=42+22=20，AC2=32+12=10，BC2=32+12=10，
∴AB2=AC2+BC2，CA=CB，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴弧AB的长=×π×AB=×π×2=π，
∵CA=CB，
∴弧AC的长=弧BC的长=×弧AB的长=π．
故选D．
点睛：本题以网格为背景，主要考查了弧长的计算，勾股定理及其逆定理、圆周角定理、同圆中弧与弦的关系等知识，难度没有大，但考查的知识面广，是一道好题．
10. 对于实数x，我们规定[x]表示没有大于x的整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[1﹣]=5，则x的取值可以是（ ）
A. ﹣6 B. 5 C. 0 D. ﹣8
【正确答案】D
【详解】分析根据新定义得出没有等式组，求出没有等式组的解集即可．
详解：∵[1-]=5，
∴5＜1-≤6，
解得：-7＞x≥-9，
即只有选项D符合，
故选D．
点睛：本题考查了解一元没有等式组，能得出关于x的没有等式组是解此题的关键．
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②co=；③tanA=；④ta=，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
【正确答案】D
【详解】分析：直接利用直角三角形的性质角的三角函数值得出答案．
详解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°，
∴①sinA=，正确；②co=，故此选项错误；③tanA=tan30°=，正确；④ta=tan60°=，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了直角三角形的性质和角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12. 如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCEF是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【正确答案】B
【分析】证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题．
【详解】连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝3，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝3，
∴S阴＝3．
故选B．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握同底等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积=6××62×2=．
故选C．
考点：由三视图判断几何体．
14. 如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A. 汽车共行驶了120千米 B. 汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C. 汽车返回时的速度为80千米/时 D. 汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度没有变
【正确答案】C
【详解】分析：横轴代表时间，纵轴代表行驶的路程，据此判断相应的路程和时间即可．
详解：A、由图象可以看出，最远处到达距离出发地120千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为240千米，错误，没有符合题意；
B、平均速度为总路程÷总时间，总路程为240千米，总时间为4.5小时，所以平均速度为240÷4.5≈53千米/时，故错误，没有符合题意；
C、汽车返回所用的时间是1.5小时，则平均速度为：=80（千米/时），正确，符合题意；
D、汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度没有变，故错误，没有符合题意；
故选C．
点睛：本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；用到的知识点为：平均速度=总路程÷总时间．
15. 正△ABC与正六边形DEFGHI的边长相等，初始如图所示，将三角形绕点I顺时针旋转使得AC与CD重合，再将三角形绕点D顺时针旋转使得AB与DE重合，…，按这样的方式将△ABC旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是（ ）
A. AB B. BC C. AC D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】分析：观察图象可知，6次一个循环，因为2015÷6=335…5，所以旋转的结果与第五次结果相同，
详解：观察图象可知，6次一个循环，
∵2015÷6=335…5，
∴旋转的结果与第五次结果相同，
∵第五次，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是AB，
∴旋转2015次后，△ABC中与正六边形DEFGHI重合的边是AB，
故选A．
点睛：本题考查正多边形与圆、旋转的性质等知识，解题的关键是学会从到一般的探究方法，旋转规律．利用规律解决问题．
16. 如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动．设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A. AD=10cm B. sin∠EBC=
C. 当t=15s时，△PBQ面积为30cm2 D. 当0＜t≤10时，y=t2
【正确答案】C
【详解】分析：根据图象可以得到BC和BE的长度，从而可以得到AD的长，可以判断A；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF=CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断B；
根据题意可以分别求得在t=15s时，BQ、QP的长，从而得到△PBQ面积，可以判断C；
根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积的表达式，可以判断D．
详解：由图象可知，BC=BE=10，DE=14-10=4，
∴AD=10，故A正确；
AE=AD-DE=10-4=6cm，
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如图所示，
由图象可知，三角形PBQ的面积为40，
∴BC•EF=×10•EF=40，
解得EF=8，
∴sin∠EBC=，故B正确；
当t=15s时，点Q与点C重合，
由图象可知，DE=4，
所以点P运动到边DC上，且DP=15-10-4=1，如图所示，
∴PC=8-1=7，
∴△PBQ面积=×10×7=35（cm2），故C错误；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，
∴，即，
解得PM=t，
∴△BPQ的面积=BQ•PM=•t•t=t2，
即y=t2，故D正确；
故选C．
点睛：本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形的思想，找出所求问题需要的条件．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．
二、填 空 题（本题共4个小题，每小题3分，共12分）
17. 计算：|﹣3|﹣（3﹣π）0+2=_____．
【正确答案】2+
【详解】分析：原式项利用值的意义化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用二次根式的性质化简，计算即可得到结果；
详解：原式=3-1+=2+.
故答案为2+.
