2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题（4月5月）含解析

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2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题（4月）

第I卷（选一选）

评卷人
得分



一、单 选 题
1．如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（     ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．下列运算正确的是（       ）
A．-5+1＝﹣4 B．＝±2 C．3-1＝﹣3 D．x2•x5＝x10
3．已知，则一定有，“”中应填的符号是（       ）
A． B．
C． D．
4．据报道，2021年河北省普通高考报考人数约为63.4万人，用科学记数法表示为a×10n人，则n＝（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝135°，∠2＝65°，若要使直线a∥b，则将直线b绕点B按如图所示的方向至少旋转（       ）


A．10° B．20° C．60° D．130°
6．如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的正方体不可能是（       ）

A．① B．② C．③ D．④
7．如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=2，则的面积为（       ）


A．8 B． C． D．4
8．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说确的是（       ）

A．B地在C地的北偏东50°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．∠ABC＝80° D．sin∠BAC＝
9．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（       ）
A．4倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
10．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是（       ）

A．6 B． C． D．12
11．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，，AD∥BC．求证．

以下是排乱的证明过程：①又，
②∴，
③∵AD∥BC，
④∴，，
⑤∴．
证明步骤正确的顺序是（     ）
A．③→②→①→④→⑤ B．③→④→①→②→⑤
C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤
12．下列说确的是（       ）
A．检测某批次打火机的有效打火次数，适宜用全面调查
B．数据3，5，4，4，3的众数是4
C．两组平均数相同的身高数据，方差越大，说明数据的波动越小
D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然
13．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形．
下列判断正确的是（       ）

A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
14．如图，已知直线AB和AB外一点C，用尺规过点C作AB的垂线．步骤如下：
步：任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
第二步：以C为圆心，以a为半径画弧，交直线AB于点D，E；
第三步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧交于点F；
第四步：画直线CF．直线CF即为所求．
下列正确的是（　　）

A．a，b均无 B．a＝CK，b＞DE的长
C．a有最小，b无 D．a≥CK，b＜DE的长
15．定义新运算，例如，．则函数的图象大致为（     ）
A． B．
C． D．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（       ）
A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6
第II卷（非选一选）

评卷人
得分



二、填 空 题
17．若a+b=3，a－b=－1，则a2－b2=________，ab=______．
18．A、B、C、D四个车站的位置如图所示．

（1）C、D两站的距离为_____；（2）若a＝3，C为AD的中点，b=______．
19．如图，将抛物线平移得到抛物线，抛物线点和点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点．（1）点的坐标为______；（2）图中阴影部分的面积为_____．

评卷人
得分



三、解 答 题
20．已知整式，，其中B的项系数被污染．
(1)若■是－2，化简；
(2)当时，的值为18
①求原题中■是几；
②若再添加一个常数a，使得A，B，a的和不为负数，求a的最小值．
21．已知反比例函数y＝（m为常数，且m≠3）
(1)若在其图象的每一个分支上，y随x增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点A（2，）在该反比例函数的图象上；
①求m的值；
②当x＜﹣1时，直接写出y的取值范围．
22．某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知P（拿到8元球）＝0.5．
(1)求这4个球价格的平均数；
(2)若嘉嘉已拿走一个9元球训练，淇淇准备从剩余3个球中随机拿一个训练．
①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②淇淇先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法或树状图求淇淇两次拿到球的总价为奇数的概率．
23．某水果专卖店樱桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来市场调查发现，单价每千克降低元，则平均每天的可增加千克，若该专卖店这种樱桃要想平均每天获利元，请回答：
（1）每千克樱桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
24． 一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程（km），小轿车的路程（km）与时间x（h）的对应关系如图所示．

（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
（2）①写出与x的函数关系式；
②当x≥5时，求与x的函数解析式；
（3）货车出发多长时间与小轿车相遇？相遇时与甲地的距离是多少？
25．如图，C是AB上一点，点D、E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且AD=BC，AC=BE．
（1）求证：CD=CE；
（2）当时，求BF的长；
（3）若∠A=α，∠ACD=25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．

26．如图①在平面直角坐标系xOy中，已知A（－2，2），B（－2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．


(1)求A、C、D三点的抛物线的解析式；
(2)点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
(3)当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的值．

答案：
1．D

【分析】
根据平行线的定义，可直接得结论．
【详解】
解：在同一平面内，与已知直线平行的直线有无数条，
所以作已知直线m的平行线，可作无数条．
故选：D．

本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键．
2．A

【分析】
根据有理数的加法法则可判断A，根据算术平方根定义可判断B，根据负指数幂运算法则可判断C，根据同底数幂乘法法则可判断D．
【详解】
A. -5+1＝﹣4，故选项A运算正确；       
B. ＝2≠±2，故选项B运算不正确；       
C. 3-1＝﹣3，故选项C运算不正确；
D. x2•x5＝x7≠x10，故选项D运算不正确；
故选A．

本题考查有理数的加法，算术平方根，负指数幂，同底数幂的乘法，掌握有理数的加法，算术平方根，负指数幂，同底数幂的乘法是解题关键．
3．B

【分析】
直接运用不等式的性质3进行解答即可．
【详解】
解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得，
∴“”中应填的符号是“”，
故选：B．

此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键．
4．B

【分析】
根据科学计数法的表示，即，计算即可；
【详解】
63.4万，
∴；
故选B．

本题主要考查了科学计数法的表示，准确计算是解题的关键．
5．B

【分析】
根据平行线的判定可得，当c与b的夹角为45°时，存在a∥b，由此得到直线b绕点B逆时针旋转65°−45°＝20°．
【详解】
解：∵∠1＝135°，
∴，
∵同位角相等两直线平行，
∴若要使直线，则∠2应该变为45°，
∵∠2＝65°，
∴直线b绕点B按逆时针方向至少旋转：65°﹣45°＝20°，故B正确．
故选：B．



本题主要考查了旋转的性质以及平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行，是解题的关键．
6．D

【分析】
根据三视图的知识，作出原图形的左视图，根据分别取走①②③④中的一个，作出左视图判断即可．
【详解】
如图：
原几何体的左视图如下：

取走①，②，③中的一个或者两个的左视图如下：

取走④的左视图如下：

如果取走④号正方体，则左视图与原几何体的左视图不相同
所以取走的正方体不可能是④．
故选D．

考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
7．C

【分析】
根据平行四边形的性质可知CD=AB=2，∠D=∠B=60°，△ACE是沿AC折叠后得到的，所以∠ACD=∠ACE=90°，可得CD=CE=2，AC=，根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，∠D=∠B=60°，
∵△ACE是沿AC折叠后得到的，
∴∠ACD=∠ACE=90°，CD=CE=2，
∴∠CAD=30°，
∴AD=4，AC=，
∴，
故选C．

本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握相关性质．
8．D

【分析】
根据平行线的性质及方向角的概念可判断A，B，再利用角的和差可判断C，利用锐角的正弦可判断D，从而可得答案．
【详解】
解：如图所示： 由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，
∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C处的北偏西50°，故A不符合题意；
∵∠ABP=60°，
∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B不符合题意；
   故C不符合题意．
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴sin∠BAC=，故D正确；
故选：D．


本题考查的是方位角的含义，角的和差运算，锐角的正弦的含义，掌握“方位角的含义”是解本题的关键．
9．C

【分析】
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】
解：因为复印出来的图形与原图形是相似图形，
原来三角形的一条边为2cm，
复印后三角形的对应边2+4=6cm，
其相似比为2∶6=1∶3，故其面积比为1∶9，所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍.
故选C．

本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键．
10．D

【分析】
连接OF，根据角的定义求出∠AOE=120°，△AOF是等边三角形，设该正六边形的边长为r，根据弧长公式得到关于r的方程，即可求解．
【详解】
解：如图，连接OF，则∠AOF=∠EOF==60°，AF=OA=OF，