点睛：先把二次根式化简为最简二次根式，再合并即可．
18. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【正确答案】5或
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故或5．
19. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_______
.
【正确答案】－2＜k＜．
【分析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x，
联立，消掉y得，，
由解得，.
∴当时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1.
∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（）.
∴交点在线段AO上.
当抛物线点B（2，0）时，，解得k=－2.
∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜.
【详解】请在此输入详解！
20. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点Bn的坐标为_____．(n为正整数)
【正确答案】（2n﹣1，2n﹣1）
【分析】根据直线解析式先求出OA1=1，再求出个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n个正方形的边长，从而求得点Bn的坐标．
【详解】∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴OA1=1，
∴B1（1，1），
∵OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
∴B2（3，2），
同理得：A3C2=4=22，…，
∴B3（23-1，23-1），
∴Bn(2n−1，2n−1)，
故答案为Bn(2n−1，2n−1)．
本题考查了函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
三、解 答 题（本大题共6个小题，共66分）
21. 如图：已知线段a、b
（1）求作一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为b．（尺规作图，只保留作图痕迹）
（2）小明由此想到一个命题：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，请你判断这个命题的真假，如果是真命题请证明；如果是假命题请举出反例．
【正确答案】（1）见解析；（2）真命题，证明见解析．
【详解】分析：（1）分别以B、C为圆心，大于BC为半径画弧，分别相交，作出BC的垂直平分线，再以D为圆心h长为半径画弧，交垂直平分线于点A，连接AB、AC即可．
（2）作出图形，连接AD，由AB=AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE=DF，得证．
详解：（1）如图所示：
（2）真命题．已知：如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于，ED⊥AC于F，
求证：DE=DF．
证明：连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的角平分线（三线合一的性质），
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边相等）．
点睛：本题考查了作图-复杂作图，画线段的垂直平分线、在直线上截取线段、等腰三角形的性质．同时考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断
22. 某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷，统计整理并绘制了如下两幅尚没有完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为_____；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1000名男生，小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1000×=90”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．
（4）若要从被的“从没有参加”课外体育锻炼的男生中随机选择10名同学组成课外小组，则从没有参加的小王被选中的概率是多少？
【正确答案】144°
【详解】分析：（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；
（2）先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；
（3）根据喜欢乒乓球的27人都是“经常参加”的学生，“偶尔参加”的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答；
（4）求得从没有参加的总人数，根据概率公式求解可得．
详解：（l）“经常参加”所对应的圆心角的度数为360°×（1﹣15%﹣45%）=144°，
故答案为144°；
（2）经常参加人数为300×（1﹣15%﹣45%）=120人，
则“篮球”选项的人数为120﹣（27+33+20）=40．
补全条形统计图如下：
（3）这种说法没有正确．
理由如下：最喜欢乒乓球的人在“经常参加”课外的人中有27人，而在“偶尔参加”课外的人中也有可能有人喜欢乒乓球，
因此比例没有一定是，
因此这种说法是错误的．
（4）∵从没有参加的总人数为300×15%=45（人），
∴P（小王）=．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：DE=BC；
（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【正确答案】见解析
【详解】分析：（1）连接DO，先可证明EC为⊙O的切线，然后依据切线长定理可得到DE=EC，然后再证明∠1=∠B，从而得到EB=ED，从而可证明DE= BC．
（2）由四边形ODEC为正方形，可得到DE=OC=EC=OD，从而可得到AC=2OC，BC=2EC，从而得到BC=AC，故此可证明△ABC是等腰直角三角形．
详解：（1）证明：连接DO，
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O切线．
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED．
又∵∠EDO=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1+∠A=90°．
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠1=∠B，
∴EB=ED，
∴DE=BC．
（2）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ODEC为正方形，
∴OD=DE=CE=OC，∠DOC=∠ACB=90°．
∵DE=BC，AC=2OC，
∴BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
【正确答案】（1）B（2，2）；（2）点P的坐标为（2，）；（3）在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为或（﹣，）．
【分析】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AC的解析式为y=﹣x+1，直线AC交x轴于点C，交y轴于点A．
（1）若等边△OBD的顶点D与点C重合，另一顶点B在象限内，直接写出点B的坐标；
（2）过点B作x轴的垂线l，在l上是否存在一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
【详解】（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，
∴D（4，0），
过B作BE⊥x轴于点E，如图1，
∵△OBD为等边三角形，
∴OE=OD=2，BE=OB=2，
∴B（2，2）；
（2）∵等边△OBD是轴对称图形，对称轴为l，
∴点O与点C关于直线l对称，
∴直线AC与直线l的交点即为所求的点P，
把x=2代入y=﹣x+1，得y=，
∴点P的坐标为（2，）；
（3）设满足条件的点为Q，其坐标为（m，﹣m+1），
由题意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，
解得m=或m=﹣，
∴在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标为或（﹣，）．
本题为函数的综合应用，涉及等边三角形的性质、轴对称的性质、函数图象上点的坐标特征、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中作出点B到x轴的距离是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用条件得到关于坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
25. 把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略没有计）
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有值？如果有，求出这个值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）
【正确答案】（1）①剪掉的正方形的边长为5cm， ②当剪掉的正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积为648cm2；（2）剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．
【详解】分析：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（36-2x）2=676，求出即可；
②设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，则y与x的函数关系为：S=4（36-2x）x，利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为acm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为880cm2，得出等式方程求出即可．