∴∠AOE=2∠AOF=120°，
设该正六边形的边长为r，
则 ，
∴r=12．
∴AF=12，
故选：D

本题考查正多边形角、弧长公式等知识，添加辅助线，求出∠AOE是解题关键．
11．B

【分析】
根据平行线的性质得出，再利用等量代换，得出，即可判定是等腰三角形，即可证明．
【详解】
具体步骤为：
③∵AD∥BC，
④∴，，
①又，
②∴，
⑤∴．
故选：B．

本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．
12．D

【分析】
根据众数的定义、方差的意义、全面调查及必然的定义判断即可；
【详解】
检测某批次打火机的有效打火次数，适宜用抽样调查，故A错误；
数据3，5，4，4，3的众数是4，3，故B错误；
两组平均数相同的身高数据，方差越大，说明数据的波动越大，故C错误；
“367人中至少有2人同月同日生”为必然，故D正确；
故选D．

本题主要考查了众数的计算，方差的意义，全面调查与抽样调查，必然的判断，准确分析是解题的关键．
13．B

【分析】
先设AB=BC=CD=AD=x，接着求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲；求证△QMP和△PQA全等得出QD=AP，同理QD=AP=MC=BN，即可判断乙.
【详解】
若ABCD是正方形
可设AB=BC=CD=AD=x
∴AQ=4-x，AP=3+x
∴PQ2=AQ2+AP2
∴
即x取不同值PQ不同，而QM=5，不一定为正方形；
若PQMN为正方形，则MQ=PQ=MN=PN
且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°
在△QMD和△PQA中
∠QMD=∠AQP，MQ=PQ，∠MQD=∠QPA
∴△QMP≌△PQA（ASA）
∴QD=AP
同理QD=AP=MC=BN
∴AB=CD
则四边形ABCD是正方形

本题关键在于熟练运用勾股定理和全等三角形的判定与性质进行求解.
14．B

【分析】
根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，判断即可．
【详解】
解：由作图可知，a＝CK，b＞DE的长，
故选：B．

本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握垂线的作法．
15．D

【分析】
根据新定义运算，写出函数表达式，对照选项即可求解
【详解】


当是开口朝上的过原点的二次函数图像
当是开口朝下的二次函数图像
D选项的图像符合题意
故选D

本题考查了新定义运算，二次函数图像的性质，熟悉二次函数的图像性质是解题的关键．
16．B

【分析】
根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．
【详解】
解：根据题意知：
∵点，，
故对于二次函数与线段有公共点时，
即当x=4时，，
即，
当时，解得，
当时，解得，
∴的解集为或；
故选：B．

此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．
17．     -3     2

【分析】
根据平方差公式和完全平方公式计算即可；
【详解】
∵a+b=3，a－b=－1，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案是：，2．

本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的计算，准确计算是解题的关键．
18．     a+3b##3b+a     2

【分析】
(1)利用即可求解；
（2）先利用求得，再利用C为AD的中点，代入 即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵C为AD的中点，
∴，
即，
当时，则，解得，
故（1）（2）

本题考查了整式的加减，根据图形列出代数式是解题的关键．
19．         

【分析】
依据平移前后的抛物线二次项系数相等，及抛物线点和点，写出交点式，即可求出对称轴、顶点坐标，将代入，得到Q的坐标，作轴，则，图中阴影部分的面积为=中考.
【详解】
解：∵将抛物线平移得到抛物线，抛物线点和点，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为（-3，），
∵当，，
∴（-3，），
作轴，则,,,
∴图中阴影部分的面积为==．

故；.

本题考查了二次函数图象的平移、性质、解析式，求阴影部分面积的关键是化不规则为规则.
20．(1)
(2)①4；②-18

【分析】
（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）①把x的值代入计算即可；②根据A + B的值为18得到A+ B+a≥0，解不等式得到答案．
(1)
解：；
(2)
①设■＝m，
依题意得，，
解得m＝4；
②∵A + B=18，
∴A，B，a的和不为负数，有A + B+a≥0，
即，解得，
∴a的最小值为-18．

本题考查的是整式的加减，解一元方程，解一元不等式，解题的关键是熟练正确计算．
21．(1)m>3
(2)①m=6；②-3
【分析】
（1）解不等式m−3＞0即可；
（2）①把A（2，）代入中，可得m值；
②根据反比例函数关系式，x＜−1，列出含y的不等式即可．
(1)
解：∵在反比例函数图象的每一个分支上，y随x增大而减小，
∴m−3＞0，解得m＞3；
即m的取值范围是m＞3．
(2)
①把A（2，）代入得：m−3＝3，解得m＝6；
②由①可得，
当x＜−1时，，
解得：，
y的取值范围为：−3＜y＜0．

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解决此类问题一般依据函数关系式构造不等式求解未知数的取值范围．
22．(1)这4个球价格的平均数为8元
(2)①相同，理由见解析；②淇淇两次拿到球的总价为奇数的概率

【分析】
（1）根据概率计算公式可知8元球有2个，则7元和9元球分别为1个，由此求解即可；
（2）①分别求出前后的中位数，即可得到答案；②先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到总价为奇数的结果数，根据概率计算公式求解即可．
(1)
解：∵P(拿到8元球)＝0.5，
∴8元球有2个，
∴7元和9元球分别为1个，
∴平均数为（7+8+8+9)÷4=8(元）；
(2)
解：①相同   
理由：原四个数7、8、8、9 中位数为8；剩余三个数7、8、8中位数为8，
所以两组数据的中位数相同；
②画树状图如下所示：

由树状图可知共9种结果，其中和为奇数的有4种，
∴P（和为奇数）．

本题主要考查了根据概率求数量，平均数，中位数，用列表法或树状图法求解概率，正确理解题意是解题的关键．
23．（1）元或元；（2）九折

【分析】
（1）设每千克水果应降价x元，利用量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的单价即可确定几折．
【详解】
（1）解：设每千克水果应降价元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每千克水果应降价元或元；
（2）由（1）可知每千克水果可降价元或元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克水果应降价元．
此时，售价为：（元） ，

答：该店应按原售价的九折出售．

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
24．（1）420，2；
（2）①（0≤x≤7）；②（x≥5）；
（3）货车出发4.5小时后与小轿车相遇，距离甲地270km．

【详解】
试题分析：（1）直接根据图象写出两地之间的距离和小轿车停留的时间即可；
（2）利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（3）先求出乙行驶路程的函数关系式，利用0＜x≤3，得出答案即可．
试题解析：（1）由图可知，甲乙两地相距420km，小轿车中途停留了2小时；
（2）①（0≤x≤7）；
②当x=5.75时，=60×5.75=343，x≥5时，设，∵的图象（5.75，345），（6.5，420），∴，解得：，∴x≥5时，；
（3）x=5时，=100×5﹣230=270，即小轿车在3≤x≤5停车休整，离甲地270km，
当x=3时，=180；x=5时，=300，∴火车在3≤x≤5时，会与小轿车相遇，即270=60x，x=4.5；
当0＜x≤3时，小轿车的速度为270÷3=90km/h，而货车速度为60km/h，故货车在0＜x≤3时，不会与小轿车相遇，∴货车出发4.5小时后与小轿车相遇，距离甲地270km．
考点：1．函数的应用；2．综合题．
25．（1）见解析；（2）；（3）

【分析】
（1）根据全等三角形的判定，证明，即可得到结论；
（2）由（1）的结论，三角形的外角性质，得到，然后得到，即可得到答案；
（3）根据题意，先用表示出∠DCE，然后判断△DCE为钝角三角形，等腰三角形和钝角三角形的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵的外心在该三角形的外部，
∴为钝角三角形，
由（2）知为等腰三角形，
∴为钝角，
∴，
∴．

本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，以及钝角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而得到角的关系和边的关系.
26．(1)y=x2x+2
(2)P（-1+，1）或（-1-，1）
(3)；S的值为