详解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．
则（36﹣2x）2=676，即36﹣2x=±26，
解得：x1=31（没有合题意，舍去），x2=5，
∴剪掉的正方形的边长为5cm．
②侧面积有值．设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为Scm2，
则S与x的函数关系为：
S=（36﹣2x）×x×4=﹣8x2+144x=﹣（x﹣9）2+648，
∴x=9时，S=648．
即当剪掉正方形的边长为9cm时，长方形盒子的侧面积为648cm2；
（2）在如图的一种剪裁图中，
设剪掉的正方形的边长为acm，长为（36﹣2a）cm，宽为（18﹣a）cm，高为acm．
（36﹣2a）×36+2a（18﹣a）=880
解得：a1=﹣26（没有合题意，舍去），a2=8．
∴剪掉的正方形的边长为8cm．此时长方体盒子的长为20cm，宽为10cm，高为8cm．
点睛：本题考查了二次函数的应用及二元方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，利用所学知识求解．
26. 【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小丽给出的提示是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
请根据小丽的提示进行证明．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件没有变，试猜想PD、PE、CF三者之间的数量关系并证明．
【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
【正确答案】见解析；CF=PD+PE ；PG+PH的值为4．
【详解】【问题情境】
分析：【问题情境】连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
【变式探究】连接AP，由△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得：CF=PD-PE．
【结论运用】先证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，故只需求出DC即可．
详解：证明：连接AP，如图②，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴AB•CF=AB•PD+AC•PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD+PE．
【变式探究】
证明：连接AP，如图③．
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，
∴AB•CF=AB•PD﹣AC•PE．
∵AB=AC，
∴CF=PD﹣PE．
【结论运用】
过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5．
由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．
∴DF=5．
∵∠C=90°，
∴DC==4．
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，
∴PG+PH=4，
∴PG+PH的值为4．
点睛：本题主要考查四边形的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了用面积法证明几何问题，运用已有的解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 已知数轴上C、D两点的位置如图，那么下列说法错误的是（ ）
A. D点表示的数是正数
B. C点表示的数是负数
C. D点表示数比0小
D. C点表示的数比D点表示的数小
2. 已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A. 518=2（106+x） B. 518﹣x=2×106
C 518﹣x=2（106+x） D. 518+x=2（106﹣x）
3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
4. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃没有小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）
A ① B. ② C. ③ D. ①和②
5. 下列图形：其中所有轴对称图形对称轴条数之和为（ ）
A. 13 B. 11 C. 10 D. 8
6. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A. 3:4 B. 5:8 C. 9: 16 D. 1:2
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则函数y=cx+与反比例函数y=abx-1在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
8. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
9. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是（ ）
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD：AC=AE：AB
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填 空 题：
11. 分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．
12. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是_____．
13. 直线A(0，2)和B(3，0)两点，那么这个函数关系式是_________．
14. 一木杆离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高______米．
15. 如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
三、计算题：
16. 解没有等式组：．
四、解 答 题：
17. 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”，将问卷整理后绘制成如图所示的没有完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
18. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（没有要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会没有会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又没有出边界，求h的取值范围．
19. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．
20. 两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片没有动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示．
利用图证明且；
当与在同一直线上（如图）时，求的长和的正弦值．
21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B没有重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：
1. 已知数轴上C、D两点的位置如图，那么下列说法错误的是（ ）
A. D点表示的数是正数
B. C点表示的数是负数
C. D点表示的数比0小
D. C点表示数比D点表示的数小
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、∵点 D 在原点的右侧，∴D 点表示的数是正数，故本选项正确；
B、∵点 C 在原点的左侧，∴C 点表示的数是负数，故本选项正确；
C、∵D 点表示的数是正数，∴D 点表示的数比 0 大，故本选项错误；
D、∵C 点在 D 点的左侧，∴C 点表示的数比 D 点表示的数小，故本选项正确．
故选 C．
2. 已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A. 518=2（106+x） B. 518﹣x=2×106
C. 518﹣x=2（106+x） D. 518+x=2（106﹣x）
【正确答案】C
【分析】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，
根据题意可得：518﹣x=2（106+x），
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出一元方程，正确得出等量关系是解题关键．
3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
【正确答案】C
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
4. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃没有小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①和②
【正确答案】C
【分析】观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等可得出答案．
【详解】解：块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均没有能配一块与原来完全一样的；第三块没有仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度没有大，但形式较颖，要善于将所学知识与实际问题相，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
5. 下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A. 13 B. 11 C. 10 D. 8
【正确答案】B
【详解】解：个图形是轴对称图形，有1条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；
则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11.