【分析】
（1）根据待定系数法，将A、C、D的坐标代入求解即可；
（2）由△PAM≌△PBM，知PA=PB，即点P为线段AB的垂直平分线与抛物线的交点，可求点P的纵坐标为1 ，代入抛物线的解析式可求x的值，即可求解；
（3）由题意可知，MD=，DF=MF=BE=EG=4-t，BF=BD-DF=t   GM=t-(4-t)=2t-4，根据面积公式可得S=，进而利用二次函数的性质求出值即可．
(1)
解：设，
将点A、C、D的坐标代入抛物线解析式：
   
解得：   
抛物线的解析式为：
(2)
解：∵△PAM≌△PBM，
∴PA=PB，MA=MB，
∴点P为线段AB的垂直平分线与抛物线的交点


∵A(－2，2)，B(－2，0)
∴点P的纵坐标为1，

解得：x=，
∴
(3)
解：设ME与BC交于点G，如图，


由题意可知2≤t<4
此时MD=
∴DF=MF=BE=EG=4-t
∴BF=BD-DF=t   GM=t-(4-t)=2t-4
S=
=
=，
∴S的值为．

本题考查了用待定系数法求解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．





2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（5月）
一、选一选（本大题共16个小题；1-10小题，每题3分；11-16小题，每题2分，共42分）
1. 已知a=﹣2，则代数式a+1的值为（　　）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 1
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 某桑蚕丝直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（　　）
A. 1.6×10﹣4 B. 1.6×10﹣5 C. 1.6×10﹣6 D. 16×10﹣6
5. 方程＝的解为( )
A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝﹣5
6. 如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A B. C. D.
7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）

A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线交点 D. 三条高的交点
8. 若阿光以四种没有同的方式连接正六边形ABCDEF的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形没有是轴对称图形（　　）
A. B. C. D.
9. 如图的坐标平面上有四直线L1、L2、L3、L4．若这四直线中，有一直线为方程式3x﹣5y+15=0的图形，则此直线为何？（　　）

A. L1 B. L2 C. L3 D. L4
10. 若关于x的一元没有等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（　　）
A. m≥5 B. m＞5 C. m≤5 D. m＜5
11. 已知二次函数的图象如图所示，则( )

A. B. C. D.
12. 如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点，且坐标分别为（a，）、（b，），则AB的长度为何？（　　）

A. 5 B. C. D.
13. 如图，网格纸上正方形小格边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（　　）

A. 1区 B. 2区 C. 3区 D. 4区
14. 如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述何者正确( )

A. L1和L3平行，L2和L3平行 B. L1和L3平行，L2和L3没有平行
C. L1和L3没有平行，L2和L3平行 D. L1和L3没有平行，L2和L3没有平行
15. 如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（　　）

A. 2 B. 2 C. 2+ D. 2+
16. （2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的值是 （ ）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共10分）
17. 二次函数y=﹣x2+2x+k部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=___．

18. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____．

19. 如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E．
（1）DE＝_____；
（2）∠CDE的正切值为_____．

三、解 答 题（本大题共7个小题；共68分）
20. 对于任意实数a，b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b＝2a－b.例如：5⊕2＝2×5－2＝8，(－3)⊕4＝2×(－3)－4＝－10.
(1)若3⊕x＝－2 011，求x的值；
(2)若x⊕3＜5，求x的取值范围．
21. 随着交通道路的没有断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

（1）2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所用等可能的结果．
22. 证明定理．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，A为线段BC外任意一点，且AB=AC．
求证：点A在BC的垂直平分线上．

23. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，当点位于点上方时，写出的取值范围．

24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

25. “净扬”水净化有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的小型水净化产品，已于当年投入生产并进行．已知生产这种小型水净化产品的成本为4元/件，在过程中发现：每年的年量(万件)与价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为函数图象的一部分．设公司这种水净化产品的年利润为z（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利没有计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出年这种水净化产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出年年利润的值；
（3）假设公司的这种水净化产品年恰好按年利润z（万元）取得值时进行，现根据年的盈亏情况，决定第二年将这种水净化产品每件的价格x（元）定在8元以上（），当第二年的年利润没有低于103万元时，请年利润z（万元）与价格x（元/件）的函数示意图，求价格x（元/件）的取值范围．

26. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是　 　；
（2）如图2，若点O在正方形的（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（没有必说明）

























2022-2023学年湖南省长沙市中考数学专项提升仿真模拟试题
（5月）
一、选一选（本大题共16个小题；1-10小题，每题3分；11-16小题，每题2分，共42分）
1. 已知a=﹣2，则代数式a+1的值为（　　）
A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 1
【正确答案】C

【详解】把a的值代入原式计算即可得到结果．
当a=﹣2时，原式=﹣2+1=﹣1，
故选C.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】，故A选项错误； ，故B选项错误；，故 C选项错误；，故D选项正确，
故选D.
3. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】根据题中“属于分解因式的是”可知，本题考查多项式的因式分解的判断，根据因式分解的概念，运用因式分解是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，进行分析判断.
【详解】A、属于整式乘法的变形.
B、没有符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.
C、运用提取公因式法，把多项式分解成了5x与（2x-1）两个整式相乘的形式.
D、没有符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.
故选C．
题目主要考查因式分解的判断，深刻理解因式分解的定义是解题关键.
4. 某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（　　）
A. 1.6×10﹣4 B. 1.6×10﹣5 C. 1.6×10﹣6 D. 16×10﹣6
【正确答案】B

【详解】分析：用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,n为整数,据此判断即可.
详解：将0.000016用科学记数法表示为：0.000016=1.6×10﹣5；
故选B．
点睛：科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同.当原数值>1时,n是正数;当原数的值<1时,n是负数.
5. 方程＝的解为( )
A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝﹣5
【正确答案】C

【详解】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程解，
故选C.
6. 如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．
故选A．
7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）

A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
【正确答案】B

【详解】解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
本题考查内心的定义．
8. 若阿光以四种没有同的方式连接正六边形ABCDEF的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形没有是轴对称图形（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
详解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、没有是轴对称图形，故此选项正确；
故选D．
点睛：本题考查了轴对称图形，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
9. 如图的坐标平面上有四直线L1、L2、L3、L4．若这四直线中，有一直线为方程式3x﹣5y+15=0的图形，则此直线为何？（　　）

A. L1 B. L2 C. L3 D. L4
【正确答案】A

【详解】根据方程式3x-5y+15=0可得y=，因此可知k=，且b=3，因此函数的图像在一二三象限，且与y轴的交点为（0，3），因此可知函数的图像为：L1.
故选A
10. 若关于x一元没有等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（　　）
A. m≥5 B. m＞5 C. m≤5 D. m＜5
【正确答案】A

【详解】解没有等式2x-1＞3（x-2）可得x＜5，然后由没有等式组的解集为x＜5，可知m≥5.
故选A.
11. 已知二次函数的图象如图所示，则( )

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】抛物线开口向下知a＜0；与y轴正半轴相交，知c＜0；对称轴，在y轴右边x=﹣＞0，b＞0，只有B选项符合，
故选B．
12. 如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点，且坐标分别为（a，）、（b，），则AB的长度为何？（　　）

A. 5 B. C. D.
【正确答案】A

【分析】将代入二次函数解析式,求出A、B的横坐标,即可求出AB的值.
【详解】把y=代入y=x2+1中，得=x2+1，
解得x=±，
∴a=，b=﹣，
∴AB=﹣（﹣）=5．
故选A．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称．
13. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（　　）

A. 1区 B. 2区 C. 3区 D. 4区
【正确答案】D

【详解】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转O，
根据题意可得旋转O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.