故选B.
6. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A 3:4 B. 5:8 C. 9: 16 D. 1:2
【正确答案】B
【分析】利用割补法求出阴影部分面积，即可求出阴影面积与正方形ABCD面积之比．
【详解】解：阴影部分面积为，正方形ABCD面积为16，
∴阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.
故选B
在网格问题中，一般求图形面积可以采用割补法进行.
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则函数y=cx+与反比例函数y=abx-1在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
详解】试题解析：
∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴函数的图象第二、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限.
故选C.
8. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个
【正确答案】D
【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．
【详解】如图，
AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．
故选D．
9. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中没有能使△ABE和△ACD相似的是（ ）
A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD，AB=AC D. AD：AC=AE：AB
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵∠A=∠A，
∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．
故选C．
考点：相似三角形的判定．
10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】∵DH垂直平分AC，
∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC，
∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴，
∴，
∴y=，
∵AB
∴图象是D．
故选：D．
二、填 空 题：
11. 分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．
【正确答案】2（x﹣1）2
【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】解：2x2-4x+2，
=2（x2-2x+1），
=2（x-1）2．
故答案：2（x﹣1）2
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，难度没有大．
12. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是_____．
【正确答案】
【详解】解：根据题意可得，掷骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，所以朝上一面的点数为偶数的概率是．
故．
本题考查概率公式．
13. 直线A(0，2)和B(3，0)两点，那么这个函数关系式是_________．
【正确答案】y=﹣x+2．
【分析】直线y=kx+bA（0，2）和B（3，0）两点，代入可求出函数关系式．
【详解】解：根据函数解析式的特点，
可得出方程组，解得，
那么这个函数关系式是y=x+2．
14. 一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高______米．
【正确答案】8
【分析】由题意得在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：作图如下，
∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 5，
∴折断前高度为5+3=8(米)．
故8．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理在实际生活中的运用．
15. 如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
【正确答案】.
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【详解】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
三、计算题：
16. 解没有等式组：．
【正确答案】没有等式组无解．
【详解】试题分析：分别求出每一个没有等式的解集，根据口诀：小小无解了确定没有等式组的解集．
试题解析：解没有等式2x+3＜9﹣x，得：x＜2，
解没有等式2x﹣5＞10﹣3x，得：x＞3，
∴没有等式组无解．
四、解 答 题：
17. 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”，将问卷整理后绘制成如图所示的没有完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个没有透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．
【正确答案】(1)补图见解析；（2）560；（3）．
【详解】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：2000××=560（人），
则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=．
18. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（没有要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会没有会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又没有出边界，求h的取值范围．
【正确答案】（1）y= (x－6)2+2.6
（2）球能越过网；球会过界
（3）h≥
【详解】试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若没有出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
解得：，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又没有出边界，h的取值范围是：h≥．
考点：二次函数的应用
19. 本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径．
【正确答案】滴水湖的半径为1442.5米．
【详解】试题分析：解：设圆心为点，连结，，交线段于点．
∵，∴弧，∴，
且．
由题意，，设米，
在中，，即，∴
答：滴水湖的半径为452米．
考点：圆
点评：本题难度中等．主要考查学生对圆与弦的学习．
20. 两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片没有动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示．
利用图证明且；
当与在同一直线上（如图）时，求的长和的正弦值．
【正确答案】（1）详见解析；（2）7，．
【分析】(1)图形旋转以后明确没有变化的边长，证明，得出AC=BD，
延长BD交AC于E，证明∠AEB=90，从而得到.
(2) 如图3中，设AC=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出x，再根据sinα=sin∠ABC=
即可解决问题
【详解】证明：如图中，延长交于，交于．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
解：如图中，设，
∵、在同一直线上，，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.
21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B没有重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【正确答案】（1）AB=9，OC="9" （2）s=m2（0＜m＜9）（3）
【详解】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）．
∴AB=9，OC=9．
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：．
∴s=m2（0＜m＜9）．
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+．
∴△CDE的面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．
又，
过E作EF⊥BC于F，
则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：．
∴．
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=．
（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长．
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B没有重合，可确定m的取值范围．
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的面积以及此时m的值．
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．
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