本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转、旋转方向、旋转角是解题的关键.
14. 如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述何者正确( )

A. L1和L3平行，L2和L3平行 B. L1和L3平行，L2和L3没有平行
C. L1和L3没有平行，L2和L3平行 D. L1和L3没有平行，L2和L3没有平行
【正确答案】C

【详解】试题解析：
∴L1和L3没有平行，

∴L2和L3平行，
故选C.
点睛：根据同旁内角没有互补，可得两直线没有平行；根据内错角相等，可得两直线平行．
15. 如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（　　）

A. 2 B. 2 C. 2+ D. 2+
【正确答案】B

【详解】分析：根据三角形的内角和得到∠AED=∠ACB=60°，根据三角形的外角的性质得到∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，根据等腰三角形的判定得到BE=EF=CF=CD，于是得到四边形AEFC的周长=AB+AC．
详解：∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACB=∠CFD+∠D=60°，
∴∠EFB=∠CFD=30°，
∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，
∴BE=EF=CF=CD，
∴四边形AEFC的周长=AB+AC，
∵∠A=90°，AE=AC=1，
∴AB=AD=，
∴四边形AEFC的周长=2．
故选B．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.
16. （2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的值是 （ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题解析：如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转没有变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
二、填 空 题（本大题共10分）
17. 二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=___．

【正确答案】－1

【分析】根据二次函数图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
【详解】由图可知，对称轴为x=1，
根据二次函数的图象的对称性，
，
解得，x2=－1．
考点：抛物线与x轴的交点
此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．
18. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____．

【正确答案】2

【分析】根据作图过程可得得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB＝∠CBE，证出AE＝AB＝3，即可得出DE的长．
【详解】根据作图的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2；
故2．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE＝AB是解决问题的关键．
19. 如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E．
（1）DE＝_____；
（2）∠CDE的正切值为_____．

【正确答案】 ①. 5, ②. 3

【详解】分析：（1）先利用等边三角形的性质AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6,然后判断△ADE为等边三角形得到DE的长;(2) 作EH⊥CD于H, 设DH=x，则CH=4﹣x,利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣(4-x)²,解得x=,再计算出EH的长，然后利用正切的定义求解.
详解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5；
（2）作EH⊥CD于H，如图，
设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△EDH中，EH2=DE2﹣DH2=52﹣x2，
在Rt△ECH中，EH2=CE2﹣CH2=62﹣（4﹣x）2，
∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，
∴EH==，
∴tan∠EDH==3，
即∠CDE的正切值为3．
故答案为5，3．

点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了解直角三角形.
三、解 答 题（本大题共7个小题；共68分）
20. 对于任意实数a，b，定义关于“⊕”的一种运算如下：a⊕b＝2a－b.例如：5⊕2＝2×5－2＝8，(－3)⊕4＝2×(－3)－4＝－10.
(1)若3⊕x＝－2 011，求x的值；
(2)若x⊕3＜5，求x的取值范围．
【正确答案】（1）x＝2 017；（2）x＜4.

【详解】试题分析：（1）利用新定义的关系式，代入计算即可得到方程，然后解方程即可；
（2）利用新定义的关系式，得到没有等式，然后解没有等式求得x的取值范围.
试题解析： (1)根据题意，得2×3－x＝－2 011，解得x＝2 017.
(2)根据题意，得2x－3＜5，解得x＜4.
21. 随着交通道路的没有断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

（1）2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所用等可能的结果．
【正确答案】（1）50,108°，补图见解析；（2）9.6；（3）．

【分析】（1）根据A景点的人数以及百分表进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得A景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据E景点接待游客数所占的百分比，即可估计2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数；
（3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【详解】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°=108°，
B景点接待游客数为：50×24%=12（万人），
补全条形统计图如下：

（2）∵E景点接待游客数所占的百分比为：×=12%，
∴2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数约为：80×12%=9.6（万人）；
（3）画树状图可得：

∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率=．
本题考查列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
22. 证明定理．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，A为线段BC外任意一点，且AB=AC．
求证：点A在BC的垂直平分线上．

【正确答案】证明见解析

【详解】分析：根据线段垂直平分线的性质，可以直接得到答案.
详解：证明：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
∴点A在BC的垂直平分线上．

点睛：本题是一道基本的证明题,也是一个定理,解题思路是首先要根据题意写出已知与求证,然后作出相应的辅助线,通过证明三角形全等得到垂直.
23. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，当点位于点上方时，写出的取值范围．

【正确答案】（）；（）

【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出的范围．
【详解】解：（1）点在直线上，
，
，点
设直线的表达式为，
由题意，解得，
直线的表达式为．
（2）由图象可知．
本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．

24. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

【正确答案】（1）EF是⊙O的切线，理由见解析；（2）S阴影=．

【详解】试题分析：（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；（2）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）连接OE，
∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，
∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2 ，
∴阴影部分的面积== ．

本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积的计算等，连接OE是解题的关键.
25. “净扬”水净化有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的小型水净化产品，已于当年投入生产并进行．已知生产这种小型水净化产品的成本为4元/件，在过程中发现：每年的年量(万件)与价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为函数图象的一部分．设公司这种水净化产品的年利润为z（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利没有计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出年这种水净化产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出年年利润的值；
（3）假设公司的这种水净化产品年恰好按年利润z（万元）取得值时进行，现根据年的盈亏情况，决定第二年将这种水净化产品每件的价格x（元）定在8元以上（），当第二年的年利润没有低于103万元时，请年利润z（万元）与价格x（元/件）的函数示意图，求价格x（元/件）的取值范围．

【正确答案】（1）；（2）当4≤x≤8时，；当8＜x≤28时，；当每件的价格定 为16元时，年的年利润为-16万元；（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润z没有低于103万元．

【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数求解即可求出反比例函数的解析式，再将点B和点C的坐标代入函数求解即可得出函数的解析式；
（2）根据公式“总利润=单件利润×数量”即可得出解析式，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）先求出第二年的年利润公式再令年利润等于103，解一元二次方程并图像性质即可得出答案．
【详解】解：（1）当4≤x≤8，设y=，将A（4，40）代入
得k=4×40=160，
所以y与x之间的函数关系式为：y=，
当8＜x≤28时，设y=kx+b，
将B（8，20）、C（28，0）代入得
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系为y=-x+28，
∴综上所述得： ；
（2）当4≤x≤8时，，
∵z随着x的增大而增大，
∴当x=8时，z值为-80，
当8＜x≤28时，
∴当x=16时，z值为-16，
∵-80＜-16，
∴当每件的价格定 为16元时，年的年利润为-16万元；
（3）∵年的年利润为-16万元，
∴-16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润z=（x-4）（-x+28）-16=，
令z=103，则=103，
解得，
在平面直角坐标系中，画出z与x函数示意图如图，

观察可知：z≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润z没有低于103万元．
本题考查的是经济利润问题，属于中考常考题型，需要熟练掌握经济利润问题的相关公式．
26. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是　 　；
（2）如图2，若点O在正方形的（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？
（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（没有必说明）

【正确答案】（1）OM=ON；（2）成立．（3）O在移动过程中可形成线段AC；（4）O在移动过程中可形成线段AC

【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；
（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；
（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；
（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．
【详解】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；
（2）仍成立．
证明：如图2，连接AC、BD．
由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°．
∵∠MON=90°，
∴∠BOM=∠CON
在△BOM和△CON中，
∵∠OBM=∠OCN，BO=CO，∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON；
（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠EOF=90°=∠MON，
∴∠MOE=∠NOF．
在△MOE和△NOF中，
∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，
∴△MOE≌△NOF（AAS），
∴OE=OF．
又∵OE⊥BC，OF⊥CD，
∴点O在∠C的平分线上，
∴O在移动过程中可形成线段AC；

（4）O在移动过程中可形成直线AC．
如图4，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°
又∵∠C=90°
∴∠EOF=90°=∠MON
∴∠MOE=∠NOF
在△MOE和△NOF中，
，
∴△MOE≌△NOF（AAS）
∴OE=OF
又∵OE⊥BC，OF⊥CD
∴点O在∠C的平分线上，
∵点O在正方形外部，
∴O在移动过程中可形成直线AC中除去线段AC的部分．

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理．